讓數(shù)學(xué)閱讀走進課堂
——“余弦定理”教學(xué)案例

張紅梅

（湖南省常德市第三中學(xué)）

一、教學(xué)設(shè)計

1.教學(xué)背景

提升數(shù)學(xué)閱讀能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的需要,是學(xué)生未來生活的需要。數(shù)學(xué)閱讀能力包括：轉(zhuǎn)譯交流、分析推理、聯(lián)想記憶、概括總結(jié)。利用數(shù)學(xué)公式定理課的教學(xué)可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)分析推理能力。在數(shù)學(xué)公式和定理的學(xué)習(xí)中，需要學(xué)生具備多方面的能力，對新舊知識聯(lián)系的理解能力，對公式與定理的推理與演繹能力等。而數(shù)學(xué)公式和定理教學(xué)容易產(chǎn)生“一背二套”“公式加例題”的形式，這種形式的教學(xué)往往使學(xué)生頭腦里只留下公式、定理的外殼，忽視它們的來龍去脈。我在平常的教學(xué)中經(jīng)常運用“創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境與提出數(shù)學(xué)問題”進行教學(xué)，使學(xué)生從過去被動地接受知識逐步過渡到主動探究、索取知識，增強了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

2.教材分析

“余弦定理”是人教A版必修5第一章的主要內(nèi)容之一，是解決有關(guān)斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓，要求學(xué)生正確理解定理的結(jié)構(gòu)特征，通過定理的應(yīng)用，體會方程思想在解決問題中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生探究問題的欲望，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力。本節(jié)課是“正弦定理、余弦定理”教學(xué)的第二節(jié)課，主要任務(wù)是引入并證明余弦定理，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。

3.設(shè)計思路

本課的教學(xué)采用探究式的教學(xué)方式，即教學(xué)過程中教師以問題為導(dǎo)向設(shè)計問題情境，學(xué)生通過自主探究和合作交流，解決問題、總結(jié)經(jīng)驗、歸納規(guī)律，從而發(fā)現(xiàn)并證明“余弦定理”。

二、教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境

已知三角形三邊a、b、c，其中c為最大邊。根據(jù)勾股定理，當(dāng)∠C=90°時c2=a2+b2，在斜三角形中a2+b2與c2有什么關(guān)系？

學(xué)生通過探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠C＜90°時有 c2＜a2+b2；當(dāng)∠C＞90°時有c2＞a2+b2。

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出關(guān)系：c2=a2+b2-m。且m的符號與∠C的大小有關(guān)。

設(shè)計意圖：通過類比引入，使學(xué)生對新公式、新定理不感到突然，而是舊公式、舊定理的延展。

2.提出問題

師：大家想一想，能不能得到三邊a、b、c與∠C的具體關(guān)系，能否把這個具體問題抽象為數(shù)學(xué)問題？

能，△ABC 中，已知 a、b、∠C，求 c邊的長。

師：能用正弦定理求解嗎？為什么？

師：這個問題的實質(zhì)是什么？

在三角形中，已知兩邊和它們的夾角，求第三邊。

設(shè)計意圖：學(xué)生體會到正弦定理的不足，從而激發(fā)興趣，探索新知。

師：來看一個具體問題，在△ABC 中a=8，b=5，∠c=60°，求 c邊是多少。

教師引導(dǎo)學(xué)生從多方面進行分析，選擇簡潔的處理方法，引發(fā)學(xué)生的積極討論。

討論一：構(gòu)造直角三角形，過A作BC邊的高AD，通過直角△ACD求出線段BD、CD的長度，進而求出AD的值，再借助△ABD求線段AB。

討論二：建立平面直角坐標系，設(shè)點 C（0，0），點 A（5，0），通過三角函數(shù)可求點，借助兩點距離公式可求AB。

注：運用向量解決這個問題學(xué)生不易想到，教師可適當(dāng)引導(dǎo)。

設(shè)計意圖：通過具體問題的解題探究，為一般性問題的探究做鋪墊，使學(xué)生在探究新知時不會感到無從下手，培養(yǎng)學(xué)生從特殊演繹到一般的思考意識。

3.解決問題

師：通過這一具體問題的求解，我們能否借助這三種方法解決任意三角形中“邊角邊”的問題。

方法一：要對C是銳角、直角、鈍角進行分類討論。

在課堂上只展示銳角三角形中的證明。其他兩種三角形中的證明可留給學(xué)生課后完成。

方法二:建立直角坐標系，則 C（0，0），B（acosC，asinC），A（b，0）.

即 c2=（acosC-b）2+（asinC）2=a2cos2C+a2sin2C-2bacosC+b2=a2+b2-2abcosC

4.反思應(yīng)用

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。

教師板書余弦定理。

師：這幾個式子有怎樣的特點？可以解決哪幾類問題？

生：等式左邊的邊對應(yīng)右邊的角，每個公式有四個未知量，知三求一，可解決已知兩邊一角，三邊的問題。

師：在△ABC 中 a=8，b=5，∠C=60°，求 c邊？（學(xué)生板書）

設(shè)計意圖：將知識歸納比較，發(fā)現(xiàn)特征，加強識記，同時首尾呼應(yīng)，利用余弦定理解決一開始提出的具體問題。

師：如何看待勾股定理和余弦定理之間的關(guān)系？

若中，△ABC 中，∠C=90°，則 cosC=0，這時 c2=a2+b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

設(shè)計意圖：由于學(xué)習(xí)的階段性等原因，中學(xué)數(shù)學(xué)許多公式和定理是可以推廣的，教會學(xué)生推廣，讓學(xué)生看清知識的內(nèi)部聯(lián)系，是把知識納入學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的有效途徑。

三、教學(xué)反思

數(shù)學(xué)具有系統(tǒng)性，新公式、新定理可以由舊公式、舊定理通過類比遷移而來。先通過類比引入使學(xué)生對新公式、新定理不感到突然，而是舊公式、舊定理的延展，從一個解三角形具體問題出發(fā)，提出問題，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動學(xué)生積極性，再對舊知識應(yīng)用中提煉出新知識，從而新舊知識融為一體，使學(xué)生建立完整的知識系統(tǒng)。公式的推導(dǎo)和定理的證明是教學(xué)的核心。如果在教學(xué)中不重視推導(dǎo)，學(xué)生對它們的來龍去脈就會很模糊。在推導(dǎo)過程教學(xué)中，我盡量發(fā)揮學(xué)生的主體作用，能讓學(xué)生推導(dǎo)就讓學(xué)生推導(dǎo)，并注意指出學(xué)生推導(dǎo)中的錯誤。通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，讓學(xué)生成為余弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”。知識、能力、情感目標均得到了較好的落實，為今后的“定理教學(xué)”提供了一些有用的借鑒。余弦定理的證明是本節(jié)教學(xué)的重要一環(huán)，本節(jié)課的教學(xué)案例是在吸取傳統(tǒng)教學(xué)模式的優(yōu)點下，結(jié)合新課改的要求進行設(shè)計，引導(dǎo)為主，重在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，培養(yǎng)其提出問題、解決問題的能力、分析推理能力。