類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)思維飛翔的翅膀

潘潔

作為一名高中數(shù)學(xué)教師，經(jīng)常面臨學(xué)生發(fā)出如此感嘆：當(dāng)看了試題的參考答案后覺得特別簡(jiǎn)單，就是自己在做題時(shí)沒想到.其實(shí)高中數(shù)學(xué)教材里，很多章節(jié)幾乎都包含一些類似的單元，它們并列分布在教材里，構(gòu)成橫向相似的知識(shí)系列.它們的概念、定義的邏輯形式相似，展開內(nèi)容的層次結(jié)構(gòu)相似，開拓性質(zhì)的方法相似，知識(shí)的延續(xù)、深化、應(yīng)用相似……人類的思維能夠在外界信息進(jìn)入大腦以后自動(dòng)去整合、接通、激活這些已存在的相似塊中的信息，從而使這些相似塊之間互相聯(lián)系、作用、滲透和組合.因此，利用這一特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，可以激發(fā)學(xué)生類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化，開展積極主動(dòng)的思維活動(dòng).

在高中數(shù)學(xué)解題過程中，我們通常從哪些方面入手來進(jìn)行有效的類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化呢？

一、從觀察題目的結(jié)構(gòu)形式入手

從題目的結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過觀察、類比產(chǎn)生合理的聯(lián)想，進(jìn)一步通過所學(xué)的知識(shí)去發(fā)展、轉(zhuǎn)化式子的原有結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)解題的目標(biāo).

例1 ??若a2+b2=1，c2+d2=4，則ac+bd的最大值 .

分析 ?如果此題采用重要不等式來證明：

ac+bd≤ a2+c2+b2+d2 2 = 5 2 .

當(dāng)且僅當(dāng) a=c，b=d，a2+b2=1，c2+d2=4 ?時(shí)，等號(hào)才會(huì)成立.

顯然，等號(hào)成立的條件不存在.那么我們可以再?gòu)哪膫€(gè)角度入手來思考問題呢？

分析 ?由ac+bd的結(jié)構(gòu)特征我們可以聯(lián)想到向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式 m · n =x 1x 2+y 1y 2.

解析 ?設(shè) m =（a，b）， n =（c，d，）則有| m |=1，| n |=2，故 m · n =ac+bd.

又 m · n =1×2×cos〈 m ， n 〉∈[-2，2]，所以ac+bd的最大值是2.

例2 ??已知點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足? 3 x-y<0，x- 3 y+2<0，y≥0， ?則? 3 x+y? x2+y2? 的取值范圍為 .

分析 ?由 x2+y2 的幾何意義易于聯(lián)想到| OP ?|， 3 x+y可以看成兩向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，其中 OP ?=（x，y）， OQ ?=（ 3 ，1），則有cos〈 OP ?， OQ ?〉=? 3 x+y 2 x2+y2? .

解析 ?由上面的分析可知，

3 x+y? x2+y2? =2cos〈 OP ?， OQ ?〉，由圖易知〈 OP ?， OQ ?〉∈? π 6 ， 5π 6? ，

故cos〈 OP ?， OQ ?〉∈ -? 3? 2 ，? 3? 2? .

綜上? 3 x+y? x2+y2? ?的取值范圍為[- 3 ， 3 ）.

數(shù)學(xué)中的聯(lián)系是客觀的，但結(jié)構(gòu)卻可以是人為的.可以從解題的需要從不同角度來揭示數(shù)學(xué)題的結(jié)構(gòu).這種結(jié)構(gòu)的特征性、差異性、層次性使我們可以從不同的角度運(yùn)用不同的方法去解決同一個(gè)數(shù)學(xué)問題.

二、借助于解題過程或條件中一些片段的類比，聯(lián)想到相應(yīng)的解題技巧

有很多數(shù)學(xué)問題的解決需要靈感，而靈感的獲得不是憑空產(chǎn)生的，來源于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和解決某些題目的思路、方法、技巧的積累.

例3 ??已知定義在（0，1）上的函數(shù)f（x），對(duì)任意的m， n∈ （1，+∞）且m

A.f? 1 2

B.f? 1 3

C.f? 1 4

D.f? 1 5

分析 ?由此式f? 1 m? -f? 1 n? =f? m-n 1-mn? 聯(lián)想到數(shù)列中的“裂項(xiàng)相消法”.

解析 ?根據(jù)f? 1 m? -f? 1 n? =f? m-n 1-mn? ，得a n= f? 1 n2+5n+5? =f? 1 n+2? - f? 1 n+3? ，再用裂項(xiàng)相消法求“ a 1+ a 2+…a 8”.

解 ?f? 1 m? -f? 1 n? =f? m-n 1-mn? ，a n=f? 1 n2+5n+5? = f? 1 n+2? - f? 1 n+3? ，

∴a 1+a 2+…+a 8=f? 1 3? -f? 1 4? +f? 1 4? -f? 1 5? +…+f? 1 10? -f? 1 11? =f? 1 3? -f? 1 11? =f? 1 4? .故選C.

根據(jù)題目中的式子，類似的已知條件或求解過程與平時(shí)學(xué)過的定理、公式、方法、技巧有機(jī)結(jié)合，通過合理的構(gòu)造轉(zhuǎn)化可迅速尋找到問題的突破口，從而解決問題.

總之，類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)具有至關(guān)重要的作用.它可以通過與已知問題的相似性提出預(yù)設(shè)，并將已知問題的特征和方法靈活運(yùn)用到別的數(shù)學(xué)問題上.正如著名數(shù)學(xué)家波利亞所說：“沒有這些思路，特別是沒有類比與聯(lián)想，可能初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)就不會(huì)有發(fā)現(xiàn).”這也充分說明了類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化在解決數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)學(xué)科研究領(lǐng)域中的重要地位.有了它們，可以充分激發(fā)出數(shù)學(xué)靈感，幫助學(xué)生尋找到解決問題的契機(jī)，使解決問題的整個(gè)過程自然流暢、水到渠成.因此，我們說類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)思維飛翔的翅膀.