論分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

李志紅

（山西省襄汾縣實驗高級中學(xué)，山西 臨汾）

一、分類討論思想的重要性

分類討論思想是高中解題過程中經(jīng)常需要運用的思想，如果我們不具備這種思想，就很難在實際解決問題的過程中進(jìn)行分類討論，沒有進(jìn)行分類討論答案自然得不全分?jǐn)?shù)，嚴(yán)重地影響了學(xué)生的分?jǐn)?shù)。比如，在解決不等式問題時，如果學(xué)生不討論左右兩邊的大小問題，就不可能得全分?jǐn)?shù)。

二、分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

學(xué)會分類討論思想，不僅可以幫助我們更全方位地掌握知識，還可以將自己所學(xué)的知識靈活地運用，保證答題時回答出無遺漏的答案，在解題時得到屬于自己的分?jǐn)?shù)，讓我們的付出與回報成正比，對得起自己所付出的努力。

1.學(xué)會劃定范圍的能力

在高中數(shù)學(xué)中，許多需要分類討論的問題都有一定的范圍，許多同學(xué)不懂得如何劃定范圍，往往導(dǎo)致在分類環(huán)節(jié)就受到了阻礙，所以，我們應(yīng)當(dāng)通過具體的例題，掌握劃定范圍的能力。

比如，在解決幾何問題中移動點的問題時，有的同學(xué)往往不會確定這個點的移動范圍，導(dǎo)致分類討論受阻。這個時候，要結(jié)合題目進(jìn)行分析，一切信息都在題目中，如果題目中沒有明確地給出這個點的移動范圍，可以通過題目中的其他信息進(jìn)行計算。通過例題的演示計算過程，理清自己的思路。

對于代數(shù)問題，主要問題是不知如何下手，通過例題能夠知道如何解題。

例如，|3x+1|+|x|<1這道題，許多同學(xué)覺得無從下手。可以先讓3x+1=0，x=0，解出這樣就將這道題的范圍得了出來，整道題討論的范圍都是圍繞著和0來進(jìn)行。

在學(xué)習(xí)的過程中要有側(cè)重點，要明白分類討論是得分的第一步，如果連大范圍都不會劃定，即使掌握了知識點也得不到分?jǐn)?shù)，所以在解答具體問題時，要將重點放在得分的第一項，知識點的講解應(yīng)當(dāng)放在新知識的學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)。

2.學(xué)會大范圍分類討論的能力

在掌握了劃定范圍的能力之后，一些同學(xué)往往不會將范圍細(xì)分討論，不清楚如何將范圍分類，而教師在講解的過程中，也很少會涉及為什么這樣分類討論，導(dǎo)致學(xué)生在向教師學(xué)習(xí)解題過程時，僅僅是把分類的問題當(dāng)成題設(shè)進(jìn)行討論，缺乏自己進(jìn)行分類的能力，而導(dǎo)致一些同學(xué)在實際的解題過程中出現(xiàn)問題。

例如，二次函數(shù)對兩根大小的討論：

x2+（b2+b）x+b2>0這道題，可以先將不等式左邊變換為（x+b）（x+b2），讓（x+b）（x+b2）=0，可以得出兩個根，x=-b，x=-b2，再分類討論這兩個根的大小關(guān)系，即：

①當(dāng) b>0 或 b<0 時，-b>-b2，解集為{x|x<-b2，x>-b}

②當(dāng) b=1 或 b=0 時，-b=-b2，解集為{x|x∈R，x≠b}

③當(dāng) 0-b2，解集為{x|x>-b2，x<-b}

在分類討論問題時，也要明白這么分類的原因，如何將大范圍分類，依據(jù)是什么？訓(xùn)練自己的嚴(yán)謹(jǐn)思維模式，明白什么叫具體問題具體分析，理清解題思路。能在實際的解題過程中學(xué)會將大范圍分類，并且針對分類逐一地解決問題，最后再進(jìn)行匯總。

3.培養(yǎng)自身分類討論的敏銳直覺

許多同學(xué)已經(jīng)掌握了分類討論思想，但是在實際的解題過程中，仍然忘記使用這個思想，因為對需要分類討論的習(xí)題缺乏一種敏銳的直覺?？梢酝ㄟ^多做需要分類討論的訓(xùn)練題，提升對分類討論習(xí)題的敏感性，還可以將常見的需要分類討論思想的問題進(jìn)行總結(jié)歸納，知道題目中有可能需要分類討論的題眼，要肯定自己，因為有些同學(xué)不敢確定這道題是否需要討論，害怕自己出現(xiàn)錯誤，所以不敢去寫。

例如，2x2+bx+2>0，這類需要解出二次根式且含有未知數(shù)的不等式，一定要分類討論b的大小。可以依據(jù)Δ=0求出b=4或-4，再通過分別討論①-4

有些題目一眼看不出需要用到分類討論思想，所以要讓學(xué)生在做題時一直保持警惕。比如，這道題求一次函數(shù)y=2kx+3k一定經(jīng)過的象限。可以先通過連等式得到c+b=ak，b+a=ck，c+a=bk，再將這三個等式相加，得到 2（a+b+c）=k（a+b+c），此時就應(yīng)當(dāng)注意討論“a+b+c”是否為零，得出當(dāng)a+b+c=0 時，k=-1，y=-2x-3，經(jīng)過二、三、四象限;當(dāng) a+b+c≠0 時，k=2，y=4x+6經(jīng)過一、三、四象限。所以肯定經(jīng)過三、四象限。

掌握了分類思想，不僅可以提升自己的數(shù)學(xué)成績，還可以訓(xùn)練自己的頭腦，讓自己的思維更加縝密。我們應(yīng)當(dāng)針對學(xué)習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，想出相應(yīng)的對策，解決問題。