發(fā)展核心素養(yǎng) 導(dǎo)航數(shù)列教學(xué)

李靜

【摘要】 一個好的數(shù)學(xué)教學(xué)，教師需要理解數(shù)學(xué)的本質(zhì) [1] ，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，能發(fā)展數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，進而巧妙地切入，得心應(yīng)手地解決問題.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);數(shù)列

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中難度比較大的一部分內(nèi)容，學(xué)生在考試中失分較多，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解基礎(chǔ)知識，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的不斷提升，點亮解答數(shù)列問題的引航燈.

一、通過基本量的運算解決問題

任何時候，數(shù)學(xué)運算都是數(shù)學(xué)活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段.等差、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式都可以看成變量間的等量關(guān)系，在解決有關(guān)數(shù)列問題時，把已知信息按方程的思想進行運算處理是解數(shù)列問題的重要策略.

例1 ??等差數(shù)列{a n}的前n項和記為S n，已知a 4= - 1 3 ?，S 8=-4，求數(shù)列的通項公式和前n項和公式.

分析 ?欲求等差數(shù)列的通項a n，前n項和S n，關(guān)鍵是求出首項a 1與公差d這兩個基本量，將等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式視為關(guān)于a 1與d的方程，問題便迎刃而解.

解 ?設(shè)等差數(shù)列的首項為a 1，公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，有

a 4=a 1+3d=- 1 3 ，S 8=8a 1+ 8×7 2 d=-4. ?解得 d=- 1 3 ，a 1= 2 3 .

∴a n=a 1+（n-1）d= 2 3 +（n-1） - 1 3? ，

即a n=1- n 3 ，

∴S n=na 1+ n（n-1） 2 d= 2 3 n+ n（n-1） 2? - 1 3? ，

∴S n=- 1 6 n2+ 5 6 n.

評析 ?與等差（比）數(shù)列有關(guān)的量有a 1，d（q），n，a n，S n五個.因等差（比）數(shù)列的通項公式及求和公式實際上給出了關(guān)于這五個量的兩組獨立條件，所以如果已知這五個量中的三個，或已知關(guān)于這五個量的另外三組獨立條件，都可以利用解方程（組）的思想確定其他的量.

例2 ??有四個數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，首末兩數(shù)的和為37，中間兩數(shù)的和為36，求這四個數(shù).

分析 ?已知條件給出了所要求的四個數(shù)的等量關(guān)系，可利用方程組求解.

解法1 ?由前兩個條件，設(shè)所要求的四個數(shù)分別為a-d，a，a+d， （a+d）2 a .根據(jù)后兩個條件可得方程組：

（a-d）+ （a+d）2 a =37，a+（a+d）=36. ?解得 a=16，d=4， ?或 a= 81 4 ，d=- 9 2 .

所以所求的四個數(shù)分別為12，16，20，25或 99 4 ， 81 4 ， 63 4 ， 49 4 .

解法2 ?由前兩個條件，設(shè)所要求的四個數(shù)分別為 ?2a q - a， a q ，a，aq.根據(jù)后兩個條件可得方程組：

2a q -a+aq=37， a q +a=36. ?解得 a=20，q= 5 4 ， ?或 a= 63 4 ，q= 7 9 .

所以所求的四個數(shù)分別為12，16，20，25或 99 4 ， 81 4 ， 63 4 ， 49 4 .

評析 ?此題可設(shè)所求四個數(shù)分別為x，y，z，t，根據(jù)四個條件列方程，但求解方程較難.上述兩種解法是利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律巧設(shè)未知數(shù)，可見仔細分析題設(shè)條件中量與量的關(guān)系，以確定“運用哪些條件來設(shè)未知數(shù)，運用哪些條件來列方程”是解決這類問題的關(guān)鍵所在.

二、通過建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題

現(xiàn)實生活中，很多問題都有數(shù)列的背景，如銀行儲蓄本息的計算，養(yǎng)老金的繳納與享用問題，而從某種意義上講，數(shù)列問題是遞推關(guān)系的表現(xiàn)形式，故探求、構(gòu)造和運用所給問題中的邏輯遞推關(guān)系會成為解決一些問題的關(guān)鍵.

例3 ??容器中有濃度為m % 的溶液a升，現(xiàn)從中倒出b升后用水加滿，再倒出b升后用水加滿，這樣進行10次后溶液的濃度是多少？

分析 ?由題意，每一次操作后溶液的濃度組成一個數(shù)列{a n}，且容易找出前后兩次操作的遞推關(guān)系a ?n+1 = a n 1- b a? ?，利用數(shù)列知識不難解決上述問題.

解 ?設(shè)每一次操作后溶液的濃度組成一個數(shù)列{a n}，容易計算每次操作后濃度減少了 b a ，則第一次操作后濃度為a 1= 1- b a? ·m % ，且a ?n+1 =a n 1- b a? n·m % ，

所以數(shù)列{a n}是首項為a 1= 1- b a? ·m % ，公比為 q= 1- b a 的等比數(shù)列，

即a ?10 = 1- b a? ?10 ·m % ，

故進行10次后溶液的濃度是a ?10 = 1- b a? ?10 ·m % .

評析 ?等差、等比數(shù)列的定義就是根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系給出的，選擇和應(yīng)用恰當?shù)暮瘮?shù)模型建立數(shù)列的遞推關(guān)系，并設(shè)法將問題轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列問題是解決數(shù)列應(yīng)用問題的重要方法.

只有不斷感悟數(shù)學(xué)思想，積累思維的經(jīng)驗，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，才能提高數(shù)列教學(xué)的有效性.數(shù)學(xué)教師應(yīng)當謹記：促使學(xué)生能從數(shù)學(xué)的視角提出問題，用數(shù)學(xué)的思想分析問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，這才是好的數(shù)學(xué)教育. [2]

【參考文獻】

[1][2]史寧中.數(shù)學(xué)基本思想18講[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.