基于量子衍生的遙感圖像邊緣檢測方法

柯余仙，畢思文

(中國科學(xué)院遙感與數(shù)字地球研究所，北京 100101)

0 引言

一副圖像的邊緣包含了圖像的大部分信息，在實(shí)際應(yīng)用中尤其是遙感圖像，其邊緣的提取，對(duì)后續(xù)的圖像分割、特征提取和目標(biāo)地物識(shí)別等起到了至關(guān)重要的作用。經(jīng)典的邊緣提取算法有Prewitt算子、Sobel算子和Canny算子等，Prewitt算子和Sobel算子是基于領(lǐng)域間隔為2的差分運(yùn)算[1]，忽略了中心像素自身的灰度值，邊緣檢測效果不太理想。Canny算子[2]仍然是現(xiàn)在應(yīng)用最廣泛的邊緣檢測算子，雖然其檢測精度和抗噪性能要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于Prewitt算子和Sobel算子，但需要人工干預(yù)，選取最佳閾值，實(shí)時(shí)性較差。近些年來，基于這些經(jīng)典的邊緣檢測方法，也有許多學(xué)者提出了新的算法，如數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)邊緣檢測算法[3]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)邊緣檢測算法[4]、人工魚群算法[5]和遺傳算法[6]等。

量子衍生思想是受人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法等自然規(guī)律衍生出來的算法的啟發(fā)，然后利用量子力學(xué)的概念、原理以及公理化數(shù)學(xué)體系改進(jìn)已有的算法或者開發(fā)新算法，應(yīng)用在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上[7]。2007年，謝可夫等人[8]基于量子力學(xué)、量子信息等理論與概念，提出了量子衍生形態(tài)學(xué)邊緣檢測，該方法具有檢測噪聲污染圖像的優(yōu)點(diǎn)，但不如普通圖像邊緣檢測優(yōu)越。2016年，S.Abdel-Khalek[9]等人提出基于量子熵的圖像邊緣檢測算法，通過計(jì)算圖像的量子熵，來確定圖像分割閾值，提取圖像邊緣。

2001年初，遙感地球所畢思文院士首次提出了量子遙感[10]的概念，經(jīng)過17年多的研究，創(chuàng)建了量子遙感理論與技術(shù)體系框架[11]。在此基礎(chǔ)上，畢思文院士帶領(lǐng)其團(tuán)隊(duì)在2014年提出了量子遙感圖像處理的概念，實(shí)現(xiàn)了量子遙感圖像去噪、量子遙感圖像增強(qiáng)和量子遙感圖像分割等量子遙感圖像處理技術(shù)[12]。本文借鑒量子疊加態(tài)的三量子位態(tài)矢正反跳變特性，并結(jié)合邊緣的多方向性，構(gòu)造出3×3的12方向模板邊緣檢測算子對(duì)遙感圖像進(jìn)行邊緣提取，進(jìn)一步完善了量子遙感圖像處理體系。

1 量子理論

1.1 量子比特

比特是經(jīng)典計(jì)算機(jī)的基本儲(chǔ)存單位，其狀態(tài)處于0或1。經(jīng)典計(jì)算機(jī)的一比特等價(jià)于量子物體的2種不同的組態(tài)或狀態(tài)，稱為量子比特[13]。與經(jīng)典比特不同的是，由于量子疊加態(tài)的原理，一個(gè)量子系統(tǒng)可以同時(shí)處于|0>和|1>之間，即

|φ>=a|0>+b|1>，

(1)

式中，a和b是復(fù)系數(shù)，分別表示出現(xiàn)0態(tài)矢和1態(tài)矢的概率，若|0>和|1>是相互正交的，則a和b滿足歸一化條件，即

a2+b2=1。

(2)

一個(gè)系統(tǒng)|φ>由n個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成，子系統(tǒng)的狀態(tài)為{φ1，φ2，φ3，......，φn}，根據(jù)量子力學(xué)的第四假設(shè)[14]，該復(fù)合系統(tǒng)的狀態(tài)為：

|φ>= |φ1>?|φ2>?|φ3>?......?|φn>=

(3)

1.2 量子Hadamard變換

根據(jù)量子力學(xué)的第三和第四假設(shè)[14]，利用單比特量子門Hadamard(簡記為H)作用于式(1)，得

H|φ>=H(a|0>+b|1>)=

(4)

式中，

(5)

2 灰度圖像的量子比特表示與像素的疊加態(tài)關(guān)聯(lián)

2.1 經(jīng)典圖像的量子比特表示

設(shè)f(m，n)為一副數(shù)字圖像，(m，n)∈z2。f(m，n)是歸一化處理后的圖像，其像素值大小范圍為[0，1]，f(m，n)表示圖像在(m，n)處的灰度值。根據(jù)式(1)以及文獻(xiàn)[15-16]，可以將灰度圖像表示為量子比特的形式：

(6)

這里，|0>和|1>分別對(duì)應(yīng)著經(jīng)典圖像的黑點(diǎn)與白點(diǎn)，即二值化圖像的像素值取“0”或“1”。1-f(m，n)表示在位置(m，n)處圖像的像素值取0的概率，f(m，n)表示在位置(m，n)處圖像的像素值取1的概率，顯然它們滿足歸一化條件。

