高中函數(shù)最值問(wèn)題的幾種求解方法

張雪

【摘要】 高中函數(shù)的最值問(wèn)題，一直都是高中數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，不僅是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，同時(shí)也是高考重要的考點(diǎn).但是因?yàn)樽钪祮?wèn)題涉及的范圍比較廣，解題方法也比較靈活多變，因此，要求學(xué)生一定要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)功和良好的數(shù)學(xué)思維能力.本文主要對(duì)函數(shù)最值問(wèn)題的解題方法進(jìn)行探討和總結(jié).

【關(guān)鍵詞】 高中;函數(shù);最值;求解方法

一、定義法

利用定義求解函數(shù)最值的問(wèn)題時(shí)，其中重要的一點(diǎn)就是要把握好定義的內(nèi)涵，然后準(zhǔn)確地加以運(yùn)用，需要特別注意的是函數(shù)一定有值域，但是不一定有最值.

例1 ??設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?R ，下列命題中對(duì)的是：

（1）如果存在一個(gè)常數(shù)p，使得對(duì)任意x∈ R ，有f（x）≥p，那么p是函數(shù)f（x）的最小值;（2）如果存在x o∈ R ，使得對(duì)任意的x∈ R ，有f（x）≥f（x o），則f（x o）是函數(shù)f（x）的最小值.

解 ?由函數(shù)的最小值定義可知，（1）是假命題：條件雖然滿足了最小值定義中的任意性，但是不滿足存在性，所以錯(cuò)誤.（2）正確

二、配方法

配方法是求二次函數(shù)最值的一個(gè)基本方法，例如， F（x）= af2（x）+bf（x）+c函數(shù)的最值問(wèn)題，可以用配方法解決，但是要注意自變量的取值范圍和對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系.

例2 ??已知函數(shù)f（x）=x2+8x+4，求其最值.

解 ?原式=（x+4）2-16+4=（x+4）2-12，

對(duì)稱軸是直線x=-4，開(kāi)口向上，頂點(diǎn)（-4，-12）.當(dāng)x=-4時(shí)，函數(shù)有最小值-12.

三、換元法

換元法的主旨就是通過(guò)引入一個(gè)或者幾個(gè)新的變量，替換掉原來(lái)的某些變量或代數(shù)式，使問(wèn)題更易于解決的一種方法.

例3 ??求函數(shù)y=x+ 1-2x 的最值.

解 ?設(shè)t= 1-2x （t≥0），則由原式得y=- 1 2 （t-1）2+1≤1.

當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即x=0時(shí)取等號(hào).故函數(shù)的最大值為1，無(wú)最小值.

四、不等式法

求解函數(shù)最值，還有一種比較常用的方法，就是不等式法.這種方法主要是通過(guò)利用均值不等式以及其變形公式來(lái)解決函數(shù)的最值問(wèn)題.常用的基本不等式為：a2+b2≥2ab（a，b為實(shí)數(shù)）; a+b 2 ≥ ab （a≥0，b≥0）;? a+b 2? 2≤ a2+b2 2 （a，b為實(shí)數(shù)）.

例4 ??設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，x-2y+3z=0，求 y2 xz 的最小值.

解 ?因?yàn)閤-2y+3z=0，所以y= x+3z 2 ，

所以 y2 xz = x2+9z2+6xz 4xz .

又x，z為正實(shí)數(shù)，所以由基本不等式得 y2 xz ≥ 6zx+6xz 4xz =3，當(dāng)且僅當(dāng)x=3z時(shí)取等號(hào).故 y2 xz 的最小值為3.

五、函數(shù)單調(diào)性法

函數(shù)單調(diào)性法是通過(guò)確定已知函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，依據(jù)其單調(diào)性求函數(shù)的最大值或最小值.

例5 ??設(shè)a>1，函數(shù)f（x）=log ax在區(qū)間[a，2a]上的最小值與最大值之差為 1 2 ，求a的值.

解 ?因?yàn)閍>1，則函數(shù)f（x）=log ax在區(qū)間[a，2a]上是增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值分別是log a2a，log aa=1.又因?yàn)樗鼈兊牟顬?1 2 ，所以a=4.

六、導(dǎo)數(shù)法

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則f（x）在[a，b]上的最大值和最小值應(yīng)為f（x）在（a，b）內(nèi)的各極值與f（a），f（b）中的最大值和最小值.

例6 ??函數(shù)f（x）=x3-3x+2在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是多少？

解 ?f′（x）=3x2-3，令f′（x）=0，得x=-1.

又f（-3）=-16，f（-1）=4，f（0）=2.通過(guò)比較得 f（x） 的最大值為4，最小值為-16.

七、判別式法

判別式法指的是把函數(shù)轉(zhuǎn)化成x的二次方程F（x，y）=0，然后通過(guò)方程有實(shí)根，判別式Δ≥0，從而得到函數(shù)最值.判別式法多用于求形如y= ax2+bx+c dx2+ex+f （a，b不同時(shí)為0）的分式函數(shù)的最值.

例7 ??求函數(shù)y= x2-3x+4 x2+3x+4 的最大值和最小值分別是多少.

解 ?因?yàn)閤2+3x+4=0的判別式Δ 1=32-4×1×4=-7<0，所以x2+3x+4>0對(duì)一切x∈ R 均成立.所以函數(shù)的定義域?yàn)?R .

所以函數(shù)表達(dá)式可化為（y-1）x2+（3y+3）x+4y-4=0.

當(dāng)y=1時(shí)，x=0;

當(dāng)y≠1時(shí)，由x∈ R ，上面的一元二次方程必有實(shí)根，

所以Δ=（3y+3）2-4（y-1）（4y-4）≥0，

解得 1 7 ≤y≤7（y≠1）.

綜上，函數(shù)的最大值為7，最小值為 1 7 .

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