試論高中生數(shù)學(xué)解題失誤的思維定式

潘妙妙

（江蘇省蘇州市吳江平望中學(xué)，江蘇 蘇州）

思維定式是指如果人在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)保持一種方法去思考問(wèn)題，就會(huì)形成習(xí)慣，從而形成思維定式，并且思維定式在高中數(shù)學(xué)課程的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題雙過(guò)程當(dāng)中都是存在的，所以，相對(duì)而言，其具有較強(qiáng)的雙面性。但是，思維定式也有著優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)，擁有思維定式，高中生才能夠在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中有章可循，才更容易掌握相關(guān)內(nèi)容和知識(shí)，并且，在以后的學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，就算是學(xué)習(xí)到了新的知識(shí)和內(nèi)容，應(yīng)用思維定式也更容易理解。思維定式的劣勢(shì)就是，高中生不能脫離機(jī)械化思考，一味地被動(dòng)模仿，沿襲舊規(guī)，不思革新，就會(huì)出現(xiàn)解題失誤等現(xiàn)象。因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)緊密地將高中生數(shù)學(xué)教學(xué)和改革后的實(shí)踐聯(lián)系在一起，從分析高中數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)的現(xiàn)象入手，認(rèn)識(shí)到高中數(shù)學(xué)課程和教學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)與教育規(guī)律。

一、思維定式的概括

1.思維定式

在高中生的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，解題失誤總是會(huì)伴隨著思維定式，高中生之所以會(huì)造成解題失誤，就是由于長(zhǎng)時(shí)間地按照自己所積累的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題，或者是使用自己已經(jīng)掌握了的規(guī)律進(jìn)行。在這個(gè)反復(fù)使用的過(guò)程中就逐漸形成了思維定式。思維定式具有較強(qiáng)的固定性和定型性。思維定式在感性領(lǐng)域也被稱之為刻板印象，人們會(huì)在腦海中形成一個(gè)固定的傾向，所以當(dāng)面臨問(wèn)題的時(shí)候，都會(huì)憑借自己所積累的經(jīng)驗(yàn)去解決。當(dāng)高中生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，雖然使用思維定式會(huì)有一定的幫助，但是如果長(zhǎng)時(shí)間地去使用，難免會(huì)出現(xiàn)解題失誤的現(xiàn)象。如果高中生不能擺脫自己心中的那個(gè)固定框架，就會(huì)出現(xiàn)學(xué)習(xí)消極的現(xiàn)象，因?yàn)楦咧猩枰鎸?duì)的是三年高考的艱難任務(wù)，所以要想真正地提高自己的數(shù)學(xué)解題能力，就要先從突破思維定式開(kāi)始。如：在三棱錐 S－ABC 中，AC＝BC＝a，SC＝b，∠ACB＝120°∠ACS＝∠BCS＝90°，求二面角S－AB的正切值。錯(cuò)解：①過(guò)S作AB的垂線，連結(jié)CD；②則SC⊥AC，SC⊥BC，由三垂線定理知CD⊥AB③則∠SDC即為二面角S-AB-C。因?yàn)殛P(guān)系不明確導(dǎo)致了錯(cuò)誤的解題。首先①垂足沒(méi)指明；②先證SC⊥平面ABC；③二面角與平面角是兩個(gè)不同概念；④∠CBD＝30°成立的理由不足。

2.思維定式的特點(diǎn)

思維定式的一大特點(diǎn)就是思維模式，通過(guò)各種各樣的思維內(nèi)容體現(xiàn)出思維的程序和模式，這種教學(xué)模式對(duì)于教師的要求相對(duì)要高一些，因?yàn)樗徒虒W(xué)的實(shí)際內(nèi)容有緊密的聯(lián)系，但是卻不能淹沒(méi)實(shí)際內(nèi)容，它并不是教學(xué)的具體內(nèi)容。其次，思維定式具有強(qiáng)大的慣性和頑固性，它剛開(kāi)始只是讓高中生形成思維的習(xí)慣，但是慢慢隨著時(shí)間的推移，就會(huì)逐漸地深入高中生的大腦和潛意識(shí)。高中生要想走出思維定式是比較有難度的，很多時(shí)候，正是由于高中生被思維定式左右著，所以才會(huì)出現(xiàn)解題失誤，雖然其具有較強(qiáng)的固定性，但是卻不具有通用性。因此，必須要去盡力改善現(xiàn)狀，不能讓思維定式徹底改變高中生解決問(wèn)題的思維。高中生具有把問(wèn)題情境歸結(jié)為熟悉問(wèn)題情境的趨向，這樣的表現(xiàn)方式被稱為思維空間收縮，具有某種集中性的思維趨勢(shì)。比如，在學(xué)習(xí)幾何的時(shí)候，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)它的解題思路，從而把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)換成平面問(wèn)題。又比如在學(xué)習(xí)因式分解的時(shí)候，高中生就要掌握到解決十字相乘法、公式法、提取公因式法等幾種較為常規(guī)的方法，也有一些比較程序性的方法。

