兩個(gè)一次函數(shù)絕對值的和與差求最值的方法探究

許文新

（福建省南平第一中學(xué)）

許文新

（福建省南平第一中學(xué)）

兩個(gè)一次函數(shù)絕對值的和與差求最值時(shí)，當(dāng)兩個(gè)絕對值中的一次項(xiàng)系數(shù)不相同也不互為相反數(shù)時(shí)，我們通?？梢杂媒^對值不等式來求最值，方便快捷，而不必用零點(diǎn)分區(qū)法將絕對值打開寫成分段函數(shù)的形式。但是，當(dāng)兩個(gè)絕對值中的一次項(xiàng)系數(shù)不相同也不互為相反數(shù)時(shí)，絕對值不等式無法使用，我們通常是用零點(diǎn)分區(qū)法將絕對值打開寫成分段函數(shù)的形式，利用函數(shù)圖象求最值，但總是覺得很繁瑣。其實(shí)，此時(shí)仍然可以用絕對值不等式來求最值，只需稍作變化，舉例如下：

當(dāng) x=3，且（x+1）（x-3）≤0 時(shí)，

即當(dāng)x=3時(shí)，fmin（x）=f（3）=4

當(dāng) x=a，且（x+2）（x-a）≤0 時(shí)，

即當(dāng)x=a時(shí)，fmin（x）=

【分析】若用零點(diǎn)分區(qū)法將絕對值打開，必須對a和-1進(jìn)行比較大小、分類討論，非常繁瑣。而這里只用了兩次縮小變形，就得到了函數(shù)的最小值，簡潔明了。

當(dāng) x=-2，且（x-1）（x+2）≥0 時(shí)，

即當(dāng)x=-2時(shí)，fmax（x）=f（-2）=3

即，-f（x）≤3，∴f（x）≥-3

當(dāng) x=2 時(shí)，且（x+1）（x-2）≥0 時(shí)，

即當(dāng)x=2時(shí)，fmin（x）=f（2）=-3

【分析】因?yàn)槭莾蓚€(gè)絕對值相減，必須進(jìn)行放大變形才能用絕對值不等式，而將系數(shù)2變?yōu)橄禂?shù)1是縮小變形，故從它的相反數(shù)出發(fā)來做，先把的系數(shù)-2放大到系數(shù)-1，再用絕對值不等式進(jìn)行放大，得到函數(shù)相反數(shù)的最大值，從而得到函數(shù)的最小值。

當(dāng) x=-2，且（x-2）（x+2）≥0 時(shí)，

即當(dāng)x=-2時(shí)，fmax（x）=f（-2）=8

即，-f（x）≤12，∴f（x）≥-12

當(dāng) x=-2，且（x-2）（x+2）≥0 時(shí)，

即當(dāng)x=-2時(shí)，fmin（x）=f（-2）=-12

【分析】因?yàn)槭莾蓚€(gè)絕對值相減，必須進(jìn)行放大變形才能用絕對值不等式，而將系數(shù)5變?yōu)?是縮小變形，故從它的相反數(shù)出發(fā)來做，先把系數(shù)-5放大到-3，這樣可提最公因式3，再用絕對值不等式進(jìn)行放大，得到函數(shù)相反數(shù)的最大值，從而得到函數(shù)的最小值。

當(dāng)x=m，且（x-3）（x-m）≥0時(shí)，

即當(dāng)x=m時(shí)，fmax（x）=f（m）=2

【分析】若用零點(diǎn)分區(qū)法將絕對值打開，必須對3和m進(jìn)行比較大小、分類討論，非常繁瑣。而這里只用了兩次放大變形，就得到了函數(shù)的最大值，簡潔明了。