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      四色猜想能夠成立的證明

      2018-02-21 02:30:54張爾光
      科技視界 2018年33期
      關(guān)鍵詞:證明區(qū)域

      張爾光

      【摘 要】本文依照“同一組的區(qū)域著同一色”的對(duì)等原理,將對(duì)四色猜想的四色區(qū)分的證明,置換為對(duì)“在相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下,能否做到將圖的區(qū)域合理搭配分為四組”的證明。筆者論證了“四色猜想的四色區(qū)分”的五種結(jié)果及其等式,創(chuàng)立了“設(shè)劃單元,合理搭配”的方法,通過實(shí)圖例證,對(duì)“相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下,能否做到將圖的區(qū)域合理搭配分為四組”之問題做出了證明,并得到了肯定的回答,從而證明四色猜想成立。

      【關(guān)鍵詞】四色區(qū)分;圖;區(qū)域;單元;合理搭配;證明;成立

      中圖分類號(hào): O157.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: A 文章編號(hào): 2095-2457(2018)33-0155-005

      DOI:10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.33.071

      筆者認(rèn)為,依照“同一組的區(qū)域著同一色”的對(duì)等原理去推想,四色猜想的四色區(qū)分的證明,就是“在遵循相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下,能否做到將圖的區(qū)域合理搭配分為四組”的證明。這是因?yàn)?,如?duì)“能夠做到將圖的區(qū)域合理搭配分為四組”之問題做出了證明,就等于對(duì)“能夠做到四色區(qū)分”之問題做出了證明。

      筆者研究結(jié)果表明,展現(xiàn)在平(球)體表面的圖,不論其區(qū)域是多少、整體結(jié)構(gòu)多么復(fù)雜,均可通過“設(shè)劃單元,合理搭配”的方法,在相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下,做到將圖的區(qū)域合理搭配分為“四組”,因而,按“同一組的區(qū)域著同一色”的對(duì)等原理,在遵循相鄰區(qū)域不能著同一色的原則下,對(duì)圖的區(qū)域完全能夠做到四色區(qū)分,使四色猜想成立。

      1 四色區(qū)分的著色結(jié)果及其等式

      在論證“展現(xiàn)在平(球)體表面的圖的n(n≥4)個(gè)區(qū)域,在相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下,能否做到將圖的區(qū)域合理搭配分為四組”之問題之前,筆者覺得有必要把目光和思維轉(zhuǎn)到“n個(gè)蘋果分裝到四個(gè)籮筐的結(jié)果及其等式”這個(gè)證題上來。

      1.1 論證n個(gè)蘋果隨意分為四筐的結(jié)果及其等式

      我們知道,n(n≥2)個(gè)蘋果隨意分裝到若干籮筐,在每筐至少有一個(gè)蘋果的前提下,其分裝到各個(gè)籮筐的蘋果數(shù)的結(jié)果(不論是何種結(jié)果),均可以數(shù)學(xué)等式表達(dá)出來。

      例證1 n(n≥2)個(gè)蘋果隨意分裝到兩個(gè)籮筐,那么,其分裝到兩個(gè)籮筐的蘋果數(shù)的結(jié)果只有兩種可能:

      結(jié)果1 兩個(gè)筐的蘋果數(shù)相同,其等式可表達(dá)為:

      m×2=n(m為每筐的蘋果數(shù),n為蘋果總數(shù),下同)

      結(jié)果2 兩個(gè)筐的蘋果數(shù)各不相同,其等式可表達(dá)為:

      (m1×1)+(m2×1)=n

      “m×2=n”和“(m1×1)+(m2×1)=n”此兩個(gè)等式告訴我們,在每筐至少有一個(gè)蘋果的前提下,不論是多少(n≥2)個(gè)蘋果,如分裝到兩個(gè)籮筐,則完全可以做到,而且其分裝的結(jié)果,必定可以此兩個(gè)等式中之一個(gè)等式表達(dá)出來。

      例證2 n(n≥3)個(gè)蘋果隨意分裝到3個(gè)籮筐,那么,其分裝到3個(gè)籮筐的蘋果數(shù)的結(jié)果只有三種可能:

      結(jié)果1 3個(gè)筐的蘋果數(shù)均相同,其等式可表達(dá)為:

      m×3=n

      結(jié)果2 其中2個(gè)筐的蘋果數(shù)相同,另一個(gè)筐的蘋果數(shù)不相同,其等式可表達(dá)為:

      (m1×2)+(m2×1)=n

      結(jié)果3 3個(gè)筐的蘋果數(shù)各不相同,其等式可表達(dá)為:

      (m1×1)+(m2×1)+(m3×1)=n

      “m×2=n”、“(m1×2)+(m2×1)=n”和“(m1×1)+(m2×1)+(m3×1)=n”此3個(gè)等式告訴我們,在每筐至少有一個(gè)蘋果的前提下,不論是多少(n≥3)個(gè)蘋果,如分裝到3個(gè)籮筐,則完全可以做到,而且其分裝的結(jié)果,必定可以此3個(gè)等式中之一個(gè)等式表達(dá)出來。

      例證3 n(n≥4)個(gè)蘋果隨意分裝到4個(gè)籮筐,那么,其分裝到4個(gè)籮筐的蘋果數(shù)的結(jié)果只有五種可能:

      結(jié)果1 4個(gè)筐的蘋果數(shù)均相同,其等式可表達(dá)為:

      m×4=n

      結(jié)果2 其中3個(gè)筐的蘋果數(shù)相同,另一個(gè)筐的蘋果數(shù)不相同,其等式可表達(dá)為:

      (m1×3)+(m2×1)=n

      結(jié)果3 其中2個(gè)筐的蘋果數(shù)相同,另2個(gè)筐的蘋果數(shù)為同另一個(gè)數(shù),其等式可表達(dá)為:

      (m1×2)+(m2×2)=n

      結(jié)果4 其中2個(gè)筐的蘋果數(shù)相同,另2個(gè)筐的蘋果數(shù)各不相同,其等式可表達(dá)為:

      (m1×2)+(m2×1)+(m3×1)=n

      結(jié)果5 4個(gè)筐的蘋果數(shù)各不相同,其等式可表達(dá)為:

      (m1×1)+(m2×1)+(m3×1)+(m4×1)=n

      “m×4=n”、“(m1×3)+(m2×1)=n”、“(m1×2)+(m2×2)”、“(m1×2)+(m2×1)+(m3×1)=n”和“(m1×1)+(m2×1)+(m3×1)+(m4×1)=n”此5個(gè)等式告訴我們,在每筐至少有一個(gè)蘋果的前提下,不論是多少(n≥4)個(gè)蘋果,如分裝到4個(gè)籮筐,則完全可以做到,而且其分裝的結(jié)果,必定可以此5個(gè)等式中之一個(gè)等式表達(dá)出來。

      上文已對(duì)“n(n≥4)個(gè)蘋果隨意分裝到4個(gè)籮筐的結(jié)果及其等式”進(jìn)行了論證?,F(xiàn)在我們把目光和思維轉(zhuǎn)到“圖的n個(gè)區(qū)域隨意分為四組的結(jié)果及其等式”這個(gè)證題上來。

      1.2 論證圖的n個(gè)區(qū)域隨意分為四組的結(jié)果及其等式

      事實(shí)告訴我們,一個(gè)由n(n≥4)個(gè)區(qū)域組成的圖,如隨意分為4組,那么,其分為4組的區(qū)域數(shù)的結(jié)果只有五種可能:

      結(jié)果1 4組的區(qū)域數(shù)均相同,其等式可表達(dá)為:

      m×4=n(m為組的區(qū)域數(shù),n為區(qū)域總數(shù),下同)

      結(jié)果2 其中3組的區(qū)域數(shù)相同,另一組的區(qū)域數(shù)不相同,其等式可表達(dá)為:

      (m1×3)+(m2×1)=n

      結(jié)果3 其中2組的區(qū)域數(shù)相同,另2組的區(qū)域數(shù)為同另一個(gè)數(shù),其等式可表達(dá)為:

      (m1×2)+(m2×2)=n

      結(jié)果4 其中2組的區(qū)域數(shù)相同,另2組的區(qū)域數(shù)各不相同,其等式可表達(dá)為:

      (m1×2)+(m2×1)+(m3×1)=n

      結(jié)果5 4組的區(qū)域數(shù)各不相同,其等式可表達(dá)為:

      (m1×1)+(m2×1)+(m3×1)+(m4×1)=n

      由此可見,(1)圖的n個(gè)區(qū)域隨意分為四組的結(jié)果及其等式與n個(gè)蘋果隨意分為四筐的結(jié)果及其等式相同,其分為四組的結(jié)果,必定可以此5個(gè)等式中之一個(gè)等式表達(dá)出來;(2)既然n個(gè)區(qū)域可以做到隨意分為四組,那么,依照“同一組的區(qū)域著同一色”的對(duì)等原理,證明n個(gè)區(qū)域可以做到隨意分為四色。圖的n個(gè)區(qū)域隨意分為四組的結(jié)果及其等式,也即是圖的n個(gè)區(qū)域隨意分為四色的結(jié)果及其等式。

      1.3 在遵循相鄰區(qū)域不能著同一組的原則下,圖的n個(gè)區(qū)域分為四組的結(jié)果及其等式

      筆者研究結(jié)果表明,一個(gè)由n(n≥4)個(gè)區(qū)域組成的圖,在遵循相鄰區(qū)域不能著同一組的原則下,不僅可合理搭配分為4組,而且其分為4組的區(qū)域數(shù)的結(jié)果也只有五種可能,其五種結(jié)果及其等式與隨意分為四組的結(jié)果及其等式相同。同時(shí)也證明,其分為四組的結(jié)果,必定可以此5個(gè)等式中之一等式表達(dá)出來。

      實(shí)圖例證詳見后文。

      1.4 四色區(qū)分的五種著色結(jié)果及其等式在實(shí)踐中出現(xiàn)的情況歸納

      筆者現(xiàn)將上文求證到的五種結(jié)果等式稱之為“四色區(qū)分的五種著色結(jié)果等式”。為著后文敘述的方便,筆者將此五種著色結(jié)果等式分別以A1、A2、A3、A4、A5等式來表示,即:

      A1等式是表示“m×4=n”

      A2等式是表示“(m1×3)+(m2×1)=n”

      A3等式是表示“(m1×2)+(m2×2)=n”

      A4等式是表示“(m1×2)+(m2×1)+(m3×1)=n”

      A5等式是表示“(m1×1)+(m2×1)+(m3×1)+(m4×1)=n”

      上述“四色區(qū)分的五種著色結(jié)果等式”,給我們證明“在相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下,平(球)體表面的圖的n(n≥4)個(gè)區(qū)域,能否做到合理搭配分為四組”之問題,提供了一個(gè)已知依據(jù)。根據(jù)這個(gè)依據(jù)和數(shù)學(xué)的加減乘除法則,又可知道:(1)奇數(shù)不能被2和4整除,所以,如該圖的區(qū)域數(shù)是奇數(shù)的,其可合理搭配分為“四組”的結(jié)果等式,只存在A2、A4、A5此3種等式,不可能存在A1等式和A3等式;(2)如該圖的區(qū)域數(shù)是不能被4整除的偶數(shù),其可合理搭配分為“四組”的結(jié)果等式,只存在A2、A3、A4、A5此4種等式,不可能存在A1等式;(3)如該圖的區(qū)域數(shù)可被4整除的偶數(shù),其可合理搭配分為“四組”的結(jié)果等式,均可能存在A1、A2、A3、A4、A5此5種等式。

      現(xiàn)將圖的區(qū)域可合理搭配分為四組的結(jié)果等式在實(shí)踐中有可能出現(xiàn)的情況做出歸納,見表1。

      由此得出結(jié)論:展現(xiàn)在平(球)體表面的圖,不論其區(qū)域是多少、整體結(jié)構(gòu)多么復(fù)雜,均可通過“設(shè)劃單元,合理搭配”的方法,在相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下,做到將圖的區(qū)域合理搭配分為“四組”。因而,四色猜想成立。

      2 將圖的區(qū)域合理搭配分為“四組”的方法和步驟

      四色猜想的四色區(qū)分之證明,實(shí)質(zhì)就是將圖的區(qū)域合理搭配分為“四組”的證明。在實(shí)踐中,在遵循相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下,如何使圖的區(qū)域合理搭配分為四組得以實(shí)現(xiàn),這就得講究科學(xué)的方法。對(duì)此,筆者經(jīng)過多年的探索,已探索出一套可靠的科學(xué)方法。此方法就是“設(shè)劃單元,合理搭配”的方法。具體有四個(gè)步驟:

      第一步 設(shè)劃“單元”。就是從整體的角度,對(duì)圖的區(qū)域與區(qū)域彼此之間相鄰和非相鄰的情況進(jìn)行分析,在此基礎(chǔ)上,根據(jù)其中若干區(qū)域在圖的整體中所處的位置及作用,設(shè)劃為若干“單元”。一個(gè)“單元”,可以是幾個(gè)區(qū)域,也可以是單個(gè)區(qū)域。總之,視圖的整體結(jié)構(gòu)而定。

      第二步 同一“單元”區(qū)域組合(叫做“首次組合”)。就是將同一“單元”中的無相鄰關(guān)系的區(qū)域組合為同一個(gè)組,叫做“同單元區(qū)域小組”(此是小的組)。在不違背相鄰區(qū)域不能組合為同一個(gè)組的原則下,一個(gè)區(qū)域可參加多個(gè)組的組合。

      第三步 單元與單元之間的區(qū)域(區(qū)域小組)組合(叫做“二次組合”)。就是遵循無相鄰區(qū)域可著同一色的原理,對(duì)第二步組合的組(包括單個(gè)區(qū)域、“同單元區(qū)域小組”)進(jìn)行再次合理組合,將組的區(qū)域數(shù)再擴(kuò)大,使之成為可著同一色的“定型組”。在同一個(gè)“定型組”中,絕不能存在相鄰區(qū)域。

      第四步 確定“四組”搭配方案。就是遵循四色猜想的原則,依照同一個(gè)組的區(qū)域可著同一色的原理,對(duì)第三步組合形成的“定型組”進(jìn)行合理搭配,設(shè)“四組”為一個(gè)搭配方案,每一個(gè)搭配方案即為對(duì)圖的n個(gè)區(qū)域進(jìn)行四色區(qū)分的一個(gè)可成立方案。搭配過程中必須遵循四項(xiàng)原則,即:(1)同一個(gè)方案中的各個(gè)區(qū)域只能出現(xiàn)一次,不能有重復(fù)出現(xiàn);(2)同一個(gè)方案中的區(qū)域數(shù)及區(qū)域編號(hào)必須與圖的區(qū)域數(shù)及區(qū)域編號(hào)相同,不能有被遺漏的區(qū)域;(3)同一個(gè)“定型組”(即可著同一色)的區(qū)域,不能有相鄰區(qū)域;(4)已確定的搭配方案必須符合四色區(qū)分的原則。

      最后,“四組”搭配方案完成后,必須依照上述四項(xiàng)原則對(duì)各個(gè)方案進(jìn)行逐項(xiàng)檢查驗(yàn)證。

      現(xiàn)進(jìn)行實(shí)圖作證。

      例證1

      如圖1,是一個(gè)由12個(gè)區(qū)域組成的圖。此圖是《轟動(dòng)全球的四色問題》一文用于證明“四色定理”的例證圖。

      第一步,設(shè)劃單元。根據(jù)圖1的12個(gè)區(qū)域彼此之間的相鄰、非相鄰關(guān)系以及所形成的結(jié)構(gòu)模式,可設(shè)劃為四個(gè)單元,即“1”為第一單元;“2,3,4,5,6”此五個(gè)區(qū)域?yàn)榈诙卧?;?,8,9,10,11”此五個(gè)區(qū)域?yàn)榈谌龁卧?;?2”為第四單元。

      第二步,同一單元區(qū)域組合。第一單元只有“1”一個(gè)區(qū)域,單個(gè)區(qū)域?yàn)橐唤M。第二單元的“2,3,4,5,6”此五個(gè)區(qū)域,根據(jù)其區(qū)域彼此之間的相鄰和非相鄰的情況,可組合為兩個(gè)區(qū)域?yàn)橐唤M的五個(gè)小組,即:“2”與“4”為一組;“2”與“5”為一組;“3”與“5”為一組;“3”與“6”為一組;“4”與“6”為一組。第三單元的“7,8,9,10,11”此五個(gè)區(qū)域,根據(jù)其區(qū)域彼此之間的相鄰和非相鄰的情況,可組合為兩個(gè)區(qū)域?yàn)橐唤M的五個(gè)小組,即:“7”與“9”為一組;“7”與“10”為一組;“8”與“10”為一組;“8”與“11”為一組;“9”與“11”為一組。第四單元只有“12”一個(gè)區(qū)域,單個(gè)區(qū)域?yàn)橐唤M。

