突出基礎(chǔ)性綜合性 發(fā)揮區(qū)分選拔功能
——2018年高考數(shù)學函數(shù)試題分析

任子朝 趙 軒

（教育部考試中心，北京 100084）

函數(shù)是中學數(shù)學的基礎(chǔ)和重點內(nèi)容，有一種說法是“初中以方程為主線，高中以函數(shù)為主線”，足見函數(shù)在高中數(shù)學中的地位?，F(xiàn)行中學數(shù)學課程標準中，函數(shù)是分散在必修課程和選修課程中分別教授的，其中必修課程教授函數(shù)概念、基本初等函數(shù)、三角函數(shù)（本文不討論三角函數(shù)），選修課程教授導數(shù)及其應(yīng)用[1]。高考數(shù)學對函數(shù)的考查，在注重基礎(chǔ)性、體現(xiàn)綜合性的同時，突出選拔性和創(chuàng)新性。

1 函數(shù)內(nèi)容的考查特點

1.1 注重基礎(chǔ)性

函數(shù)是高考數(shù)學的考查重點，對函數(shù)基礎(chǔ)知識的理解和函數(shù)數(shù)學方法的掌握，對于發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)揮著基礎(chǔ)性的關(guān)鍵作用，因此歷年高考數(shù)學試題全面覆蓋函數(shù)的概念、函數(shù)的圖像和性質(zhì)、冪指對函數(shù)、函數(shù)的模型及其應(yīng)用、函數(shù)的導數(shù)及其應(yīng)用等各項內(nèi)容。通過對函數(shù)核心概念、基本原理和基本方法的考查，增強考查內(nèi)容的基礎(chǔ)性；同時通過對函數(shù)內(nèi)容全面系統(tǒng)的考查，強化學科共同基礎(chǔ)，使學生牢固掌握解決問題的基本方法和工具，為學科核心素養(yǎng)的提升創(chuàng)造條件、打牢基礎(chǔ)。

1.2 體現(xiàn)綜合性

函數(shù)涉及的內(nèi)容多，高考由于試卷容量的限制，不可能設(shè)計很多的試題，所以通常是通過綜合設(shè)計試題，將函數(shù)的多個內(nèi)容銜接和聯(lián)系起來考查，如將函數(shù)的圖像和性質(zhì)相結(jié)合考查，將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)作為函數(shù)模型考查函數(shù)性質(zhì)，將導數(shù)和切線結(jié)合，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等。函數(shù)的綜合性試題注重強化知識體系的內(nèi)在聯(lián)系，強調(diào)各分支內(nèi)容的相互交叉與滲透，要求學生能夠綜合運用所學知識、原理、方法分析問題和解決問題，從而引導學生注重認識事物整體的結(jié)構(gòu)、功能和作用，分析理解事物變化發(fā)展的全過程，鼓勵學生從整體上分析各種現(xiàn)象的本質(zhì)和規(guī)律，促進學生形成更加全面、完整的知識結(jié)構(gòu)。

1.3 突出創(chuàng)新性和選拔性

函數(shù)是高中階段極為重要的數(shù)學知識，函數(shù)的方法和思想在解決其他分支問題時發(fā)揮著重要作用，是大學數(shù)學及其他相關(guān)學科的基石，是初等數(shù)學和高等數(shù)學聯(lián)系的橋梁和紐帶。高考數(shù)學充分利用函數(shù)內(nèi)容的特點，加強對考生創(chuàng)新能力的考查，以達到區(qū)分和選拔的目的，主要途徑有：增強試題的開放性和探究性，鼓勵學生打破常規(guī)、創(chuàng)造性地解決問題；通過創(chuàng)設(shè)新穎的試題情境，考查學生的閱讀理解能力，體現(xiàn)思維的靈活性；提出有一定跨度和挑戰(zhàn)性的問題，引導學生進行深入思考和探究，考查學生的數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)。

2 函數(shù)內(nèi)容考查實踐

2.1 數(shù)形結(jié)合考查函數(shù)性質(zhì)

例1（2018年高考數(shù)學全國Ⅱ卷理科第3題）

例1考查的知識內(nèi)容是函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查的核心素養(yǎng)目標是邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)。該題以指數(shù)函數(shù)y=ex-e-x（奇函數(shù)）和冪函數(shù)y=x2（偶函數(shù)）為基礎(chǔ)，設(shè)計構(gòu)造了一個新的函數(shù)f(x)=。通過這種復(fù)合的方式，綜合考查了函數(shù)的圖像和性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，同時考查由函數(shù)性質(zhì)分析函數(shù)圖像的能力。

