基于Simulink的傳染病模型仿真

石云鳳，楊洪明，胡宇，張洪銀，梁攀

摘 要：隨著計算機的發(fā)展，數(shù)字仿真技術(shù)發(fā)展迅速且應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛。而傳染病模型作為一類發(fā)展已十分成熟的數(shù)學(xué)模型，對其進行研究的相關(guān)文獻數(shù)不勝數(shù)，傳染病模型的實際應(yīng)用也十分廣泛，但很少有人將數(shù)字仿真技術(shù)應(yīng)用于傳染病模型。文章利用Simulink仿真軟件對傳統(tǒng)的SIR模型和在SIR模型中加入政府宣傳防控效用的傳染病模型進行仿真。首先建立傳統(tǒng)SIR模型與在SIR模型中加入政府宣傳防控工作效用的數(shù)學(xué)模型，然后針對這兩類數(shù)學(xué)模型建立仿真系統(tǒng)，最后通過設(shè)置合適的參數(shù)值，得出仿真結(jié)果并與實際情況相對比，結(jié)果表明該仿真的結(jié)果與實際情況相吻合。

關(guān)鍵詞：數(shù)字仿真；Simulink；SIR模型；宣傳防控；過程仿真

中圖分類號：TP391.9 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：2095-2945（2018）06-0039-03

Abstract： With the development of computer， digital simulation technology develops rapidly and is widely used in many fields. As a very mature mathematical model， infectious disease model has been studied in numerous literatures， and the practical application of infectious disease model is also very extensive. But few people apply digital simulation technology to infectious disease model. In this paper， the Simulink simulation software is used to simulate the traditional SIR model and the infectious disease model which is added to the SIR model to promote the effectiveness of prevention and control. Firstly， the traditional SIR model and the mathematical model of the effectiveness of government propaganda and control are established in the SIR model， and then the simulation system is established for these two kinds of mathematical models. Finally， the appropriate parameters are set up. The simulation results are compared with the actual situation， and the results show that the simulation results are consistent with the actual situation.

Keywords： digital simulation； Simulink； SIR model； publicity and control； process simulation

引言

現(xiàn)代數(shù)字仿真技術(shù)是以相似原理、信息技術(shù)、系統(tǒng)技術(shù)及其應(yīng)用領(lǐng)域有關(guān)的專業(yè)技術(shù)為基礎(chǔ)，以計算機和各種物理效應(yīng)設(shè)備為工具，利用系統(tǒng)模型對實際的或設(shè)想的系統(tǒng)進行試驗研究的一種綜合性技術(shù)[1]。與物理仿真技術(shù)相比，數(shù)字仿真不受被研究系統(tǒng)規(guī)模和結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的限制，以計算速度快、使用靈活、成本相對低廉等優(yōu)勢，成為分析、研究電力系統(tǒng)必不可少的工具，是系統(tǒng)仿真的重要研究方向[2]。隨著計算機的發(fā)展，數(shù)字仿真技術(shù)取得突飛猛進的進步[3]。雖然數(shù)字仿真技術(shù)當(dāng)前的應(yīng)用領(lǐng)域很廣，但是在該技術(shù)領(lǐng)域依然存在一些尚未攻克的技術(shù)難點，作為下一世紀(jì)重要技術(shù)競爭點，數(shù)字仿真技術(shù)需要人們給予更多的重視。

