題在書外根在書內(nèi)

何勇

數(shù)學(xué)課本中的例題具有示范性、典型性和探究性，是課本的精髓.瀏覽近幾年全國(guó)各地的中考數(shù)學(xué)試卷，很多試題來(lái)源于課本，“題在書外，根在書內(nèi)”.因此，我們?cè)谄匠W(xué)習(xí)過(guò)程中如果能充分重視和挖掘課本中例題的潛在功能，適當(dāng)加以拓展延伸，可以達(dá)到事半功倍的效果.

原題 （蘇科版《數(shù)學(xué)》九下第72頁(yè)例2）如圖1，AF是△ABC的高，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC，DE交AF于點(diǎn)G，設(shè)DE=6，BC=10，GF=5，求點(diǎn)A到DE、BC的距離.

【思路點(diǎn)撥】由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，利用相似三角形對(duì)應(yīng)高之比等于相似比易求出AG=7.5，AF=12.5.

變式1 如圖2，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB、GHMN都是正方形的花圃.已知自由飛翔的小鳥將隨機(jī)落在這塊綠化帶上，則小鳥落在花圃上的概率為（ ）.

A.[1732] B.[12] C.[1736] D.[1738]

【思路點(diǎn)撥】求得陰影部分的面積與正方形ABCD的面積的比即可求得小鳥落在花圃上的概率.

【簡(jiǎn)解】設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，

則BF=[12]BC=[12]a，AN=NM=MC=[23]a，

陰影部分的面積為（[12]a）2+（[23]a）2=[1736]a2，所以小鳥落在花圃上的概率為[1736].故選C.

變式2 如圖3，有一塊三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知：BC=8cm，高AD=12cm，矩形EFGH的邊EF在BC邊上，G、H分別在AC、AB上，設(shè)HE的長(zhǎng)為ycm，EF的長(zhǎng)為xcm.

（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）當(dāng)x取多少時(shí)，矩形EFGH是正方形？

【思路點(diǎn)撥】（1）先由BC=8cm，高AD=12cm，HE的長(zhǎng)為ycm、EF的長(zhǎng)為xcm，可知，AK=（12-y）cm，HG=EF=xcm，再根據(jù)HG∥BC可知△AHG∽△ABC，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可知y=x，再代入（1）中所求的代數(shù)式即可得出結(jié)論.

【簡(jiǎn)解】（1）由HG∥BC，所以△AHG∽△ABC，所以[AKAD]=[HGBC]，即[12-y12]=[x8]，即y=12-[32]x；

（2）由（1）可知，y與x的關(guān)系式為y=12-[32]x，因四邊形EFGH是正方形，所以HE=EF，則x=12-[32]x，解得x=[245]，即x=[245]時(shí)，矩形EFGH是正方形.

【說(shuō)明】本題難點(diǎn)是將相似的性質(zhì)和一次函數(shù)相結(jié)合，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，找出相似三角形，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題.

變式3 一塊三角形廢料如圖4所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12.用這塊廢料剪出一個(gè)矩形CDEF，其中，點(diǎn)D、E、F分別在AC、AB、BC上.要使剪出的矩形CDEF面積最大，點(diǎn)E應(yīng)選在何處？

【思路點(diǎn)撥】首先在Rt△ABC中利用∠A=30°、AB=12，求得BC、AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)四邊形CDEF是矩形得到EF∥AC，從而得到△BEF∽△BAC，設(shè)AE=x，則BE=12-x.利用相似三角形成比例表示出EF、DE，然后表示出有關(guān)x的二次函數(shù)，最后求二次函數(shù)的最值即可.

【簡(jiǎn)解】在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=12，所以BC=6，AC=[63].由△BEF∽△BAC得：[EFAC]=[BEBA].設(shè)AE=x，則BE=12-x.EF=[32]（12-x）.在Rt△ADE中，DE=[12]AE=[12]x.矩形CDEF的面積S=DE·EF=-[34]x2+[33]x（0

【說(shuō)明】本題難點(diǎn)在于利用相似三角形的性質(zhì)得到矩形CDEF面積表達(dá)式，解題的關(guān)鍵是從幾何問(wèn)題中整理出二次函數(shù)模型，并利用二次函數(shù)的知識(shí)求最值，從而確定點(diǎn)E的位置.

變式4 如圖5（1），△ABC是一張等腰直角三角形彩色紙，AC=BC=50cm.將斜邊上的高CD五等分，然后裁出4張寬度相等的長(zhǎng)方形紙條.若用這4張紙條為一幅正方形美術(shù)作品鑲邊（紙條不重疊），如圖5（2），則正方形美術(shù)作品最大面積是 cm2.

【思路點(diǎn)撥】利用相似三角形的性質(zhì)求出每個(gè)紙條的長(zhǎng)，將其相加，易得紙條的總長(zhǎng)度，計(jì)算出正方形的邊長(zhǎng)，從而計(jì)算面積即可.

【簡(jiǎn)解】如圖6，在等腰直角△ABC中，易得AB=[502]，CD=[252]，則紙條的寬度為：[CD5]=[52]，因?yàn)閇EFAB]=[15]，又AB=[502]，則EF=[102].同理，GH=[202]，IJ=[302]，KL=[402]，所以紙條的總長(zhǎng)度為[1002]（cm），則圖畫所示正方形的邊長(zhǎng)為[10024]-[52]=[202]，所以面積為（[202]）2=800（cm2）.故答案為：800.

【說(shuō)明】此題考查了相似三角形的應(yīng)用，難點(diǎn)在于不僅要計(jì)算出紙條的長(zhǎng)度，還要計(jì)算出寬度，要仔細(xì)觀察圖形，尋找相似三角形，并利用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，來(lái)獲得等量關(guān)系，從而解決.

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市太湖格致中學(xué)）