概念圖與小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)

洪偉 程小紅

【摘要】 概念圖是一種實現(xiàn)知識可視化的工具，主要由概念和概念間的關(guān)系構(gòu)成，基本構(gòu)成單元是命題，具有清晰的層級結(jié)構(gòu).在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中引入概念圖可以較好地提升學(xué)習(xí)效果，其作用主要包括三個方面：幫助建構(gòu)概念體系;實現(xiàn)陳述性知識向程序性知識的轉(zhuǎn)化;突出知識本質(zhì)，實現(xiàn)不同知識之間的關(guān)聯(lián).

【關(guān)鍵詞】 概念圖;小學(xué)數(shù)學(xué);概念教學(xué)

概念圖一詞是由英文“concept map”翻譯而來，其創(chuàng)始人是美國教育心理學(xué)家諾瓦克（Joseph D.Novak）教授.諾瓦克在其專著《學(xué)會學(xué)習(xí)》中指出概念圖是指用命題的形式來表征不同概念間的有意義聯(lián)系（的工具）;命題是指在一個語義單元中由連接詞連接起來的兩個或兩個以上的概念名稱;概念是指用于表示事物規(guī)律的名稱.

由定義可以看出概念圖在表現(xiàn)形式上具有如下特點：

首先，其構(gòu)成要素是概念和概念間的關(guān)系，表示概念的詞放在方框或圓圈中并位于頂點的位置，相關(guān)的概念間用短線交叉連接，根據(jù)需要在交叉連接上標(biāo)注是什么樣的關(guān)系.例如，三角形按最大內(nèi)角可分為鈍角三角形、直角三角 形和銳角三角形，這句話可以用圖1所示的概念圖來表示：

其次，概念圖的 基本構(gòu)成單元是命題，如圖1所示三角形、鈍角三角形以及二者之間的交叉連接就構(gòu)成了一個命題，含義是三角形包含鈍角三角形或鈍角三角形包含于三角 形.

第三，概念圖具有清晰的層級結(jié)構(gòu).繪圖時一般將上位概念寫在圖形的上方，如圖1中的“三角形”;下位概念或從屬概念放在圖形的下方，如圖1中的“鈍角三角形”等;交叉連接表示兩個概念間存在的某種關(guān)系.

從這些表現(xiàn)形式上的特點可以看出概念圖實質(zhì)上就是將文字信息解構(gòu)成了概念和概念間的關(guān)系這兩種要素，并將它們按一定的規(guī)范繪制在圖形中.因此，也可以將概念圖的本質(zhì)歸納為一種實現(xiàn)知識可視化的工具.知識可視化是指應(yīng)用視覺表征手段將人們的個體知識表示出來，形成能夠直接作用于人的感官的知識外在表現(xiàn)形式（顯性的物理知識制品），從而促進(jìn)知識的傳播和創(chuàng)新.正是基于這一本質(zhì)，概念圖被開發(fā)出多種洐生功能，正在被越來越廣泛地運(yùn)用于多種學(xué)科領(lǐng)域，發(fā)揮著越來越重要的作用.

概念學(xué)習(xí)是概念圖研究最早、應(yīng)用最廣泛的領(lǐng)域.實踐發(fā)現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中引入概念圖可以明顯提升教學(xué)效果.小學(xué)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)通常包括學(xué)習(xí)概念的名稱、定義、特征、內(nèi)涵與外延、例證、運(yùn)用等內(nèi)容.概念圖在其中發(fā)揮的作用可歸納為以下三個方面.

一、概念圖與概念體系建構(gòu)

概念圖表現(xiàn)為清晰的層級結(jié)構(gòu)，在幫助學(xué)習(xí)者理整建構(gòu)概念體系上具有極大優(yōu)勢.從靜態(tài)來看，由于概念圖具有高度的抽象性和概括性，通常一張圖可以同時容納概念包含的所有要點內(nèi)容.同時層級結(jié)構(gòu)中除了文字，還包括位置、形狀、交叉連接等象元信息，即使非常復(fù)雜的概念間關(guān)系也可以在圖中表現(xiàn)得非常直觀、一目了然.