MATLAB中的一種可視化仿真工具Simulink，是一種基于MATLAB的框圖設(shè)計環(huán)境，實現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的一個軟件包，被廣泛應(yīng)用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、數(shù)字控制及數(shù)字信號處理的建模和仿真中。Simulink軟件在科學(xué)研究中應(yīng)用十分廣泛，它提供一個動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和綜合分析的集成環(huán)境。在該環(huán)境中，無需大量書寫程序，而只需要通過簡單直觀的鼠標(biāo)操作，就可構(gòu)造出復(fù)雜的系統(tǒng)。曾有人利用MATLAB中的Simulink仿真軟件對無刷直流電機控制系統(tǒng)建模進行仿真[4]，實現(xiàn)換熱器穩(wěn)態(tài)傳熱計算[5]。而傳染病模型作為一類發(fā)展十分成熟的數(shù)學(xué)模型，相關(guān)的研究文獻數(shù)不勝數(shù)。文獻[6]劉玉英，肖燕妮等人研究了一類受媒體影響的傳染病模型，文獻[7]肖亞男研究了幾類媒介傳染病模型的穩(wěn)定性。將傳染病模型推廣到實際應(yīng)用中的文獻也并不鮮見，例如趙劍華、萬克文等人基于信息傳播模型-SIR傳染病模型研究了社交網(wǎng)絡(luò)輿情傳播動力學(xué)模型[8]。趙鵬飛，馬民，談依箴等作者曾基于SIR模型研究微信輿情傳播[9]。王長峰，莊文英，于長鉞等人基于改進SIR模型研究了的群體意見競爭演化[10]。雖然他們在研究過程中也有采用相關(guān)數(shù)學(xué)類軟件進行問題分析，但利用數(shù)字仿真技術(shù)對傳染病模型進行系統(tǒng)地仿真還較為鮮見。故本文首先建立傳統(tǒng)的傳染病模型——SIR模型，并建立在SIR模型中加入政府宣傳防控工作效用的傳染病模型，然后利用數(shù)字仿真技術(shù)對傳染病模型進行系統(tǒng)地仿真，得到傳染病傳染過程的仿真結(jié)果，方便人們進一步對傳染病的傳染過程進行研究并推廣到實際應(yīng)用中。

1 傳染病模型的建立

1.1 SIR傳染病模型[9]

假設(shè)傳染病考察區(qū)域的總?cè)藬?shù)為N，由于許多患者在傳染病治愈后會對該病產(chǎn)生很強的免疫力，所以假設(shè)治愈者已經(jīng)退出感染系統(tǒng)，故將人群分為健康者、病人和治愈者，則t時刻的這三類人群所占的比例分別為s（t）、i（t）、r（t），病人傳染給健康者的傳染率為？姿，日治愈率為？滋。設(shè)t=0時健康者、病人和治愈者所占比例分別為s0、i0、r0=0，于是便有微分方程的初值問題：

（1）

其中s（t）+i（t）+r（t）=1。

此傳染病模型已是當(dāng)前發(fā)展較為成熟的數(shù)學(xué)模型，也是比較傳統(tǒng)典型的傳染病微分方程模型，對傳染病的傳染過程能起到抽象描述作用。但在實際生活中，若突發(fā)傳染病，政府為減少健康者染病的幾率，會采取相應(yīng)的宣傳與防控措施。本文通過查閱相關(guān)資料[11]，對傳染病傳染過程的仿真做進一步優(yōu)化，建立了加入宣傳防控工作的傳染病模型。

1.2 加入宣傳防控工作的傳染病模型

在SIR傳染病模型的基礎(chǔ)上，加入政府的宣傳防控工作效用，假設(shè)宣傳防控工作的開展將使病人人數(shù)減少，減少的速度與傳染病考察區(qū)域的總?cè)藬?shù)N成正比，其比例常數(shù)a取決于宣傳防控的強度，故a也被稱為宣傳防控強度系數(shù)。設(shè)從t=t0>0開始做持續(xù)的宣傳防控工作，于是便有微分方程的初值問題：

（2）

其中 稱為Heaviside函數(shù)[12]。

此傳染病模型在SIR模型的基礎(chǔ)上加入宣傳防控工作的效用，既考慮病人被治愈的情況，又考慮到政府的宣傳防控工作，從而建立起更加符合實際情況的傳染病模型，因而有助于本文對傳染病的傳染過程進行進一步的仿真，使得仿真結(jié)果更加真實可信。

2 仿真系統(tǒng)的建立

2.1 基于SIR模型的傳染過程仿真系統(tǒng)

利用MATLAB軟件中的Simulink仿真軟件對SIR傳染病模型進行仿真。此仿真系統(tǒng)通過人為設(shè)置日傳染率a_1（即？姿）和日治愈率b（即？滋）的值、病人和健康者所占比例的初值，然后進行傳染病傳染過程的仿真，得到滿足公式（1）所建立的SIR傳染病模型，最終通過運行仿真系統(tǒng)得到基于SIR模型的傳染病傳染過程的仿真結(jié)果?？偡抡嫦到y(tǒng)圖如圖1。

