一類帶有擴(kuò)散項(xiàng)的p-Laplace方程的無窮多解

景新鵬

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 太原 030006)

本文主要考慮下列問題[1-10]：

(1)

當(dāng)p=α=2時(shí)，方程(1)出現(xiàn)在許多物理模型中，可參考文獻(xiàn)[2,5,7]以及相關(guān)文獻(xiàn)。在這種情況下，Zhou等[10]證明了無窮多小解的存在性。對(duì)于帶有p-Laplace平方擴(kuò)散項(xiàng)Δp(u2)u的方程，Uberlandio[8]研究了下面問題：

(f1) 存在常數(shù)δ1>0，使得當(dāng)|t|≤δ1時(shí)，對(duì)所有的x∈Ω，都有f(x,-t)=-f(x,t)；

注意到，問題(1)對(duì)應(yīng)的自然泛函為

自然地考慮下列問題：

(2)

這里|·|∞表示L∞(Ω)上的范數(shù)。

以下給出本文的主要結(jié)果：

1 準(zhǔn)備工作

本節(jié)給出一些注記和函數(shù)g的一些性質(zhì)以及需要的定義和引理。

引理1[6]函數(shù)g具有下列性質(zhì)：

①g∈C2(R)是唯一的，并且g在R上是奇函數(shù)和可逆函數(shù)；

② 0

③ |g(t)|≤|t|,t∈R；

在證明主要結(jié)論之前，需要給出虧格(genus)的定義以及下面的引理。

定義1[1]設(shè)E是一個(gè)實(shí)Banach空間，令Σ(E)={A:A是E中關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱閉集且A?E{0}}。設(shè)A∈Σ(E)。若A=?，則規(guī)定A的虧格是0，記為γ(A)=0。若A≠?，如果存在自然數(shù)n，使得存在連續(xù)的奇映射ψ∶A→Rn{0}，則這樣n的最小者(記為n0)叫做A的虧格，記γ(A)=n0；如果不存在這樣的n，則規(guī)定A的虧格是∞，記為γ(A)=∞。

引理2[4]設(shè)E是一個(gè)無窮維Banach空間，I∈C1(E,R)是一個(gè)偶泛函且I(0)=0。若：(I1) 泛函I下有界且滿足PS條件；(I2) 對(duì)每一個(gè)n∈N={1,2,…}，都存在An∈Γn，使得supAnI<0，這里Γn={A∈Σ(E)∶γ(A)≥n}，那么下列結(jié)論之一成立：

① 泛函I存在1個(gè)臨界點(diǎn)序列{un}，滿足un→0,I(un)<0；

② 泛函I存在2個(gè)臨界點(diǎn)序列{un}和{vn}，滿足un≠0,un→0,I(un)=0,vn→v,v≠0,I(vn)<0,I(vn)→0。

值得注意的是，在引理2的條件下可以得到：泛函I存在一個(gè)非平凡的臨界點(diǎn)序列{un}，滿足un→0,I(un)≤0。

2 主要結(jié)論的證明

以下利用截?cái)嗉记勺C明定理1成立。

取l∈(0,2-1min{δ1,δ2,C})。定義偶函數(shù)η∈C1(R,[0,1])，滿足η(t)=1,|t|≤l;η(t)=0,|t|≥2l。

考慮問題

(3)

若v是問題(3)的弱解且滿足|v|∞≤l，則由引理1的③知，對(duì)任意的x∈Ω，都有|g(v(x))|≤l，從而η(g(v(x)))=1。因此，v是問題(2)的弱解，進(jìn)而u=g(v)是問題(1)的弱解。

令

|h(x,t)|≤C0, (x,t)∈Ω×R

(4)

引理3 泛函I是強(qiáng)制的、下有界的，且滿足PS條件。

(5)

其中C1=C0μ1是一個(gè)常數(shù)。因?yàn)閜≥α≥2，所以泛函I是強(qiáng)制的、下有界的。

(6)

由式(4)和引理1的②有

結(jié)合→0,n→∞，因此由式(6)可得

(7)

||v||≤β|v|p

(8)

由(f3)知，存在常數(shù)δ3>0，使得當(dāng)|t|≤δ3時(shí)，對(duì)所有的x∈Ω，都有

(9)

取l0∈(0,min{l,δ3})，斷言存在常數(shù)τ>0，使得對(duì)任意的v∈En且||v||≤τ，都有

(10)

其中Ωv={x∈Ω:|g(v(x))|>l0}。

事實(shí)上，若式(10)不成立，則存在一個(gè)滿足||vk||→0,k→∞的序列{vk}?En{0}，使得

令wk=vk|vk|p，則對(duì)所有的k∈N，都有

(11)

顯然與式(11)矛盾，因此式(10)成立。

由式(9)知，當(dāng)t∈[0,l0],x∈Ω時(shí)，有f(x,t)≥2pβpC-ptp-1，進(jìn)而H(x,t)=F(x,t)≥2βpC-ptp。結(jié)合引理1的④以及l(fā)0

(12)

由條件(f1)可知，當(dāng)|t|≤l0,x∈Ω時(shí)，H(x,t)關(guān)于第2變量t是偶的，因此通過式(8)、(10)、(12)，對(duì)任意的v∈En且||v||≤τ，都有

取ρ∈(0,τ],An={v∈En∶||v||=ρ}，有γ(An)=n以及supAnI≤(1-p)p-1ρp<0。

從式(4)和引理1的②可以得到：

結(jié)合以上2個(gè)不等式，令T→∞，有

(13)

則由式(13)得到

通過迭代，有

其中

因?yàn)?/p>

所以