深井聲波傳輸特性仿真分析

孫延鵬，盧海琪

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué)， 沈陽(yáng) 110000)

隨著人類社會(huì)的快速發(fā)展，對(duì)石油能源的需求愈發(fā)強(qiáng)烈，石油的勘測(cè)和鉆探技術(shù)也愈發(fā)重要。為了提高工作效率和安全性，需要實(shí)時(shí)地測(cè)量井下的壓力和溫度等參數(shù)并傳送到地面。過去的有線傳輸系統(tǒng)不僅費(fèi)用昂貴，而且在井下高溫、高壓、高腐蝕的環(huán)境下，電纜線也容易受到損壞[1]，所以逐漸使用無線的方式進(jìn)行通信。深井無線傳輸?shù)姆绞接心酀{脈沖[2]、電磁波[3-5]和聲波[6-8]。泥漿脈沖和電磁波傳輸方式在井下傳輸信息時(shí)缺點(diǎn)比較明顯，而聲波傳輸方式結(jié)果簡(jiǎn)單，成本低，得到了國(guó)內(nèi)外廣大研究人員的青睞。在聲波中主要研究縱波，因?yàn)閺澢ǖ膫鞑ニ俣嚷?，在同一直徑的管道中也?huì)形成很大的衰減，而扭轉(zhuǎn)波在每個(gè)接頭處的反射比縱波強(qiáng)烈，綜合考慮之后選擇了縱波。

現(xiàn)實(shí)生活中，油井的信道有周期性的也有非周期性的。本文采用傳遞矩陣法[9]來對(duì)一維理想的信道、周期性的信道和非周期性的信道進(jìn)行建模仿真。在研究周期性信道時(shí)，采取控制單一變量來詳細(xì)研究每個(gè)參量對(duì)傳輸系統(tǒng)的影響。而在對(duì)非周期性信道研究時(shí)，主要研究了不同長(zhǎng)度的變化對(duì)傳輸系統(tǒng)的影響。最后對(duì)所有的仿真結(jié)果進(jìn)行分析。

1 聲波沿一維理想信道傳輸特性仿真分析

1.1 縱波沿一維理想信道的理論分析[10]

根據(jù)彈性理論，考慮彈性波傳輸?shù)膶?shí)際情況，國(guó)際上關(guān)于聲波沿管道的傳播特性研究，多是將管道看成實(shí)心細(xì)長(zhǎng)的桿或管子結(jié)構(gòu)[11]。若為周期性的，則看成等長(zhǎng)度的桿[12]，構(gòu)成周期性管串結(jié)構(gòu)，若為非周期性的，則看成非等長(zhǎng)的桿，構(gòu)成非周期性的管串結(jié)構(gòu)。

設(shè)縱波的波函數(shù)為u=u(x,t)，沿著無橫向變形(泊松比為0)的一維均勻直桿傳播。直管上的應(yīng)變不是拉伸就是壓縮，取直管上一微元段dx，如圖1所示，假設(shè)微元段處于拉伸狀態(tài)，設(shè)A′和B′截面上受到的拉力分別為f1和f2，得到力學(xué)平衡方程

(1)

式中：dx為微元段的長(zhǎng)度(m)；f1為微元段dx左側(cè)的拉力(N)；f2為微元段dx右側(cè)的拉力(N)；s為微元段dx的橫截面積(m2)；u為質(zhì)點(diǎn)在x方向的位移分量(m);ρ為直管材料的密度。

(2)

式中E為直管的楊氏模量。

(3)

則微元段所受的合力為

(4)

因?yàn)槿〉梦⒃蝑x趨于無窮小，所以在式(4)中略去了dx的高階無窮小的項(xiàng)，將式(4)代入式(1)得到

(5)

式(5)就是縱波的波動(dòng)方程。雖然該二階微分方程是從一維均勻直管中導(dǎo)出來的，但適用于任何一個(gè)一維的固體彈性介質(zhì)。

式(5)中，影響該波動(dòng)方程只有2個(gè)物理量——材料的楊氏模量和密度，與縱波的振幅、頻率、相位和波形等都無關(guān)。

圖1 一維理想信道示意圖

(6)

式(6)就是縱波的波動(dòng)方程。

1.2 縱波沿一維理想信道的仿真分析

選擇彈性模量為2.059×1011Pa，泊松比為0.3，密度為7 890 kg/m3的理想管道200 m進(jìn)行模擬計(jì)算，直管的橫截面積為34 cm2，模擬的時(shí)間為0.3 s，選取的輸入信號(hào)為單位脈沖信號(hào)，如圖2所示。

圖2 單位脈沖信號(hào)

利用沖激函數(shù)的性質(zhì)，很容易求得信道的系統(tǒng)函數(shù)。通過離散傅里葉變換，得到系統(tǒng)函數(shù)的頻響特性(這里求得是幅頻特性)，如圖3所示。

