從一道“數(shù)列”說題談“數(shù)列”高考

福建省尤溪七中 葉明超

高中數(shù)學(xué)中數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，在學(xué)習(xí)過程中需要把它與函數(shù)的思想及性質(zhì)結(jié)合起來學(xué)習(xí)，其特殊性反映在自變量n取正整數(shù)，故其刻畫的是離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，圖像反映的是點(diǎn)集，數(shù)列反映的是自然規(guī)律基本數(shù)學(xué)模型，它在過去幾年的高考中一直是考查的重要內(nèi)容之一，也是后續(xù)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要工具，在高考中能考查學(xué)生的邏輯推理能力和理性思維能力，以及考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，因此在高考命題中占有重要地位。筆者有幸參加了市教科所組織的一次說題研討活動(dòng)，題目背景就是一道數(shù)列題，通過對(duì)數(shù)列的考綱的研讀及對(duì)近些年高考數(shù)列命題的探討，從數(shù)列的試題評(píng)析、解法、高考定位探究幾方面談?wù)勎覍?duì)它的看法。

一、試題分析

已知數(shù)列 {an}滿足(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，t，使 m，s，t成等差數(shù)列且 am-1，as-1，at-1成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的m，s，t；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

這是一道高三文科的試題，主要從以下幾方面考查了數(shù)列的知識(shí)：利用數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)；考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的定義的應(yīng)用；指數(shù)運(yùn)算及基本不等式的綜合應(yīng)用；考查學(xué)生的能力方面：1.考查分析問題、審題能力；2.考查初等數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算求解能力；3.考查數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用能力；4.考查了數(shù)列的探究性能力，考查了數(shù)列的重要思想——化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程的思想。

本題命題的特點(diǎn)：本題考查了數(shù)列知識(shí)的基本要求和能力，比較符合近年高考對(duì)數(shù)列的考查，注重與其他知識(shí)的交匯，符合高考考試說明：“在考查數(shù)列的綜合問題時(shí)，常與函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)交織在一起，涉及化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、必然與或然等數(shù)學(xué)思想?！钡诙枌?duì)于文科學(xué)生而言難度就有點(diǎn)大了，如果這是一道理科題比較適合。

二、解法展示

本題的第一問可以從不同角度入手有不同的解法。題目要證明等比數(shù)列，可從等比的定義入手，即“數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的比值等于一個(gè)常數(shù)（非零），那么數(shù)列{an}就是等比數(shù)列”。

方法三：待定系數(shù)法，從結(jié)論知是一個(gè)等比數(shù)列，一定有cn+1=qcn，從而求出公比 q，即設(shè)，把代入上式恒等變形后可求得q=，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公比

本題的第二問：由第一問可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，依題意要滿足兩個(gè)條件，①m，s，t成等差，即 2s=m+t，②am-1，as-1，at-1 成等比，可轉(zhuǎn)化為（as-1）2=（am-1）（at-1），代入得，化簡得 2·3s=3m+3t，筆者在說題前，把這個(gè)題目在高基本不等式成立的條件是當(dāng)且僅當(dāng)m=t時(shí)取等號(hào)，這與m，s，t互不相等矛盾，故這樣的整數(shù) m，s，t不存在。

三、高考定位探究

2015年全國Ⅰ卷文科考查三角函數(shù)，理科考查了數(shù)列，第17題：Sn為數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和，已知 an＞0，an2+2an=4Sn+3，（1）求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=三學(xué)生進(jìn)行測(cè)試時(shí)，發(fā)現(xiàn)很多文科的學(xué)生化簡到這里止步了，當(dāng)然，對(duì)于我們一般高中學(xué)生而言能化簡到這一步的同學(xué)已經(jīng)很不錯(cuò)了，之后的步驟如果交給理科學(xué)生應(yīng)該沒有問題，通過觀察已知條件要充分應(yīng)用m+t=2s，而m，t又在指數(shù)位置，故只能將3m+3t轉(zhuǎn)化為 3m×3t＝3m+t，因而聯(lián)想到基本不等式具有這個(gè)功能。即3m＋3t≥，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和。