二、思維定式在高中生解題過(guò)程中的影響

1.積極影響

思維定式對(duì)于高中生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有著非常重要的影響，在高中生解決問(wèn)題的時(shí)候，思維定式可以根據(jù)學(xué)生所面對(duì)的問(wèn)題產(chǎn)生相關(guān)的聯(lián)想。比如當(dāng)面對(duì)一道題的時(shí)候，在思維定式的左右下學(xué)生會(huì)自然而然地聯(lián)想到曾經(jīng)解過(guò)的該類題型，把新題和舊題的特征進(jìn)行比較以后，再斟酌兩道題的共同點(diǎn)，使用自己已經(jīng)掌握了的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)對(duì)問(wèn)題建立一個(gè)情境，然后再解決問(wèn)題。這樣的方法也是現(xiàn)象教學(xué)中的一種，把高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際內(nèi)容或問(wèn)題和情境結(jié)合在一起，意識(shí)到教學(xué)的規(guī)律，準(zhǔn)確地說(shuō)，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，思維定式包括三個(gè)方面的內(nèi)容：第一是定向地去解決問(wèn)題，學(xué)生要有自己的一個(gè)固定方向和目標(biāo)，要不然就會(huì)產(chǎn)生盲目性。第二，定向方法是實(shí)現(xiàn)高中生目標(biāo)的重要工具，比如像知識(shí)、理論等，不一樣的題目對(duì)應(yīng)的知識(shí)理論都是不一樣的，所以思維定式不具有通用性，只有學(xué)生對(duì)各種題型的理論都有所掌握，才會(huì)讓思維定式產(chǎn)生優(yōu)勢(shì)，否則一切都是事倍功半。第三，依靠思維定式來(lái)解決問(wèn)題必須要有一個(gè)完整的計(jì)劃，應(yīng)有一步一步循序遞進(jìn)、標(biāo)準(zhǔn)化的實(shí)施要求。高中生在解題過(guò)程當(dāng)中采用思維定式，會(huì)在一定程度上為學(xué)生省去思考、探索的時(shí)間，因?yàn)楦咧姓n程本身就比較緊，而思維定式剛好為學(xué)生節(jié)省了學(xué)習(xí)的時(shí)間。

2.消極影響

在平常的解題過(guò)程中，即使思維定式可以幫助高中生解決一些問(wèn)題，但是卻不利于高中生的創(chuàng)新思維發(fā)展，還會(huì)在一定程度上削弱學(xué)生的思維能力，久而久之，高中生就產(chǎn)生了依賴性，不管面對(duì)什么問(wèn)題都會(huì)自然地采用思維定式來(lái)思考。國(guó)外一名心理學(xué)家就曾經(jīng)做出過(guò)實(shí)驗(yàn)證明思維定式的解題失誤事實(shí)。將兩條繩子懸掛在天花板上，繩子之間的距離比一個(gè)成年人兩臂的長(zhǎng)度還要長(zhǎng)一些，假如用一只手抓住其中一根繩子，那么另外一只手怎樣都抓不到另外一根繩子。在這種情形下，該專家讓一個(gè)人把兩根繩子套在一起，但是專家在離繩子不遠(yuǎn)的地方放了一個(gè)滑輪，意思是給系繩者提供幫助。但是，系繩者看到滑輪之后，卻不知道有什么作用，更沒(méi)有想到滑輪和系繩的活動(dòng)有關(guān)系，到頭來(lái)還是沒(méi)有成功地解決問(wèn)題。如果說(shuō)系繩者把滑輪栓在其中一根繩子的尾端，想辦法讓繩子蕩起來(lái)，之后再抓住另一根繩子的尾部，當(dāng)滑輪蕩到系繩者能夠抓住的地方以后，系繩者再將兩根繩子系在一起，問(wèn)題自然就成功地解決了。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，當(dāng)一個(gè)問(wèn)題的條件發(fā)生了變化，思維定式仍然會(huì)使高中生在一個(gè)固定的框架當(dāng)中找到出口，最終造成了解題失誤。比如，已知（x+2）2+y2/4=1，求x2+y2的取值范圍。很多學(xué)生都會(huì)由于思維定式而解題失誤，比如，他們會(huì)這樣解：由已知得出y2=4x2-16x-12，因此x2+y2=-3x2-16x-12=-3（x+8/3）2+28/3，所以當(dāng) x=-8/3 時(shí)，x2+y2有最大值 28/3，即x2+y2的取值范圍為（-∞，28/3）。學(xué)生并沒(méi)有注意到x的取值范圍要受到已知條件的限制，所以丟掉了最小值，事實(shí)上，由于（x+2）2+y2/4=1→（x+2）2=1-y2/4≤1→-3≤x≤-1，從而當(dāng) x=-1 時(shí)，x2+y2最小值為 1，所以，x2+y2取值范圍為［1，28/3］。