圖3 一維理想信道的頻響特性

2 聲波沿周期性信道傳輸特性仿真分析

2.1 理論分析

首先建立模型，周期性的油管管道結(jié)構(gòu)，如圖4所示。

圖4 周期性的管道結(jié)構(gòu)示意圖

根據(jù)縱波的波動(dòng)方程式(6)，其位移解為

u=(utejkx+ve-jkx)ejωt

(7)

式中：u為聲波的波函數(shù)(m)；ut為透射波的位移(m)；v為反射波的位移(m)；x為任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離(m)；j為虛數(shù)單位。

橫截面上的軸向力可表示為

(8)

將式(7)代入到式(8)中，可得

F=-jkρsc2(utejkx-ve-jkx)ejωt

(9)

通過歐拉公式ejθ=cosθ+jsinθ將式(7)和式(9)展開，并用矩陣的形式表示，可得

(10)

令

(11)

稱A(x)為傳遞矩陣。

當(dāng)x=0時(shí)，即為模型的第1段，在其左側(cè)邊界上分析得到

(12)

其中，

(13)

同理，當(dāng)x=L1時(shí)，即取的是模型的第2段，在其左側(cè)邊界上分析得到

(14)

對(duì)式(12)進(jìn)行計(jì)算，很容易求得A(0)的逆矩陣A-1(0)，將式(12)和式(14)聯(lián)立計(jì)算，很容易得到

(15)

以此類推，可得到第i段的法向位移和應(yīng)力的關(guān)系公式

(16)

由于在分界面處必須滿足法向位移u和法向作用力F連續(xù)的條件，可得

(17)

因?yàn)檎麄€(gè)深井管道系統(tǒng)是由每一段的管道和每一段的接頭處組成的，因此每一段的傳遞函數(shù)相乘就是整體的傳遞函數(shù)。令Mn=A(Ln)A-1(0)；M=MnMn-1…M1，得到

(18)

其中M為整個(gè)管道系統(tǒng)的傳遞矩陣。

假設(shè)整個(gè)深井信道的左端是聲波信號(hào)的發(fā)射處，右端是信號(hào)的接收處，在右端接收處的透射波和反射波的位移分別為φtn和φrn，由式(9)可得

(19)

左端發(fā)射處施加輸入信號(hào)，假設(shè)此處只有入射波，假定入射波在左端的位移為φt0，由式(10)可得

(20)

聯(lián)立式(18)～(20)可得

(21)

定義油管的接收處的聲波信號(hào)與左端發(fā)射聲波的激勵(lì)信號(hào)之間的比值為ξ，即

(22)

令傳遞矩陣

(23)

通過進(jìn)一步求解，由式(21)可以得到

(24)

式中：ρ1為油管左端的材料密度;ρn為油管右端的材料密度;s1為油管左端的橫截面積;s2為油管右端的橫截面積。

2.2 聲波沿周期信道的仿真分析

采用傳遞矩陣法對(duì)周期性的油管管道進(jìn)行模擬仿真，使用的部分參數(shù)如表1所示。

表1 仿真用的部分參數(shù)

由220個(gè)直管道A和221個(gè)接箍A組成的油管管道的總長(zhǎng)度約為2 000 m，模擬計(jì)算得到的仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 周期性油管管道的頻譜

由圖5可以看到：?jiǎn)挝患?lì)信號(hào)通過信道系統(tǒng)后，一部分頻率分量可以通過，另外有一部分分量無法通過，呈現(xiàn)出通帶和阻帶相間隔的形式。

采取控制單一變量的方法，研究其他參數(shù)變化對(duì)傳輸特性的影響。油管的密度是由材料決定的，無法更改，縱波的波速也幾乎是恒定的?？紤]的參量只剩下長(zhǎng)度和橫截面積。首先考慮一下長(zhǎng)度變化對(duì)傳輸特性的影響。選取不同長(zhǎng)度的管道模型。選取表格中序號(hào)Ⅰ的組合，對(duì)直管道分別選取10根、20根、20根組成不同長(zhǎng)度的油管管道模型，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同長(zhǎng)度油管管道頻譜響應(yīng)

由圖6可以看出：不同長(zhǎng)度所組成的油管管道系統(tǒng)對(duì)單位脈沖信號(hào)頻譜響應(yīng)幾乎不變，各通帶的寬度和位置幾乎相同，即長(zhǎng)度的變化不改變油管信道的傳輸特性，依舊保持梳狀濾波的特性。

將表格中序號(hào)Ⅰ和序號(hào)Ⅱ的直管道和接箍組成的油管管道選取同樣的長(zhǎng)度進(jìn)行仿真，選取20根直管道和21根接箍進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同橫截面積油管管道的頻譜響應(yīng)