2.2 圖像像素的疊加態(tài)關(guān)聯(lián)分解

在3×3窗口中，設(shè)中間像素(m，n)的值為fm，n，鄰近像素值為fi，j，m-1≤i≤m+1，n-1≤j≤n+1，如圖1所示。

fm-1,n-1fm-1,nfm-1,n+1fm,n-1fm,nfm,n+1fm+1,n-1fm+1,n-1fm+1,n+1

圖13×3像素關(guān)聯(lián)

以水平方向?yàn)槔?，按照?3)，可得如下三量子位的復(fù)合系統(tǒng)：

|fm，n-1fm，nfm，n+1>= |fm，n-1>?|fm，n>?|fm，n+1>=

(7)

圖2 lena分解子圖

3 量子衍生邊緣檢測算法

常見的經(jīng)典邊緣檢測算子有一階微分算子Prewitt，Sobel，Robert；二階微分算子LOG，Canny。Canny算子的構(gòu)成基本分為4步[17]：先用高斯濾波器平滑圖像；再用一階偏導(dǎo)的有限差分來計(jì)算梯度的幅值和方向；接著用非極大值抑制的方法增強(qiáng)梯度圖像；最后設(shè)置高低閾值來檢測和連接邊緣。在量子理論的基礎(chǔ)上，受Canny算子的啟發(fā)，本文研究了基于量子衍生的邊緣檢測算子，具體步驟如圖3所示。

圖3 量子衍生邊緣檢測流程

3.1 量子衍生中值濾波

利用式(4)和式(5)對(duì)式(6)進(jìn)行量子Hadamard門操作，得

(8)

根據(jù)量子系統(tǒng)的測量和坍縮原理[18]，若對(duì)圖像中某點(diǎn)經(jīng)過Hadamard變換后的新態(tài)矢H|fm，n>進(jìn)行測量，則得到|0>的概率為：

(9)

由式(9)可以看出，當(dāng)圖像中該點(diǎn)為黑點(diǎn)或者白點(diǎn)(即“0”或“1”)時(shí)，此式的等號(hào)才能成立。在0和1之間的任何一個(gè)數(shù)值都會(huì)使此式的值大于0.5。而噪聲中典型的椒鹽噪聲正好符合這一特性，可以利用此式并結(jié)合條件中值濾波[19]去除遙感圖像中的椒鹽噪聲。

3.2 量子衍生邊緣檢測算子的構(gòu)成

分析圖2中的各個(gè)子圖可以看出，態(tài)矢|110>，|011>，|100>和|001>對(duì)應(yīng)的4幅子圖圖2(d)、圖2(h)、圖2(g)和圖2(e)存在著灰度邊緣的變化，并且在態(tài)矢|110>和|100>中，對(duì)于中間的量子位來說發(fā)生了跳變情況，由圖像的量子比特定義可知，此現(xiàn)象正好對(duì)應(yīng)灰度圖像3個(gè)相鄰像素中，中間像素值發(fā)生了跳變。由此，是定義|110>和|100>兩個(gè)態(tài)矢表示圖像灰度值的反跳變，|011>和|001>兩個(gè)態(tài)矢表示圖像灰度值的正跳變。在此，將構(gòu)成提跳變的2個(gè)量子位進(jìn)行取反操作，則得到對(duì)應(yīng)態(tài)矢的反態(tài)矢，如態(tài)矢|110>的反態(tài)矢是|101>，它們的概率差正好反映了該處發(fā)生灰度跳變的可能性大小，即是圖像邊緣的可能性大小。水平方向的4個(gè)態(tài)矢正反跳變的概率分別為：

正跳變：

|w011|2-|w101|2=(fm，n-fm，n-1)*fm，n+1，

|w001|2-|w010|2=(fm，n+1-fm，n)*(1-fm，n-1)。

(10)

負(fù)跳變：

|w110|2-|w101|2=(fm，n-fm，n+1)*fm，n-1，

|w100|2-|w010|2=(fm，n-1-fm，n)*(1-fm，n+1)。

(11)

為了得到更加精確的邊緣檢測模型，本文提出用2個(gè)正態(tài)矢或者2個(gè)反態(tài)矢的算術(shù)平均值作為灰度的跳變概率，即

(12)

(13)

(14)

(15)

其他方向上的算子由此類推。6個(gè)方向，一共12組算子，其中6個(gè)水平模板構(gòu)成了水平方向上的邊緣檢測算子，6個(gè)垂直模板構(gòu)成了垂直方向上的邊緣檢測算子。本文提出，在水平方向上分別取正負(fù)2個(gè)方向算子的平均值的最大值作為水平檢測分量Gx，在垂直方向上分別取正負(fù)2個(gè)方向算子的平均值的最大值作為垂直檢測分量Gy，即

(16)

(17)

最后，取水平檢測分量與垂直檢測分量的梯度絕對(duì)值之和作為最終的邊緣檢測結(jié)果，即

G(m，n)=|GX|+|Gy|。

(18)