      第三步,單元與單元之間的區(qū)域(區(qū)域小組)組合。根據(jù)第二步已完成的各單元的區(qū)域組合情況,依照非相鄰的區(qū)域或區(qū)域小組可組合為同一組的要求,單元與單元之間的區(qū)域(區(qū)域小組)的組合結(jié)果詳見表2。

      從表2可看出,經(jīng)單元與單元之間的區(qū)域(區(qū)域小組)組合,共產(chǎn)生21組“定型組”,其中3個(gè)區(qū)域?yàn)橐唤M的“定型組”有20組,2個(gè)區(qū)域?yàn)橐唤M的“定型組”有1組(即是“1”與“12”)。

      第四步,確定“四組”搭配方案。根據(jù)21組“定型組”的實(shí)際情況,依照四色猜想的四色區(qū)分的原則和“四組”搭配過程中應(yīng)遵循的四項(xiàng)原則,確定可成立的合理搭配方案共有10個(gè),詳見表3。

      在此,需說清楚的,(1)圖1的區(qū)域數(shù)為12個(gè),屬于可被4整除的偶數(shù),四色區(qū)分的五種結(jié)果等式均有可能存在。但是,由于圖1的21組“定型組”中只存在區(qū)域數(shù)為3個(gè)的“定型組”和區(qū)域數(shù)為2個(gè)的“定型組”,只具備A1等式(即“m×4=n”等式)合理搭配“四組”的區(qū)域數(shù)的“定型組”,卻不具備A2、A3、A4、A5此4種等式合理搭配“四組”的區(qū)域數(shù)的“定型組”。因此,圖1的10個(gè)“四組”搭配方案的著色結(jié)果等式均為“m×4=n”(3×4=12)等式。(2)關(guān)于“1,12”此組“定型組”,因其區(qū)域數(shù)為2個(gè),只能使用在A2、A3、A4、A5此4種等式的“四組”搭配上,但是,A2、A3、A4、A5此4種等式的四組“定型組”中,必須要有區(qū)域數(shù)為4個(gè)的“定型組”來搭配。因圖1的21組“定型組”中不存在區(qū)域數(shù)為4個(gè)的“定型組”,所以,“1,12”此組“定型組”搭配使用不上。再是,從圖1的12個(gè)區(qū)域彼此之間相鄰、非相鄰情況來看,如“1”與“12”同著一色,必然致使圖1的12個(gè)區(qū)域須五色區(qū)分。這就違背了四色區(qū)分的原則。

      從表3可知,圖1的合理的“四組”搭配方案共有10個(gè)。此10個(gè)“四組”搭配方案,按四色區(qū)分均能成立。又每一個(gè)“四組”搭配方案的著色方案按“4!”計(jì),圖1的著色方案共有240種,并不是《轟動(dòng)全球的四色問題》一文所說的12種。雖然其著色方案為240種,但其著色結(jié)果等式只有一個(gè),為“m×4=n”(3×4=12)等式,其四色每一色的區(qū)域數(shù)為3個(gè)。由此得出結(jié)論,在遵循相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下,圖1的12個(gè)區(qū)域完全可以合理搭配分為“四組”,從中證明在遵循相鄰區(qū)域不能著同一色的原則下可以做到四色區(qū)分,四色猜想成立。此證。

      例證2

      如圖2,是一個(gè)由17個(gè)區(qū)域組成的圖。經(jīng)“設(shè)劃單元”(設(shè)劃為五個(gè)單元)、“同一單元區(qū)域組合”、“單元與單元之間的區(qū)域(區(qū)域小組)組合”(前三步過程略)之后,產(chǎn)生“定型組”共40組,其中區(qū)域數(shù)為3個(gè)的有20組,區(qū)域數(shù)為4個(gè)的有15組,區(qū)域數(shù)為5個(gè)的有5組。詳見表4。