由圖7可知：當(dāng)接箍的橫截面積減小后，系統(tǒng)還是呈現(xiàn)梳狀濾波結(jié)構(gòu)，雖然通帶的位置幾乎不變，但是通帶的寬度有所變化，會(huì)變寬，信號(hào)的幅值也會(huì)稍微變大。

3 聲波沿非周期信道傳輸特性仿真分析

實(shí)際的油管管道比較復(fù)雜，考慮非周期性的模型是有必要的。聲波在管道中傳播，傳輸特性與油管管道的結(jié)構(gòu)密切聯(lián)系。在實(shí)際的非周期油管管道中呈現(xiàn)非周期變化的參量不僅有長(zhǎng)度還有橫截面積。本文只研究長(zhǎng)度的非周期情況，仍采取控制單一變量的方式來研究長(zhǎng)度的不同變化，以及對(duì)深井油管信道的傳輸特性的研究。為了研究長(zhǎng)度的非周期變化對(duì)油管管道的傳輸特性的影響，需要保證另外一個(gè)參量，即確保橫截面積統(tǒng)一。取不同長(zhǎng)度的直管道，起始長(zhǎng)度為8.686 8 m，最終長(zhǎng)度為12.886 8 m，分別采用不同的組合來建立非周期油管信道模型。選取15根直管道、16根接箍，分別采用依次增加、依次減小、先增后減、先減后增、增減相間隔等形式，每根管道的長(zhǎng)度間隔根據(jù)采取的組合形式而定。依次增加、依次減小和增減相間隔的形式管道長(zhǎng)度間隔為0.3 m，先增后減和先減后增的長(zhǎng)度間隔為0.6 m。仿真所使用的參數(shù)數(shù)據(jù)如表1中序號(hào)Ⅰ所示，只是將直管道的長(zhǎng)度按上述的方法進(jìn)行改動(dòng)即可。

使用表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真計(jì)算，前4個(gè)形式得到的仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 前4種非周期形式的頻譜響應(yīng)

由圖8可以看出：依次增大和依次減小的信道傳輸特性幾乎一樣，而先增大后減小和先減小后增大的信道傳輸特性也幾乎一樣。但是在2 000～3 000 Hz這個(gè)范圍內(nèi)先增大后減小和先減小后增大的組合形式明顯優(yōu)于依次增大和依次減小的。但是這4種非周期形式的組合的信道傳輸特性仍然滿足梳狀結(jié)構(gòu)。

最后一個(gè)增減相間隔形式的仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9 增減相間隔的頻譜響應(yīng)

由圖9可以看出：增減相間隔的傳輸特性優(yōu)于前4種非周期形式組合，呈現(xiàn)梳狀結(jié)構(gòu)，而且相對(duì)幅值變化也比較平緩。

結(jié)合非周期的圖8和圖9與上述周期性的幾張仿真圖比較，可以看到非周期的通阻帶變多，通帶的寬度明顯變窄，而且相對(duì)幅值變化比較大。說明油管管道的結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，聲波的傳輸效果就越差。所以在實(shí)際的油管的管道最好選擇設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單的形式，便于聲波的有效傳輸。

4 結(jié)論

1) 一維理想的油管管道對(duì)初始信號(hào)沒有阻礙作用，不呈現(xiàn)梳狀濾波的性質(zhì)，對(duì)信號(hào)沒有選擇性，且過于理想化。

2) 周期性的油管管道對(duì)信號(hào)呈現(xiàn)梳狀濾波的作用。油管管道的長(zhǎng)度變化，會(huì)引起信號(hào)的衰減，但是不改變梳狀濾波的性質(zhì)。橫截面積的變化，會(huì)引起通頻帶的寬度發(fā)生變化。周期性的管道研究起來方便，進(jìn)行仿真操作也很便利，呈現(xiàn)的梳狀結(jié)構(gòu)比較整齊劃一，便于分析聲波信號(hào)傳輸特點(diǎn)。

3) 非周期的油管管道的機(jī)構(gòu)復(fù)雜，引起聲波的色散比周期性的嚴(yán)重，頻譜響應(yīng)依舊呈現(xiàn)梳狀性質(zhì)，但是通帶明顯變窄。聲波在結(jié)構(gòu)復(fù)雜的油管管道中傳輸效果不佳。

4) 實(shí)際情況中由于地形、壓強(qiáng)等因素的影響不可能使用完全理想的管道，也不能使用完全周期性的管道，但是在使用長(zhǎng)度不等的非周期的管道時(shí)，盡量保證相鄰的管道的長(zhǎng)度差值不要懸殊太大，使用的差值越小，聲波傳輸?shù)男Ч驮胶谩?/p>