從動態(tài)來看，學(xué)習(xí)者每學(xué)習(xí)一個新的概念，都需要思考它的內(nèi)涵和外延是什么、與已學(xué)知識有什么聯(lián)系、應(yīng)當(dāng)放在圖中的什么位置、與哪些概念有關(guān)、是什么樣的關(guān)系等.完成了對這些問題的思考，繪制完概念圖，對該概念的有意義學(xué)習(xí)也就發(fā)生了.隨著學(xué)習(xí)的逐步深入，學(xué)習(xí)者不斷充實和擴(kuò)展概念圖，建構(gòu)自己的知識體系.不論是上位學(xué)習(xí)、下位學(xué)習(xí)還是組合學(xué)習(xí)都可以在圖中得到很好的體現(xiàn).

繪制概念圖通常包括初建、調(diào)整、重建三種方式.仍以三角形的學(xué)習(xí)為例，剛認(rèn)識三角形時可能繪制的概念圖（如圖2所示），圖中體現(xiàn)了三角形的三個構(gòu)成要素，這一過程就是初建.學(xué)到三角形按角如何分類時會再繪制一個概念圖（如圖1所示），這時并不強(qiáng)調(diào)它的分類標(biāo)準(zhǔn)，因此，概念間關(guān)系寫的是比較簡略的“包含”.繼續(xù)學(xué)習(xí)了解到還可以根據(jù)邊來分類時圖形就可以調(diào)整為如圖3所示，圖中加注了分類標(biāo)準(zhǔn).由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此，它在圖中的位置是在等腰三角形的下一個層級.當(dāng)整個單元的內(nèi)容學(xué)完，就可能擴(kuò)展成如圖4、圖2以及其他若干個小概念圖都經(jīng)過再調(diào)整成了其中的一部分，嵌入在了合適的層級位置上，這一過程便是重建.

可以看出不斷更新的概念圖成為了概念樁，將諸多原本零散的知識收納到一個圖形中，逐步建構(gòu)明晰的概念體系，利于理清關(guān)系、幫助記憶、加深理解，從而提升學(xué)習(xí)效果.

二、陳述性知識向程序性知識的轉(zhuǎn)化

學(xué)生學(xué)習(xí)概念時通常接觸到的都是言語描述的陳述性知識.從知識學(xué)習(xí)到實踐運(yùn)用的轉(zhuǎn)化路徑通常包括：吸收陳述性知識、轉(zhuǎn)化為程序性知識、執(zhí)行程序、解決問題.陳述性知識是指形如“是什么”的知識;程序性知識是關(guān)于“怎么做”的知識;解決的問題包括判斷一個例證是否屬于這一概念等.這一路徑中的關(guān)鍵就是如何將陳述性知識轉(zhuǎn)化為程序性知識.常規(guī)教學(xué)中教師甚至學(xué)生本人都很難發(fā)現(xiàn)這一過程是否已經(jīng)順利完成.概念圖可以很好地促成和幫助學(xué)生完成轉(zhuǎn)化，教師也可借之評測學(xué)生的轉(zhuǎn)化狀況.

以質(zhì)數(shù)與合數(shù)的學(xué)習(xí)為例，人教版教材中對兩者的定義是“一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）.”“一個數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫作合數(shù).”“1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù).”

定義回答了什么是質(zhì)數(shù)、什么是合數(shù)的問題，但在實際運(yùn)用中往往面對的問題是如何判斷一個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù).可以運(yùn)用概念圖將定義轉(zhuǎn)化成如圖5所示的判斷程序.

從圖中可以看出對質(zhì)數(shù)合數(shù)的分類依據(jù)在于因數(shù)個數(shù)的不同.分類討論是 重要的數(shù)學(xué)思想和問題解決策略，圖中做了一個直觀的展示.同時，還可以將之前所學(xué)的另一種數(shù)的分類——奇數(shù)和偶數(shù)融合進(jìn)圖中，進(jìn)行對比分析與關(guān)聯(lián)思考.