      第四步,確定“四組”搭配方案。依照四色猜想的四色區(qū)分的原則和“四組”搭配過程中應(yīng)遵循的四項(xiàng)原則,經(jīng)對(duì)此40組“定型組”進(jìn)行合理搭配,確定可成立的“四組”搭配方案共有20個(gè)(需說清楚的,有10組區(qū)域數(shù)為3個(gè)的“定型組”不能搭配使用),其中其著色結(jié)果等式屬于A2等式“(m1×3)+(m2×1)=n”(即是“4×3+5×1=17”)有10個(gè),屬于A4等式“(m1×2)+(m2×1)+(m3×1)=n”(即是“5×2+3×1+4×1=17”)有10個(gè)。詳見表5。

      從表5可知,圖2的20個(gè)“四組”搭配方案,按四色區(qū)分均能成立。由此得出結(jié)論,在遵循相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下,圖2的17個(gè)區(qū)域完全可以合理搭配分為“四組”,從中證明在遵循相鄰區(qū)域不能著同一色的原則下可以做到四色區(qū)分,四色猜想成立。此證。

      例證3

      圖3是一個(gè)由18個(gè)區(qū)域組成的圖。從該圖可看出,比之圖1、圖2,其圖的結(jié)構(gòu)模式比較復(fù)雜,區(qū)域與區(qū)域彼此之間的相鄰、非相鄰關(guān)系比較繁雜。筆者實(shí)踐表明,類似于圖3的圖,設(shè)劃單元時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn):第一,以均存在相鄰關(guān)系的四個(gè)區(qū)域設(shè)劃為第一單元;第二,其他單元也要以密切相鄰(包括區(qū)域編號(hào))的區(qū)域來設(shè)劃。依照此兩點(diǎn),筆者將圖3的18個(gè)區(qū)域設(shè)劃為四個(gè)單元,具體是:“4,10,11,12”此4個(gè)均相鄰區(qū)域?yàn)榈谝粏卧弧?,8,9,14”此4個(gè)區(qū)域?yàn)榈诙卧?;?,2,3,5,6”此5個(gè)區(qū)域?yàn)榈谌龁卧弧?3,15,16,17,18”此5個(gè)區(qū)域?yàn)榈谒膯卧?。在此,需指出的,因圖3的區(qū)域與區(qū)域彼此之間的相鄰、非相鄰關(guān)系比較繁雜,故其“單元與單元之間的區(qū)域(區(qū)域小組)組合”的靈活性較大。經(jīng)“設(shè)劃單元”、“同一單元區(qū)域組合”、“單元與單元之間的區(qū)域(區(qū)域小組)組合”之后,產(chǎn)生“定型組”共574組,其中區(qū)域數(shù)為3個(gè)的有96組,區(qū)域數(shù)為4個(gè)的有110組,區(qū)域數(shù)為5個(gè)的有116組,區(qū)域數(shù)為6個(gè)的有168組,區(qū)域數(shù)為7個(gè)的有72組,區(qū)域數(shù)為8個(gè)的有12組。

      因可供四組搭配的“定型組”有五百多組,可以肯定,可成立的四組搭配方案數(shù)在60種以上。對(duì)此,本人無法將其詳盡列出(其實(shí),從“證明能否做到四色區(qū)分”這個(gè)角度來說,也沒有必要詳盡列出“四組搭配方案”,因?yàn)榱谐龅目沙闪⒌牟糠帧八慕M搭配方案”,足可對(duì)“能否做到四色區(qū)分”之問題做出肯定的證明),只好將其中“某類型”的16種“四組搭配方案”列出,見表6。

      從表6可知,表中的16種“四組搭配方案”,是局限于“第一組‘定型組四個(gè)區(qū)域不變,其他三組‘定型組的區(qū)域略有變動(dòng)”的情況下的16種方案。此16種“四組搭配方案”,按四色區(qū)分均能成立。由此得出結(jié)論,在遵循相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下,圖3的18個(gè)區(qū)域完全可以合理搭配分為“四組”,從中證明在遵循相鄰區(qū)域不能著同一色的原則下可做到四色區(qū)分,四色猜想成立。此證。

      3 “四組搭配方案”的簡捷方法

      筆者從四色猜想命題只是證明能否做到四色區(qū)分,而不是求證“四組搭配方案”數(shù)多少這個(gè)證明點(diǎn)出發(fā),避開對(duì)“四組搭配方案”數(shù)的求證,創(chuàng)立了“四組搭配方案”的簡捷方法,即是“設(shè)劃單元+表中搭配”的方法。