3.3 邊緣二值化提取

本文采用單一閾值，并根據(jù)Canny算法的非極大值抑制思想對(duì)3.2節(jié)得到的灰度邊緣圖G進(jìn)行二值化提取，得到二值化邊緣圖E，具體算法步驟如下：

① 單一閾值為邊緣梯度圖像的均值，即t=mean(G(：))；

② 對(duì)邊緣梯度圖G進(jìn)行非極大值抑制二值化，若

(G(m，n)>t)&&{[(Gx(m，n)>Gy(m，n))&&(G(m，n)>

G(m，n-1)&&(G(m，n)>G(m，n+1)]

||[(Gy(m，n)>Gx(m，n))&&(G(m，n)>

G(m-1，n)&&(G(m，n)>G(m+1，n)]}，

則E(m，n)=1，否則E(m，n)=0；

③ 輸出邊緣二值化圖E。

3.4 量子衍生邊緣檢測函數(shù)

本文將量子衍生中值濾波，量子衍生邊緣檢測算子封裝在一個(gè)量子衍生邊緣檢測函數(shù)中，即

functionE=Qedge(f)，

式中，f為對(duì)原灰度圖I進(jìn)行歸一化之后的灰度圖，將像素值歸一化到[0，1]之間；E為最終的二值化邊緣檢測圖像。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

利用3.4節(jié)提出的量子衍生邊緣檢測函數(shù)Qedge()，可以有效地檢測出結(jié)構(gòu)復(fù)雜并含有椒鹽噪聲的遙感圖像邊緣圖。在Matlab2016的環(huán)境下分別對(duì)復(fù)雜的街景圖和航拍遙感圖進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上對(duì)加噪的航拍遙感圖片(加上噪聲強(qiáng)度為0.03的椒鹽噪聲)也進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，并將這些結(jié)果與經(jīng)典的Sobel算法和目前較優(yōu)的Canny算法進(jìn)行的比較，效果如圖4、圖5和圖6所示。

圖4 街景圖

圖5 遙感航拍圖

圖6 加噪遙感航拍圖

4.1 主觀評(píng)價(jià)

根據(jù)3組實(shí)驗(yàn)，對(duì)比各種算法的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以看出本文提出的量子衍生邊緣檢測算法對(duì)于復(fù)雜的圖像邊緣定位更加準(zhǔn)確，優(yōu)于Sobel算法與Canny算法。如圖4的4幅圖右上角的屋檐瓦片和右下角的樹木，Sobel算法和Canny算法都沒有檢測出來，而本文提出的算法，對(duì)于這些微小的精細(xì)結(jié)構(gòu)的邊緣檢測定位精確，檢測效果更優(yōu)。在圖6中，可以看出，對(duì)于含有椒鹽噪聲的復(fù)雜遙感圖像，Sobel算法基本喪失了能力，Canny算法產(chǎn)生了輕微的通心粉效應(yīng)，去噪不徹底，而本文提出的邊緣檢測算法幾乎不受噪聲的影響，邊緣檢測定位精確，去噪能力徹底。

4.2 客觀評(píng)價(jià)

為了更直觀地反映出各個(gè)算法的性能，采用一種基于連通域的邊緣評(píng)價(jià)方法[20]來客觀地評(píng)價(jià)圖像邊緣檢測效果。即統(tǒng)計(jì)一幅圖像的邊緣點(diǎn)個(gè)數(shù)E，4-連通域個(gè)數(shù)(C4)與8-連通域個(gè)數(shù)(C8)以及它們之間的比值(C8/C4)，比值越小，則說明邊緣的線性連接度越好，漏檢、錯(cuò)檢的概率就越小。街景邊緣圖統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1和表2所示。

表1 第1組街景邊緣圖統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表2 第2組遙感航拍邊緣圖統(tǒng)計(jì)結(jié)果

分析表1和表2可知，Sobel算子檢測到的邊緣數(shù)最少，Canny算子其次，而本文檢測到的邊緣數(shù)最多，這說明了本文邊緣檢測算法精度較高，能檢測到精細(xì)結(jié)構(gòu)的邊緣，這與主觀評(píng)價(jià)結(jié)果一致。不足的是，本文算法的C8/C4較小于Canny算法，說明本文算法在邊緣連接性上沒有Canny算法優(yōu)越，但大大優(yōu)于Sobel算法，這一結(jié)論與圖片視覺效果相吻合。

5 結(jié)束語

基于量子比特與量子疊加態(tài)的理論，構(gòu)造了基于量子衍生的邊緣檢測算法，并將其應(yīng)用于復(fù)雜的遙感圖像。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的邊緣檢測函數(shù)不僅能檢測出結(jié)構(gòu)精細(xì)復(fù)雜的遙感圖像邊緣，而且還能從受椒鹽噪聲污染的遙感圖像中有效地檢測出其邊緣信息。在后續(xù)工作中，可以將本文量子衍生邊緣檢測思想與頻域相結(jié)合，利用頻域的優(yōu)勢進(jìn)一步加強(qiáng)提高遙感圖像邊緣檢測的精確度與信噪比，以及邊緣的連接性。