2.2 加入宣傳防控工作效用的SIR傳染病模型仿真系統(tǒng)

同理，利用Simulink軟件對加入政府宣傳防控工作效用的SIR模型進行仿真，得到滿足公式（2）所建立模型的仿真系統(tǒng)，通過設(shè)置日傳染率a_1（即？姿）和日治愈率b（即？滋）的值、病人和健康者所占比例的合適初值，計算t時刻病人所占的比例，再將計算所得的t時刻病人比率轉(zhuǎn)換為病人人數(shù)，最終得到加入防控宣傳效用的SIR傳染病模型的仿真結(jié)果?？偡抡嫦到y(tǒng)圖如圖2。

3 仿真結(jié)果

3.1 SIR傳染病模型仿真結(jié)果

設(shè)置第一組參數(shù)：？姿=0.5 ？滋=0.05 i0=0.02 S0=0.98，三類人口所占比例的仿真結(jié)果如下圖3所示。設(shè)置第二組參數(shù)：？姿=0.5 ？滋=0.2 i0=0.02 S0=0.98，三類人口所占比例的仿真結(jié)果如下圖4所示。

在此傳染病模型中，設(shè)置的兩組參數(shù)中僅有治愈率這一個參數(shù)不同，其余各參數(shù)值均相同，因此圖3、圖4起相互對照作用。故由上面的仿真結(jié)果可知，當(dāng)治愈率越高，健康者所占比例下降得越慢，病人在染病后便會更快被完全治愈，成為治愈者。因此治愈者所占比例增加速率就越快，且當(dāng)t→∞時，病人人數(shù)所占比例趨于0，符合現(xiàn)實生活中的實際情況，達到了對SIR傳染病模型傳染過程仿真的效果。

3.2 加入宣傳防控的傳染病模型仿真結(jié)果

設(shè)置參數(shù)：？姿=0.5 S0=0.98 ？滋=0.05 i0=0.02 a=0.2 t=20 N=10000，仿真結(jié)果如下圖5所示。

在Heaviside函數(shù)中，本文設(shè)置在t=20時加入宣傳和防控工作。按照Heaviside函數(shù)的定義[12]，當(dāng)020時，由于已經(jīng)實行宣傳與防控工作，產(chǎn)生了宣傳與防控工作的效用，即Heaviside函數(shù)值為1，即T=1。此模型設(shè)置的參數(shù)與SIR傳染病模型仿真的第一組參數(shù)是相同的，并且在t=20時，加入宣傳防控系數(shù)a=0.2作用于SIR傳染病模型，病人人數(shù)快速下降，以此與SIR傳染病模型形成對比，更加符合生活中的實際情況，并更有利于實際應(yīng)用。

在對傳統(tǒng)的SIR傳染病模型進行仿真時，設(shè)置了不同的治愈率，結(jié)果表明在治愈率高時病人人數(shù)比例下降速度明顯高于治愈率低時的情況，該仿真結(jié)果符合實際，驗證了仿真系統(tǒng)建立的正確性。在對加入宣傳防控的傳染病模型進行仿真時，本文設(shè)置了相同的治愈率，來對比加入了宣傳防控工作效用與沒有加入宣傳防控效用時的傳染病模型的病人人數(shù)變化趨勢，從圖5來看，加入宣傳防控工作效用后病人人數(shù)明顯下降，與實際結(jié)果吻合。

4 結(jié)束語

利用數(shù)字仿真技術(shù)直觀、形象地反映傳染病傳染機制，從而對更好地理解傳染病模型起到幫助作用?，F(xiàn)代仿真技術(shù)不僅在傳統(tǒng)的工程領(lǐng)域上應(yīng)用廣泛，而且正日益廣泛地應(yīng)用于如交通管理、環(huán)境治理、城市規(guī)劃等領(lǐng)域，尤其對于制造業(yè)利用數(shù)字仿真技術(shù)具有更為重要的意義[3]。通過利用數(shù)字仿真技術(shù)對傳染病模型進行仿真，掌握傳染病模型的數(shù)學(xué)規(guī)律，可更加有利于對傳染病的預(yù)防控制、經(jīng)濟行為以及其他社會實際問題提出實際建議。

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