在解決這類函數(shù)圖像判定問題時，因為函數(shù)的圖像不容易得到，所以可以通過函數(shù)的奇偶性、周期性的特點和在特殊點處的取值判定函數(shù)圖像的一些特征，相互對比、校驗得出結(jié)論。根據(jù)函數(shù)表達式進行推斷：因為f(x)=-f(-x)，所以這是一個奇函數(shù)，故選項A不是正確選項；再通過f(2)=＞1，故選項C和D不是正確選項。此題也可以通過分析函數(shù)的變化趨勢進行判斷：函數(shù)在趨于負無窮時取值趨于負無窮,或計算f(-3)=＜-2。選項B為該題正確答案。

例1以圖像的形式考查指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的基本概念與性質(zhì)，形式新穎，對考生的邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象素養(yǎng)以及靈活分析問題、解決問題的能力都進行了考查，體現(xiàn)了2017年版新課標的基本理念。

2.2 抽象綜合考查思維層次

例2（2018年高考數(shù)學全國Ⅱ卷理科第11題）

已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=

A.-50 B.0 C.2 D.50

例2考查的知識內(nèi)容是函數(shù)的奇偶性、周期性、函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查的核心素養(yǎng)目標是邏輯推理與數(shù)學運算素養(yǎng)，以及觀察、歸納、合情推理的數(shù)學思想及方法。該題也是以函數(shù)的性質(zhì)命題，但與例1不同的是：一是更強調(diào)函數(shù)的周期性、對稱性的特點；二是沒有給出具體的函數(shù)的表達式；三是要求得出具體的數(shù)值結(jié)果。因此，例2的考查要求比例1更高，難度更大，要求考生能正確地理解概念，計算出抽象函數(shù)的部分函數(shù)值，歸納得出一般規(guī)律，從而給出解答，得出結(jié)論。

解答例2可以先由題設(shè)的奇函數(shù)條件和f(1-x)=f(1+x)，推導出f(x)是周期為4的周期函數(shù)，然后再由已知f(1)=2，計算f(2)=f(0)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-2，f(4)=f(-2)=-f(2)=0，最后得出f(1)+f(2)+f(3)+…+f(49)+f(50)=(2+0-2+0)×12+2+0=2。此題也可以利用函數(shù)圖像對稱的性質(zhì)進行解答，因為函數(shù)f(x)滿足f(1-x)=f(1+x)，可知f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱；又f(x)為奇函數(shù)，所以有f(0)=0；已知f(1)=2，計算f(2)=f(0)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-2，同理計算f(4)，f(5)，…，f(50)，即可得出結(jié)論。

例2以抽象函數(shù)為問題背景，考查了函數(shù)的全部重要性質(zhì)，體現(xiàn)了綜合性的要求。試題對數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)提出了較高要求，有效地區(qū)分了考生。

2.3 分析推理考查探究創(chuàng)新

例3（2018年高考數(shù)學全國Ⅱ卷理科第21題）

已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

（1）若a=1，證明：當x≥ 0時，f(x)≥ 1；

（2）若f(x)在(0,+∞)只有一個零點，求a.

例3考查的知識內(nèi)容是導數(shù)公式和導數(shù)運算法則、函數(shù)零點的概念、利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，綜合考查數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，以及分類與整合的數(shù)學思想。該題體現(xiàn)了高考對函數(shù)內(nèi)容的最高要求，是全卷難度最高的試題，彰顯了高考區(qū)分和選拔的特點。

例3以學生熟悉的初等函數(shù)為出發(fā)點，函數(shù)中設(shè)置一個未知參數(shù)，第（1）問給定參數(shù)a=1，考查考生對函數(shù)求導、利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性等基本方法的掌握程度；第（2）問要求考生利用函數(shù)在(0,+∞)只有一個零點的條件求出參數(shù)的值，有一定難度，對考生運用所學知識尋找合理的運算途徑以及推理論證能力都提出了較高要求。

解答例3的思路很多。對于第（1）問，由于對函數(shù)求導后f′(x)=ex-2x，難以直接判斷f′(x)的正負，可以考慮設(shè)新函數(shù)g(x)=f′(x)=ex-2x，對函數(shù)g(x)求導，利用導數(shù)判斷g(x)的正負，從而討論f(x)的單調(diào)性，進而得到結(jié)論；還可以對f(x)≥1進行變形，得到ex≥x2+1，再進一步作等價變形得到(x2+1)e-x-1≤0，從而討論函數(shù)g(x)=(x2+1)e-x-1的性質(zhì)，得到結(jié)論。在證明過程中，變形是解決問題的關(guān)鍵。總之，當ex與x2或2x分離時，很難判定函數(shù)的正負，只有把它們組合起來，把冪函數(shù)變成ex的系數(shù)，求導后再討論冪函數(shù)的性質(zhì)，才能更容易地解決問題。