三、高中生數(shù)學(xué)解題失誤思維定式的有效解決方法

1.揭示本質(zhì)，克服不好狀態(tài)

對(duì)于數(shù)學(xué)課本中的一些理論概念，不能只是停留在表面上，而應(yīng)揭示它的本質(zhì)內(nèi)涵，而對(duì)于一些公式來(lái)說(shuō)，理論概念不能夠顯露它的真實(shí)含義，只能通過(guò)本質(zhì)的揭示去認(rèn)識(shí)它。尤其是一些比較容易搞混的概念或公式以及定理，更是要抓住它們的本質(zhì)，比如，有這樣一道數(shù)學(xué)題目：已知函數(shù)y=（sinx+cosx）+2cosx，求其最大值和最小值。這一道要用到倍角公式，那么就是y=2+sin2x+cos2x。通過(guò)這樣的公式反復(fù)進(jìn)行聯(lián)系以后，就會(huì)慢慢地掌握到三角遇平方就降冪的規(guī)律。

2.多方聯(lián)想，克服封閉狀態(tài)

由一個(gè)事物聯(lián)想到另外一個(gè)事物，能夠在鍛煉高中生思維活躍度的同時(shí)，解決更多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，避免解題失誤的出現(xiàn)。通過(guò)對(duì)題目的分析，可對(duì)條件和結(jié)論當(dāng)中隱藏的一些內(nèi)容進(jìn)行聯(lián)想，相似的理論、公式、概念等都是可以借鑒的，這就需要高中生進(jìn)行多方聯(lián)想。比如高中生在復(fù)習(xí)函數(shù)方程這一章節(jié)的時(shí)候有這樣一道題：求方程Inx-x+1=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，很多高中生都會(huì)先把方程變換成為lnx=x-1，之后再畫圖象，然后就會(huì)依靠數(shù)形得出2的結(jié)果，但是這個(gè)結(jié)果卻是錯(cuò)誤的，這就是解題失誤。然而事實(shí)上，g（x）=x-1是f（x）=lnx的切線，所以，g（x）=x-1和f（x）=lnx就只有一個(gè)交點(diǎn)，即，（1，0）。因此，方程式lnx-x+1=0的實(shí)數(shù)根就只有一個(gè)。但是如果只是一味地給學(xué)生講解，學(xué)生也是不能理解的，所以這個(gè)時(shí)候，教師就需要使用圖象教學(xué)，根據(jù)實(shí)際內(nèi)容設(shè)定情境來(lái)授課。教師可以在幾何板上作出圖象。這個(gè)方程式也有另外一種解法，就是從方程式的實(shí)數(shù)根找到函數(shù)的零點(diǎn)在什么地方，這樣就找到了解決問(wèn)題的入口。那么就是：令f（x）=lnx-x+1，定義域就是（0，+∞），由f′（x）=-1＞0得0＜x＜1；f′（x）=-1＜0得x＞1，在f（x）上（0，1）為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)，在 x=1上又有著很大的值為f（1）=0，到頭來(lái)方程式的實(shí)數(shù)根還是1。

思維定式確實(shí)對(duì)高中生有著一定的解題益處，但是也不能一味地廣泛使用，學(xué)生需有自己的獨(dú)立想法，才能不被其誤導(dǎo)，盡量減少解題失誤。