不等式恒成立問題的求解方法和誤區(qū)

徐 ?。ê鲜∮乐菔薪A縣第一中學，湖南 永州）

高中數(shù)學中的恒成立問題，考查了學生學習的綜合解題能力，并培養(yǎng)和提升學生的創(chuàng)造性思維能力。而且近年來高考中的熱點問題也涉及恒成立問題。在恒成立問題的解題中，一般需要用到函數(shù)的單調(diào)性、不等式、方程、函數(shù)最值的求法等知識，一般所用到的充要條件如下：定理：設函數(shù)f（x）的最大值是M，最小值是m.（1）不等式f（x）≥k恒成立的充要條件是m≥k；（2）不等式f（x）≤k恒成立的充要條件是M≤k。通過這個定理可把恒成立問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值的問題。

一、反參為主的求解法

恒成立問題通常是變量的取值范圍是已知的，求解出參數(shù)的取值范圍。與此同時還有一些比較特殊的問題是參數(shù)的取值范圍已知，要求解出變量的取值范圍。實際上，這類題型是一般題型的相反問題，因而可進行換位思考，將參數(shù)變?yōu)橹髟?，把問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的恒成立問題，這樣即可通過一次函數(shù)的圖象解答出問題的答案。因此，若恒成立問題已有了參數(shù)范圍，通常將參數(shù)看作是主元，將主元當作是已知數(shù)，具體也即是將原題看作是參數(shù)的函數(shù)，從而進行函數(shù)的解答。

例1：對于滿足0≤p≤4的所有實數(shù)，求使不等式x2+px＞4x+p-3都成立的x的范圍。對于這道題，可作如下分析：題目中已有了參數(shù)的范圍，可將p看作是主元，得到一個有關字母p的一次函數(shù)。那么即可這樣解題：整理不等式得出（x-1）p+x2-4x+3＞0。令f（p）=（x-1）p+x2-4x+3，要使不等式f（p）＞0在0≤p≤4時恒成立，則只要不等式組成立，解得 x＞3或 x＜-1。

綜上，對于部分含參不等式的恒成立問題，在進行參數(shù)分離的過程中，如果遇到一定的障礙，或者是在完成參數(shù)與變量的分離后但求最值遇到障礙時，可把變元和參數(shù)進行換位，然后通過與其他知識的融合滲透，從而解答出來。如，在以上的例題中把參數(shù)看作是主元，那么可引導學生在草稿紙上將一次函數(shù)的圖象畫出來，使一次函數(shù)在區(qū)間［0，4］恒大于0，觀察圖象要求必須滿足不等式組f（0）=x2-4x+3＞0，f（4）=x2-1＞0。

二、數(shù)形結(jié)合的求解法

數(shù)的本質(zhì)特征是形，而形的表述形式是數(shù)，通過數(shù)形結(jié)合的方式來解題，可以達到事半功倍的效果。但由于圖形的呈現(xiàn)非常直觀，所以依然還是要通過數(shù)來完成精確的計算。

例2：若關于x的不等式x2-logax＜0在區(qū)間恒成立，求解出實數(shù)a的取值范圍。對于這道題，可引導學生作如下分析：因不等式的左邊不僅有二次式，而且還有對數(shù)式，所以分離參數(shù)時很難找到其突破口，那么經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)可將其轉(zhuǎn)換成不等式x2＜logax在區(qū)間上恒成立。那么此時可設f（x）=x2，g（x）=logax，那么此時則僅僅使得f（x）和g（x）在區(qū)間（的圖象上，并觀察a是什么值時，f（x）的圖象恒在g（x）的下方。這樣即可容易得出：0＜a＜1，且在區(qū)間上時，g（x）為減函數(shù)，所以從而解答出

三、求導數(shù)分析法

通過導數(shù)分析法來對恒成立問題進行求解，需通過使用函數(shù)與導數(shù)的關系，探討函數(shù)的單調(diào)性。所以，在解答恒成立問題時，通常需要將函數(shù)的導數(shù)先求出來，并對導函數(shù)的符號進行判斷，這樣才能確定函數(shù)在所給定區(qū)間的最值，并在指定區(qū)間上找到函數(shù)的變化趨勢，結(jié)合函數(shù)值的這種變化趨勢，再結(jié)合區(qū)間的端點值、函數(shù)的極值，對參數(shù)所滿足的不等式或不等式組予以確定，然后求解的過程中采用數(shù)學轉(zhuǎn)化思想。

例3：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），如果曲線y=f（x）和曲線 y=g（x）都過點 P（0，2），同時在點 P 處有相同的切線 y=4x+2.求a、b、c、d的值。對于這道題，首先應引導學生明白此題的解題思路是進行參數(shù)分離，接著通過導數(shù)采用導數(shù)求函數(shù)的區(qū)間最值。那么具體首先分離參數(shù)k，此時注意必須考慮極值點是否在定義域所在的區(qū)間上。

解：從題意已知，得f（0）=g（0）=2，f′（x）=g′（x）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=ex（cx+d+c），得出a=4，b=c=d=2。

綜上所述，通過上文對不等式恒成立問題的幾種求解方法的介紹，可以總結(jié)出這些解題思路及方法有著很強的知識綜合性，要求學生必須思路保持靈活，而且意識到這些解題方法都可轉(zhuǎn)化為函數(shù)求出最值進行解答，這實際上也充分體現(xiàn)了數(shù)學這門學科最本質(zhì)的思想。