第（2）問的解題思路與第（1）問類似，也是要進行變形，將ex與x2組合起來，便于求導處理。由于f(x)=0，即ex-ax2=0，將等式兩邊同除以ex，轉(zhuǎn)化為 1-ax2e-x=0；設(shè)h(x)=1-ax2e-x，從而f(x)在(0,+∞)只有一個零點，當且僅當h(x)在(0,+∞)只有一個零點；進而利用導數(shù)研究h(x)的性質(zhì)即可得到參數(shù)的取值。該題還可以對ex-ax2=0進行反向處理，將等式兩邊同除以x2，顯然x=0不是f(x)的零點，故將此式轉(zhuǎn)化為-a=0，設(shè)h(x)=-a，從而f(x)在(0,+∞)只有一個零點，當且僅當h(x)在(0,+∞)只有一個零點；進而利用導數(shù)研究h(x)的性質(zhì)即可得到參數(shù)的取值。

解答第（2）問的另一個思路是利用數(shù)形結(jié)合的方法，從函數(shù)圖像的形態(tài)進行分析，得到解題思路。由于f(0)=1，且由函數(shù)的性質(zhì)可得，當x充分大時 ，f(x)＞0，從而如果存在x1∈(0,+∞)使得f(x1)＜ 0，則f(x)在(0,+∞)至少存在兩個零點；從而，f(x)在(0,+∞)的唯一零點一定是f(x)在(0,+∞)的最小值點，則由f(x0)=0，f′(x0)=0即可得到參數(shù)的取值。通過幾何直觀可知，在(0,+∞)上f(x)只有一個零點，等價于曲線y=ex與y=ax2只有一個公共點，從而曲線y=ex與y=ax2在公共點處有相同的切線，即若f(x0)=0，應(yīng)有f′(x0)=0，即可求得參數(shù)的取值。

在高中階段引進導數(shù)概念，有利于學生更深刻地理解動態(tài)變化的函數(shù)本質(zhì)，提高思維層次。導數(shù)的重要應(yīng)用之一是利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、零點、極值和最值，是高中數(shù)學的重要知識和工具。例3分步設(shè)問，逐步推進，考查由淺入深，使考生的思維廣度和深度得到充分展示，較好地發(fā)揮了選拔功能，特別是對高水平考生的選拔功能。試題引導中學數(shù)學教學在提高學生的分析綜合能力、問題轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理素養(yǎng)方面下功夫。

3 函數(shù)內(nèi)容教學建議

通過以上分析可以看出，高考對函數(shù)內(nèi)容的考查，一方面是作為重要的基礎(chǔ)知識，考查學生對今后學習所必需的重要基礎(chǔ)和工具的掌握程度，同時更重要的是考查學生核心素養(yǎng)的發(fā)展水平，以區(qū)分和選拔學生。

利用函數(shù)知識可以深入考查數(shù)學運算、直觀想象和邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)：1）對數(shù)學運算的考查，既可以在冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的計算中或函數(shù)值大小的判定中，也可以在函數(shù)的奇偶性、增減性、周期性、對稱性的判斷和利用性質(zhì)求解的計算中，還可以在函數(shù)和導數(shù)結(jié)合中進行考查，其中求導是一種重要的運算，要求考生將求導法則應(yīng)用于具體的函數(shù)，然后根據(jù)導數(shù)和極值間的關(guān)系，判定函數(shù)的極值和單調(diào)性。2）對直觀想象的考查，主要是根據(jù)函數(shù)表達式畫出函數(shù)的圖像，根據(jù)函數(shù)的圖像推斷函數(shù)的性質(zhì)，以及根據(jù)函數(shù)的表達式判斷函數(shù)的圖像，通過函數(shù)圖像啟發(fā)思路、驗證結(jié)論。3）邏輯推理主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；另一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹[2]。高考中利用函數(shù)知識考查的邏輯推理素養(yǎng)主要是從一般到特殊的推理，即演繹推理。

根據(jù)高考中對函數(shù)內(nèi)容的考查要求和特點，中學數(shù)學教學首先要全面學習基礎(chǔ)知識，不要存在任何僥幸心理，不要根據(jù)前一年的試題盲目推斷當年哪項內(nèi)容不考、哪項內(nèi)容必考?，F(xiàn)在中學教學和復(fù)習中存在一種現(xiàn)象，就是加快教學進度，灌輸難題，反復(fù)刷題，不給學生思考的時間和空間。這種應(yīng)試傾向必須克服，教師要通過全面教學，使學生了解知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程，夯實學生的知識基礎(chǔ)，使學生掌握解決問題的工具；教師要教會學生發(fā)現(xiàn)知識間的有機聯(lián)系，使學生能夠進行知識間的綜合，達到對知識的靈活運用；教師在教學過程中要充分利用函數(shù)內(nèi)容的特點，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，提高學生解決問題的能力。這些才是中學教學最重要的目的。