初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想方法的滲透

（綿陽市梓潼縣文昌中學(xué) 四川綿陽 622150）

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”。“數(shù)”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的。這既符合初中生的認(rèn)知能力，又能達(dá)到培養(yǎng)初中生的思維能力。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法，主要是將數(shù)學(xué)中抽象的語言與直觀的圖像結(jié)合起來開展教學(xué)活動，將抽象思維和形象思維結(jié)合起來，使學(xué)生能更加容易地解答困難的題目，更深刻的記憶和理解代數(shù)運算。[1]

一、初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的教材研究

曾經(jīng)初中數(shù)學(xué)教材分為兩大版塊：“代數(shù)”與“幾何”，之后數(shù)學(xué)教材經(jīng)歷了若干次改革，在新課改的要求中，數(shù)學(xué)中的“代數(shù)”和“幾何”就成為不可分割兩個認(rèn)知內(nèi)容，變得數(shù)中有形，形中有數(shù)，代數(shù)和幾何相互穿插，用形來解決和幫助理解數(shù)的問題，用數(shù)解決，歸納，計算形的問題。二者不僅僅是表層意義上的結(jié)合，更關(guān)鍵的是思想上的結(jié)合，這就潛移默化地強調(diào)了數(shù)學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”這一重要的思想方法。仔細(xì)研讀人教版初中數(shù)學(xué)教材（2007-10 第 3 版），不難發(fā)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”思想如同一條主線，貫穿了初中數(shù)學(xué)的始終。新課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）指出：“數(shù)學(xué)中有一些重要內(nèi)容、方法、思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長的認(rèn)識過程，逐步理解和掌握的，如分?jǐn)?shù)、函數(shù)、概率、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、模型思想等 。”這就要求學(xué)生具備數(shù)形結(jié)合思想方法，并運用它來幫助學(xué)生理解教材中知識，并解決實際問題。[2]

縱觀整套人教版初中數(shù)學(xué)的教材，可以把數(shù)形結(jié)合思想分為以下三種主要形式：以數(shù)化形、以形變數(shù)、形數(shù)互變。

二、初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的實際應(yīng)用案例

數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)新的概念一種基礎(chǔ)理解方法和解題中的一種基礎(chǔ)思維方法， 通過與圖形結(jié)合的方式來形象的理解抽象的概念和梳理一些解題思路，能夠有效降低理解概念和解題難度，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的能力和提高解題效率與準(zhǔn)確性。

1. 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決一元一次不等式

在初中階段，不等式位于一次方程（組）之后，它是進(jìn)一步探究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要內(nèi)容，不等式的研究從最簡單的一元一次不等式開始，它不同于一次方程解的唯一性，滿足不等式的解的不唯一性成為學(xué)生理解的一個障礙。需要借助數(shù)軸從形的角度描述不等式的解集。

教材第九章的內(nèi)容是“不等式與不等式組”。本章第 1 節(jié)“不等式及其解集”從汽車勻速行駛這一問題出發(fā)，由“路程、速度、時間”三者的關(guān)系得出關(guān)系式

并由此得出不等式的概念。在課堂教學(xué)中筆者設(shè)計安排通過多次“試值”，驗證一系列數(shù)是否滿足不等式，發(fā)現(xiàn)有些數(shù)能使不等式成立，有些數(shù)不能使不等式成立，由此得出“不等式的解”的概念，從而使學(xué)生認(rèn)識到不等式解的無限性，由此得出“解集”概念，并用數(shù)軸來表示此解集，最后總結(jié)“一元一次不等式”的概念。

用數(shù)軸來表示數(shù)在前面認(rèn)識實數(shù)的時候已經(jīng)體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，用數(shù)軸來表示數(shù)集比用數(shù)軸表示數(shù)又進(jìn)了一步。教材在“不等式的解集”的概念之后，立即就給出了用數(shù)軸表示不等式的解集的方法，使學(xué)生直觀地看到不等式的解有無限多個，并從直觀上理解“不等式的解集”與方程的解的區(qū)別，加深學(xué)生對解集的理解。這里借助數(shù)軸表示不等式解集，僅是讓學(xué)生對此有個初步的認(rèn)識，在之后確定一元一次不等式組的解集時，利用數(shù)軸更為有效。

本章第 3 節(jié)“一元一次不等式組”把數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)地更加淋漓盡致。而這種思想延續(xù)到了高中的解一元二次不等式，分式不等式等等。

2.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決三角函數(shù)

三角函數(shù)是一個十分重要的概念，初中的銳角三角函數(shù)有利于幫助解決測量，坡度，航海等問題，再現(xiàn)了三種銳角三角函數(shù)在解決現(xiàn)實問題時發(fā)揮的功用。在講解“三角函數(shù)”這一知識點時，需要學(xué)生能很好的結(jié)合形與數(shù)，利用形來思考數(shù)量關(guān)系，利用數(shù)來解決形的實際問題。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想，并運用到三角函數(shù)的知識解答相關(guān)問題，進(jìn)而幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的實際困難，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的熱情和積極性，進(jìn)而提高中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率。數(shù)形結(jié)合教學(xué)理念是在教學(xué)實踐中分析總結(jié)出來的，數(shù)形結(jié)合教學(xué)模式比較豐富，數(shù)形結(jié)合教學(xué)理念改變了傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)理念和教學(xué)模式，成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中比較常用的教學(xué)模式，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也發(fā)揮著極其重要的作用。

比如，解直角三角形在現(xiàn)實生活生產(chǎn)應(yīng)用廣泛，把“實際問題”抽象成“數(shù)學(xué)問題”的過程時，需要依據(jù)問題情境畫出并分析幾何圖形，獲得圖形中的邊或角的某種關(guān)系，再經(jīng)過一系列的推理和計算，解決實際問題。

所以，教師在進(jìn)行本章的教學(xué)時，無論是銳角三角函數(shù)，還是解直角三角形，在引入概念、邏輯推理、解決實際問題等各個環(huán)節(jié)中，盡可能通過圖形輔助學(xué)生準(zhǔn)確而快速地找到直角三角形中的邊、角之間的關(guān)系，幫助學(xué)生理解和分析。教師加強數(shù)形結(jié)合思想的滲透，才能加深學(xué)生對銳角三角函數(shù)本質(zhì)的理解。

結(jié)語

數(shù)形結(jié)合教學(xué)理念在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用是不可替代的，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的教學(xué)理念和教學(xué)模式，教師一定要結(jié)合學(xué)生的特點和實際情況合理的制定數(shù)形結(jié)合教學(xué)方案，深入淺出，分層引入數(shù)形結(jié)合教學(xué)理念。中學(xué)數(shù)學(xué)教師可以采用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)模式把教材內(nèi)方程相關(guān)的數(shù)學(xué)知識簡單化，具體化，如果脫離了圖形，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣就無法得到激發(fā)，會枯燥乏味。在數(shù)形結(jié)合教學(xué)理念下，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師起到引導(dǎo)和輔助的作用，做好課前準(zhǔn)備，讓學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的重要性。學(xué)生只有深入把握數(shù)學(xué)知識，才能把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實際生活中，解決生活中遇到的實際問題。