高中數(shù)學應用題教學初探

遼寧省沈陽市第五十六中學 高文珍

國家科技之強盛，云計算、大數(shù)據(jù)、人工智能背后都與數(shù)學有密不可分的關系，信息革命的到來，使我們必須更加重視數(shù)學，重視數(shù)學的應用。而應用好數(shù)學必須從小抓起，數(shù)學的應用問題從小學到初中再到高中，一直都是學生學習的難點，學生對應用問題充滿恐懼感。2018年，普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱，強調(diào)“要增強學生的應用意識，提高學生的數(shù)學能力”，因此，提高學生對應用問題認識，提升應用能力十分必要。

一、澄清對應用題教學的認識

隨著高考改革的深入,高考數(shù)學應用題的考查發(fā)生了一些變化，以前多半是考查函數(shù)應用題，然后是三角應用問題，現(xiàn)在是以概率為載體的實際問題，高考題型相對穩(wěn)定。但由于近幾年高考對概率的考查比較多，致使一些人認為函數(shù)應用問題已經(jīng)時過境遷，從而對教材中的函數(shù)應用題忽略不講，導致學生對該知識點的應用意識越來越差，而科技的發(fā)展與數(shù)學密切相關，數(shù)學是基礎，是工具，數(shù)學建模問題滲透到各個學科、領域。無論是函數(shù)應用題，還是概率問題，都體現(xiàn)數(shù)學的應用所在，因此，必須提高認識，加強對應用問題的理解，重視應用問題的教學。

二、應用題教學中注意對應用題的分類和選擇

（一）關于函數(shù)應用問題

數(shù)學的學習重在應用，函數(shù)的應用是函數(shù)學習的重要方面，通過學習，激發(fā)學生應用數(shù)學的意識，通過應用進一步完善函數(shù)思想，有助于學生體驗數(shù)學與日常生活和其他學科的聯(lián)系，同時也能發(fā)展學生的創(chuàng)新意識，提高實踐能力。

現(xiàn)行高中數(shù)學《必修1》（人教B版）中對函數(shù)應用專門進行了課時安排——第2章第3節(jié)函數(shù)應用（1）和第3章第4節(jié)函數(shù)應用（2），充分體現(xiàn)了數(shù)學與實踐結(jié)合，提高數(shù)學建模能力的需要。兩次安排各有側(cè)重，第2章第3節(jié)側(cè)重于一次函數(shù)和二次函數(shù)，問題也相對簡單。第3章第4節(jié)側(cè)重于基本初等函數(shù)，難度有所提升，題目難度由原來對二次函數(shù)應用問題的考查逐步加深，轉(zhuǎn)化為對基本初等函數(shù)的考查,題型也由確定型轉(zhuǎn)換為開放型。

第一類：建立與實際問題“有關”的模型，這類問題旨在增加學生對數(shù)學的興趣，但并未考查到學生的建模能力。

如教材中的前3個例題分別是物理方面問題、客房租金問題和幾何問題，模型相對固定，只要學生讀懂題意，準確列式，即可解決問題。如，全國高考在1997年考查了運輸成本問題，1998年考查了污處理問題，只要準確解讀題意，列出關系式，利用函數(shù)性質(zhì)就可順利解決問題。

第二類：僅給出實際問題的原貌，只有數(shù)據(jù)而無數(shù)學模型，需要學生自己去建立，然后去解決，因而在一定程度上培養(yǎng)學生的實際應用能力，同時也考查學生的閱讀理解能力。

如教材第2章第3節(jié)例題4，第3章探索與研究中的《如何建立數(shù)學模型》問題的提出，就是函數(shù)模型解決實際問題的例子，充分體現(xiàn)數(shù)學的應用性、探索性。但這類實際問題所建立的數(shù)學模型是否符合實際情況，還要通過實踐進行進一步的檢驗與驗證，如與實際偏差較大，就要進行修改，重新建立?？疾閼媚芰Φ耐瑫r，也考查數(shù)學建模及探索能力。

第三類：數(shù)學建模與問題解決型，由題目建立不同的數(shù)學模型，然后通過分析、比較做出選擇，最后指導實踐。

房價問題是近幾年國家和市民都關注的熱點問題，購房者選擇貸款買房時，選擇等本金貸款還是等額貸款？貸款后提前還貸時，由于已還年限不同，兩種貸款方式，哪種提前還款合算？這些都屬于建模問題。這類問題可能需要用作差比較、放縮、估算等系統(tǒng)進行分析。

（二）關于三角應用問題

高中教材《必修5》，第一章1.2節(jié)，從角度，高度，距離三個方面體現(xiàn)三角形知識在實際問題中的應用，這類問題與實際結(jié)合緊密，需要學生在理解題意的基礎上，將具體的實際問題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學問題，學習用數(shù)學的思維去解決問題， 如2003年全國卷考查了某海濱城市受臺風侵襲問題，2008年上海卷考查了路程與時間問題， 2010年江蘇卷考查了測量問題。這些題都是以大題形式出現(xiàn)的三角應用題，充分體現(xiàn)了三角形知識的學習與實際應用的結(jié)合。

(三)關于概率應用問題

第一類：是函數(shù)與概率的綜合性試題，如2007年遼寧理科試卷，把成本、產(chǎn)量、概率與利潤最大化等問題綜合一起；2012年高考新課標理科卷，考查的也是函數(shù)與概率結(jié)合問題。這類問題對學生要求高，既要根據(jù)題意弄清函數(shù)關系，還要明確概率內(nèi)涵，綜合運用數(shù)學知識最后得出結(jié)論。

第二類：單一考查概率知識，近幾年的高考試題中，多以獨立性檢驗，離散型隨機變量分布列的形式進行考查，2016年新課標卷Ⅱ的保險問題，2017年新課標卷Ⅱ的水產(chǎn)養(yǎng)殖問題，無一不體現(xiàn)概率問題與生活的緊密聯(lián)系。

通過上面的分析闡述，容易看到數(shù)學應用題涉及面廣，在應用題教學中我們必須對有關題目進行分類篩選，按照需要使用，這樣才能發(fā)揮其應有的作用，不至于給學生造成另一個“題海”加重其負擔。

學好數(shù)學，用好數(shù)學，提高數(shù)學的應用意識，體現(xiàn)數(shù)學的應用價值，任重而道遠。

參考文獻

[1]潘仕利．函數(shù)應用題解題策略[J]．黔東南民族師范高等?？茖W校學報，2006．

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