另外，適度抽象化的圖形可以幫助學(xué)生更好地集中精力在關(guān)鍵信息上，引導(dǎo)學(xué)有余力者進(jìn)行批判性思考，例如，為什么是對非0自然數(shù)進(jìn)行分類？那0是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，為什么？質(zhì)數(shù)的個數(shù)是不是有限的？為什么不能把因數(shù)個數(shù)是1個和2個的統(tǒng)歸成質(zhì)數(shù)？質(zhì)數(shù)與合數(shù)的個數(shù)誰多誰少？……

學(xué)習(xí)定義、性質(zhì)等陳述性知識時，可以用概念圖即時地轉(zhuǎn)化成程序性知識，并在圖中理解程序、練習(xí)程序，綜合運(yùn)用與解決問題時執(zhí)行程序、感悟程序，以達(dá)到高效學(xué)習(xí)的目的.

三、突出本質(zhì)、實現(xiàn)關(guān)聯(lián)

概念間的聯(lián)系可能直接表現(xiàn)為圖中的交叉連接，也可能通過形狀等其他信息傳遞出來;可能存在于同一個概念圖中，也可能存在于幾個相關(guān)聯(lián)的概念圖之間.

以長度單位的學(xué)習(xí)為例，不同的長度單位間換算具有不同的倍率.多個版本的教材中對這一內(nèi)容的表達(dá)都用的是類似如下所示的公式組合.

1千米=1000米

1米=10分米

1分米=10厘米

1厘米=10毫米

這些公式在實際應(yīng)用中可以衍生出如下所示更多的公式：

1千米=10000分米

1米=100厘米

1分米=100毫米

1千米=100000厘米

1米=1000毫米

1千米=1000000毫米

當(dāng)然在解決諸如“23千米=（? ）厘米”這樣的問題時，學(xué)生也有可能不會記憶相應(yīng)的公式，而是先將其換算成“23千米=23000米”，再繼續(xù)添零換算成“23千米=23000米=2300000厘米”.無論哪種方式都少不了在頭腦中進(jìn)行類似這樣一種思維活動：將單位按順序一字排開，思考問題中兩個單位之間相差多少個間隔、這些間隔代表多少倍率，組合得出答案.

將這一思維過程可視化在概念圖中就如圖6所示，各單位按大小左右排列，連接線的長度不同表示不同的倍率：

看到這樣的圖形，很容易讓人想到位數(shù)表，不同的只是將十位和百位省略了，各長度單位可以與位數(shù)表中其他位數(shù)一一對應(yīng)，如圖7所示：

兩個知識點雖然被表示在不同的概念圖中，但由于兩圖形狀高度相似，很容易激發(fā)人們的聯(lián)想.實際上兩者之間確有關(guān)聯(lián)，在本質(zhì)上都屬于進(jìn)位制，只是用于表示單位的符號不同，分別是長度單位名稱和數(shù)字所在的位置.同位值制中的位置一樣，不同的單位名稱表示長度上不同的倍率.其實漢語詞典中對于分米中“分”字的解釋就是“十分之一”，也就是十分位所在的倍率.同樣厘、毫這兩個字的釋義也分別是“百分之一”和“千分之一”.它們在意思上與位數(shù)表也是對應(yīng)統(tǒng)一的.

可以將概念圖的這一類作用稱之為“突出本質(zhì)、實現(xiàn)關(guān)聯(lián)”.這里的本質(zhì)既可以指蘊(yùn)含在不同知識點中共同的規(guī)律，也可以指它們在數(shù)學(xué)思想或方法論上的統(tǒng)一.教學(xué)中教師可以引導(dǎo)學(xué)生以概念圖為突破口進(jìn)行更多類似的探索和研究活動.

以上三點作用都是旨在促進(jìn)學(xué)生對概念以及概念之間的聯(lián)系進(jìn)行更深入的關(guān)聯(lián)性思考，形成更深層次的理解，促進(jìn)發(fā)生更高水平的有意義學(xué)習(xí).概念學(xué)習(xí)是整個小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，可以預(yù)見引入概念圖對改善小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的作用必然是巨大的.