      第一步,“設(shè)劃單元”。要求及做法沒有變。但有一點(diǎn)要予以注意的,就是類似于圖3的圖,一定要以均存在相鄰關(guān)系的四個(gè)區(qū)域設(shè)劃為第一單元。因?yàn)?,本人研究結(jié)果表明,展現(xiàn)在平(球)體表面的圖最多只能做到使“四個(gè)區(qū)域全相鄰”,第一單元的均相鄰的四個(gè)區(qū)域是四組區(qū)域搭配時(shí)“看齊”的“基準(zhǔn)區(qū)域”。

      第二步,“制表搭配”。先編制好表格,表格內(nèi)容有四個(gè)欄目(1)四組序號(hào);(2)各單元合理搭配的區(qū)域;(3)四組搭配方案結(jié)果;(4)著色結(jié)果等式。編制好表格后就進(jìn)入合理搭配程序。

      在搭配過程中,必須遵循四色猜想的四色區(qū)分的原則和“四組”搭配過程中應(yīng)遵循的四項(xiàng)原則。搭配完成后,必須對(duì)照“四項(xiàng)原則”進(jìn)行檢查。

      現(xiàn)以實(shí)圖進(jìn)行證明。

      例證1 以上文圖3為例。

      第一步,“設(shè)劃單元”。從該圖看出,均存在相鄰關(guān)系的四個(gè)區(qū)域共有五組,即:“4,10,11,12”、“4,7,10,15”、“7,9,10,14”、“7,10,14,15”、“10,13,14,15”。現(xiàn)設(shè)“4,7,10,15”此四個(gè)區(qū)域?yàn)榈谝粏卧弧?,9,13,14”此四個(gè)區(qū)域?yàn)榈诙卧弧?1,12”此兩個(gè)區(qū)域?yàn)榈谌龁卧弧?,2,3,5,6”此五個(gè)區(qū)域?yàn)榈谒膯卧?;?6,17,18”此三個(gè)區(qū)域?yàn)榈谖鍐卧?/p>

      第二步,“制表搭配”。

      經(jīng)驗(yàn)證,表中四種“四組搭配方案”,不存在相鄰區(qū)域同一組的現(xiàn)象,也不存在某個(gè)區(qū)域重復(fù)出現(xiàn)或被遺漏的情況,均可成立。從中證明,在遵循相鄰區(qū)域不能著同一色的原則下,圖3的18個(gè)區(qū)域可做到四色區(qū)分。因此,四色猜想成立。此證。

      例證2 以上文圖2為例。

      第一步,“設(shè)劃單元”。從該圖看出,圖的區(qū)域與區(qū)域彼此之間形成的規(guī)律有序、層次分明。據(jù)此,設(shè)區(qū)域“1”為第一單元;內(nèi)一環(huán)的“2,3,4,5,6”此五個(gè)區(qū)域?yàn)榈诙卧?;?nèi)二環(huán)的“7,8,9,10,11”此五個(gè)區(qū)域?yàn)榈谌龁卧?;外環(huán)的“12,13,14,15,16”此五個(gè)區(qū)域?yàn)榈谒膯卧?;區(qū)域“17”為第五單元。

      第二步,“制表搭配”。

      經(jīng)驗(yàn)證,表中兩種“四組搭配方案”,不存在相鄰區(qū)域同一組的現(xiàn)象,也不存在某個(gè)區(qū)域重復(fù)出現(xiàn)或被遺漏的情況,均可成立。從中證明,在遵循相鄰區(qū)域不能著同一色的原則下,圖2的17個(gè)區(qū)域可做到四色區(qū)分。因此,四色猜想成立。此證。

      4 結(jié)論

      綜上證明,得出結(jié)論:展現(xiàn)在平(球)體表面的圖,不論其區(qū)域是多少、整體結(jié)構(gòu)多么復(fù)雜,均可通過“設(shè)劃單元,合理搭配”的方法,在遵循相鄰區(qū)域不能搭配為同一組的原則下,做到“四組”合理搭配,而且其可成立的方案數(shù)有多個(gè)。因而,依照“同一組區(qū)域著同一色”的對(duì)等原理,在遵循相鄰區(qū)域不能著同一色的原則下,對(duì)圖的區(qū)域完全可做到四色區(qū)分,使四色猜想得以成立。

      證畢。

      2018年10月28日

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