一靜一動，使好“思維定式”這把雙刃劍
——基于函數(shù)恒成立問題的思考

凌佳麗

（江蘇省蘇州市吳江區(qū)平望中學，江蘇 蘇州）

宇宙或由數(shù)學統(tǒng)治，數(shù)學充斥著自然界的角角落落，數(shù)學在中學教育體系中的重要性不言而喻，更是中高考重點考查科目之一。數(shù)學是思維的體操，數(shù)學教學是數(shù)學思維活動的教學。學習數(shù)學是學習數(shù)學思維過程及數(shù)學思維成果，可以說數(shù)學思維是動的數(shù)學，數(shù)學知識本身是靜的數(shù)學，兩者辯證統(tǒng)一。

高三備考，地毯式搜索大量習題，高強度訓練，盡顯思維定式優(yōu)劣。思維定式本是心理學概念，指人們在認識事物時，由一定的心理活動所形成的某種思維準備狀態(tài)，影響或決定同類后繼思維活動的趨勢或形成。環(huán)境不變時，思維定式使人應用已掌握的方法迅速解決問題，在情況發(fā)生變化時則會妨礙人采用新的方法，即，消極的思維定式是束縛創(chuàng)造性思維的枷鎖。

一、靜——循規(guī)蹈矩，發(fā)揮“思維定式”的優(yōu)勢力

笛卡爾說：“我解決過的每一個問題都成為日后用以解決其他問題的法則?！辈豢煞裾J思維定式有其積極方面。在高一、高二數(shù)學新課教學中，由于課程緊，總是刻意突出本節(jié)內(nèi)容重要性和某種方法的優(yōu)越性，搭配習題予以鞏固，便容易形成解決某類問題時總采用對應固定方法的思維定式。在一定程度上為高三復習奠定解題能力基礎。導數(shù)問題常見“恒成立”，常用方法是“函數(shù)含參討論”和“參變分離”。

例 1.二次函數(shù) g（x）對?x 滿足 g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，（m∈R，x＞0），若?x＞0 使lnx＞0時-2m≥t（x）min=2e；lnx=0時無解；lnx＜0時t（x）在（0，1）遞減且t（x）＜0，x→0時t（x）→0；x→1時t（x）→∞，故-2m＜0，綜上即得答案。

這類問題的解決方法較固定，很難下定論哪種簡便哪種應用廣。具體操作中，也各有需謹慎之處。前者分類依據(jù)恰到好處是關(guān)鍵，后者在分離時需要留意系數(shù)的符號，如何才能運用得得心應手就需要多練、多思、多總結(jié)。

例2.函數(shù)f（x）=x|x2-a|，若存在x∈［1，2］使f（x）＜2，則實數(shù)a的取值范圍為 。

變式：定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x），若存在正整數(shù)k使不等式恒成立，則稱f（x）為D（k）型函數(shù)。設函數(shù)f（x）=a|x|，定義域D=［-3，-1］∪［1，3］，若f（x）是D（3）型函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為__________________。

兩題解法相似，去絕對值分離變量轉(zhuǎn)化為恒成立問題。x|x2-a|＜2 在 x∈［1，2］上有解且 a＜（x2+變式對?x∈［-3，-1］∪［1，3］ 恒成立，a＞且f（x）≤0成立，求實數(shù)m的取值范圍。

思維定式可在一定情況下迅速鎖定解題方法，如例1是函數(shù)含參討論，避免了分離變量時對系數(shù)符號的討論，例2則是參變分離，這在實際教學中都得到了確切反饋。解決大部分類似問題時，思維定式作用下提升解題速度，確保正確率，把新奇的解題方法掛在嘴邊，不如把常規(guī)的解題方法記在心里，說的是“思維定式”的優(yōu)勢力。

二、動——同中有異，突破“思維定式”的封閉圈

在數(shù)學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么。當我們遇到一個數(shù)學問題時，這個問題可能“似曾相識”，它的解決方法也是信手拈來，但在解題過程中總有某些“特殊之處”會成為羈絆。

像例3，有部分恒成立問題只能采取函數(shù)含參討論?！胺诸愑懻摗笔秦灤└咧袛?shù)學的基本能力與思想方法，分而治之，各個擊破，綜合歸納?；麨榱?，在局部討論時降低難度。事實上是參變分離也難免分類討論，這是考查學生綜合能力的有效工具。

aex≥（a+2）令導函數(shù)復雜，并未隨求導次數(shù)增加而簡化。分離變量a（xex-2x+1）≥4x-2），φ（x）=xex-2x+1（x＞0），φ′（x）=ex（x+1）-2，（φ′（x））′=ex（x+2）＞0，φ′（x）在（0，+∞）遞增，φ′（0）=-1，φ′（1）＞0 存在唯一 x0∈（0，1）使φ′（x0）=0，φ（x）在（0，x0）遞減，在（x0，+∞）遞增，φ′（x0）=0即令

本例與例3相反，只能參變分離，解答思路清晰但過程繁瑣，兩次構(gòu)造新函數(shù)。第一次構(gòu)造φ（x），兩次求導，在導函數(shù)零點不可求的情況下判斷單調(diào)性，如此迂回僅是為了分離變量而判斷因式符號；第二次構(gòu)造u（x），雖然求一次導數(shù)就完成作答，但u（x）的結(jié)構(gòu)表象易導致止步不前。上述解法考查能力要求較高。在研究函數(shù)性質(zhì)特點（主要單調(diào)性）時，通過求導進行分析，按題目特點，必要時進行二次求導，通過導函數(shù)研究原函數(shù)，或從導函數(shù)中抽取部分函數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，再求導研究函數(shù)性質(zhì)。無論題型如何變化，根本點即“導函數(shù)正負決定原函數(shù)增減”，這便是思維定式靜之余的靈動部分。解答過程的繁瑣不禁使人思考，有更加理想的變量分離方式嗎？

aex≥（a+2）中取特值令都是參變分離，后者解法大幅簡化，先是取特值縮小參數(shù)范圍，同時也為分離變量確定符號，接著構(gòu)造h（x），結(jié)構(gòu)上比u（x）簡便，不至于望而生畏。此例一方面鞏固了解決恒成立問題的兩種常規(guī)解法的思維定式，先按“直覺”擇其一解答，能解題最好，否則迅速跳轉(zhuǎn)他法，切不可止步于此；另一方面衍生了新的思維定式，即在參變分離時，不必糾結(jié)于“單個”的參數(shù)，只要參數(shù)與變量“分開”即可，分離的目的在于離開參數(shù)后的新函數(shù)盡可能簡便易操作。此外在很多恒成立問題中，通過“取特值”放縮參數(shù)范圍往往會帶來便捷，如得到有用條件、適當減少分類討論的情況等，這些都可在諸多習題中加以嘗試，多多領悟，舉一反三。

不要放過任何一道看上去很簡單的例題，它們往往并不那么簡單，或者可以引申出很多知識點。在充分發(fā)揮“思維定式”優(yōu)勢力的同時，也要注意克服“思維定式”的負面影響，提出某種方法、模式的使用條件與局限性，當學生出現(xiàn)因思維定式產(chǎn)生的錯解時，應通過比較正解與錯解，幫助學生從思維定式的封閉圈中走出來。數(shù)學學習是不斷揚棄的過程，思維定式利弊共存，靜的是諸多解題手段，動的是不斷流淌的思維，靜與動相結(jié)合，才能使好“思維定式”這把雙刃劍。