挖掘問(wèn)題潛能，提高解題能力

王永明

【摘要】 從教材問(wèn)題入手，通過(guò)增刪條件、變換結(jié)論、逆向思維等手段對(duì)問(wèn)題進(jìn)行一系列的變式，不斷挖掘其潛能，在鍛煉學(xué)生思維的靈活性、開(kāi)放性和創(chuàng)造性的同時(shí)使學(xué)生體會(huì)到問(wèn)題與問(wèn)題的區(qū)別與聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，掌握解題的技巧.

【關(guān)鍵詞】 問(wèn)題;變式方式;解題能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)認(rèn)真鉆研典型問(wèn)題，挖掘其潛能，通過(guò)問(wèn)題的變式，增強(qiáng)問(wèn)題的輻射功能，真正做到舉一反三，觸類(lèi)旁通，從而提高學(xué)生解題能力.

一、問(wèn)題來(lái)源

當(dāng)k取什么值時(shí)，一元二次不等式2kx2+kx- 3 8 <0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立？（高中數(shù)學(xué)必修5第103頁(yè)A組第3題）

解 ?原題等價(jià)于二次函數(shù)y=2kx2+kx- 3 8 的圖像恒在x軸下方，則 2k<0，Δ=k2+3k<0， ?解得-3<k<0，

∴當(dāng)-3<k<0時(shí)，一元二次不等式2kx2+kx- 3 8 <0對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立.

二、問(wèn)題變式

（一）變式1：刪減條件

不等式2kx2+kx- 3 8 <0對(duì)x∈ R 恒成立，求k的取值范圍.

解 ?當(dāng)k=0時(shí)，原不等式可化為- 3 8 <0，恒成立，

∴k=0滿(mǎn)足題意.

當(dāng)k≠0時(shí)，原不等式為一元二次不等式，即原問(wèn)題，故有-3<k<0.

綜上：k的取值范圍為（-3，0].

評(píng)注：條件由“一元二次不等式”弱化為“不等式”，故需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)k加以分類(lèi)討論.

（二）變式2：增設(shè)條件

一元二次不等式2kx2+kx- 3 8 <0對(duì)滿(mǎn)足-2≤x≤2的所有x都成立，求k的取值范圍.

解 ?（1）當(dāng)k>0時(shí)，二次函數(shù)f（x）=2kx2+kx- 3 8 的圖像開(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸x=- 1 4 ∈[-2，2]，由圖1可知： f（-2）<0，f（2）<0 k< 3 80 ， ∴0<k< 3 80 .

（2）當(dāng)k<0時(shí)，二次函數(shù)f（x）=2kx2+kx- 3 8 的圖像開(kāi)口向下，且對(duì)稱(chēng)軸x=- 1 4 ∈[-2，2]，由圖2可知： f - 1 4? < 0k>-3，∴-3<k<0.

綜上：k的取值范圍為（-3，0）∪ 0， 3 80? .

評(píng)注：條件由“對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立”強(qiáng)化為“對(duì)滿(mǎn)足 -2≤ x≤2的所有x都成立”，借助二次函數(shù)的最值加以討論.

（三）變式3：變換結(jié)論

函數(shù)y=log 2 2kx2+kx- 3 8? 的值域?yàn)?R ，求k的取值范圍.

解 ?要使函數(shù)y=log 2 2kx2+kx- 3 8? 的值域?yàn)?R ，則真數(shù)2kx2+kx- 3 8 必須取遍一切正數(shù)，

令f（x）=2kx2+kx- 3 8 ，由圖3可知： 2k>0，Δ=k2+3k≥0 ?k>0，∴k的取值范圍為（0，+∞）.

評(píng)注：變換結(jié)論，讓學(xué)生明確問(wèn)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中常用的化歸思想.

（四）變式4：逆向思維

不等式2kx2+kx- 3 8 <0對(duì)滿(mǎn)足-2≤k≤2的所有k都成立，求x的取值范圍.

解 ?原不等式變形為（2x2+x）k- 3 8 <0.

令g（k）=（2x2+x）k- 3 8 ，則g（k）<0對(duì)滿(mǎn)足-2≤ k≤ 2的所有k都成立.

（1）當(dāng)2x2+x=0，即x=0或x=- 1 2 時(shí)，原不等式可化為- 3 8 <0，恒成立，∴x=0或x=- 1 2 滿(mǎn)足題意.

（2）當(dāng)2x2+x≠0，即x≠0且x≠- 1 2 時(shí)，g（k）為k的一次函數(shù)，由圖4可知： g（-2）=-4x2-2x- 3 8 <0，g（2）=4x2+2x- 3 8 <0-2- 10? 8 <x< -2+ 10? 8 ，

∴ -2- 10? 8 <x< -2+ 10? 8 ，且x≠0且x≠- 1 2 .

綜上：x的取值范圍為? -2- 10? 8 ， -2+ 10? 8? 和x=0或x=- 1 2 .

評(píng)注：?jiǎn)栴}的條件與結(jié)論相互變換，通過(guò)逆向思維，使用變更主元的方法，將原題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（k）的問(wèn)題，簡(jiǎn)化解題過(guò)程.