本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解方法中的已知Sn表達(dá)式求an的過程、考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，（1）由已知an2+2an=4Sn+3①，可遞推出 an＋12+2an＋1=4Sn＋1+3②，由②式 -①式可得 an＋12-an2+2（an＋1-an）=4an＋1，移項(xiàng)相消后得 an＋1-an=2，通過已知等式令n=1可求得a1=3，所以an=2n，其前n項(xiàng)和Tn＝

2016年全國Ⅰ卷理科考查三角函數(shù)，文科考查了數(shù)列，第17題：已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和。

本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解方法，依題意令n=1，可求得a1=2，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d，即an=3n-1，考查數(shù)列基本量的計(jì)算能力。（2）把a(bǔ)n=3n-1代入已知式子，可得bn+1=，所以數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，按等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式即可求得。本試題由于是文科的考題，因此相對(duì)比較基礎(chǔ)。

2017年全國Ⅰ卷理科仍然考查三角函數(shù)，文科繼續(xù)考查了數(shù)列，第17題：記Sn為等比數(shù)列 {an}的前n項(xiàng)和，已知S2=2，S3=-6，（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求 Sn，并判斷 Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列。

本題仍注重對(duì)數(shù)列基本量的計(jì)算求解能力及通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，利用等差中項(xiàng)公式判斷是否為等差數(shù)列的應(yīng)用。屬于考查比較基礎(chǔ)的題型，大部分考分能完成試題的解答。

四、復(fù)習(xí)定位反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出，數(shù)列有著廣泛的應(yīng)用，在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中就注重培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)列模型的能力，在數(shù)列的復(fù)習(xí)中應(yīng)充分保證基本技能的訓(xùn)練，讓學(xué)生通過一定的練習(xí)訓(xùn)練掌握數(shù)列基本量的計(jì)算，從近幾年的全國卷數(shù)列高考來看，其命題特點(diǎn)注重基本知識(shí)和基本方法的考查，適度綜合與函數(shù)等知識(shí)交匯。

從高考題量分布來看，2016和2017兩年文科均考查了數(shù)列的大題，難度都不大，都屬于基礎(chǔ)題型，主要考查等差等比的性質(zhì)、數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和問題、等差等比的判定，2015年理科考查了數(shù)列的大題，由于2016年高考理科沒有考查數(shù)列的大題，很多高三老師都在猜測(cè)2017年高考理科考數(shù)列的大題的可能性很大，把精力放在數(shù)列的訓(xùn)練上而忽視了三角，因而，在復(fù)習(xí)策略上要正確對(duì)待，不要盲目猜測(cè)，給學(xué)生錯(cuò)誤的導(dǎo)向作用，只要我們的老師能按《標(biāo)準(zhǔn)》認(rèn)真落實(shí)，注重一些數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，數(shù)列解題時(shí)常會(huì)用到方程思想（求基本量時(shí)要有求解基本方程的能力）、化歸與轉(zhuǎn)化思想（把非等差、等比數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和）、分類討論思想（已知sn求an中常要對(duì)n是否等于1討論）、遞推思想（遞推式本就對(duì)于一切n均成立，故常常對(duì)式中的n進(jìn)行遞推）、函數(shù)思想(數(shù)列本身就是一種特殊的函數(shù)，其僅僅是變量n的取值特殊，其他的性質(zhì)與函數(shù)一樣，故數(shù)列一些問題的求解可通過函數(shù)思想來解決)。

經(jīng)歷了全國高考到省自主命題，在全國教學(xué)改革的形式下又一次回到全國卷，既熟悉又陌生，在新課程的實(shí)施中，我們要準(zhǔn)確把握全國卷的命題特點(diǎn)，對(duì)于我們來說會(huì)遇到許多問題和困惑，對(duì)于每個(gè)從事教學(xué)的老師來說，都是一次新的挑戰(zhàn)。我們要認(rèn)真學(xué)習(xí)新課標(biāo)，研究新高考，將現(xiàn)代先進(jìn)的教學(xué)理念與傳統(tǒng)的教學(xué)思想相結(jié)合，勇于在實(shí)踐中反思，在反思中實(shí)踐，在實(shí)踐與反思中成長。