射電望遠(yuǎn)鏡天線結(jié)構(gòu)設(shè)計與性能實現(xiàn)

鄭元鵬，劉國璽，金 超，伍 洋，張亞林，張一凡

(中國電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081)

0 引言

FAST的成功建造使得天文學(xué)和射電望遠(yuǎn)鏡天線受到了更多的關(guān)注。和光學(xué)望遠(yuǎn)鏡400年的歷史相比，射電望遠(yuǎn)鏡的發(fā)展僅有幾十年，但是其發(fā)展速度和觀測成果顯著。在增大接收面積的目標(biāo)驅(qū)動下，20世紀(jì)50年代開始，世界上多個國家先后建造了大型單口徑射電望遠(yuǎn)鏡天線和多天線組陣射電望遠(yuǎn)鏡[1-2]。相比而言，我國自主建設(shè)大型射電望遠(yuǎn)鏡天線起步較晚，但已呈現(xiàn)趕超的態(tài)勢。大型射電望遠(yuǎn)鏡的建造涉及到微波電磁場、數(shù)字信號處理、結(jié)構(gòu)設(shè)計、機(jī)電一體控制、機(jī)械制造與工業(yè)測量等多個技術(shù)領(lǐng)域，結(jié)構(gòu)設(shè)計和制造工藝是非常重要的基礎(chǔ)。FAST相比美國的阿雷西博望遠(yuǎn)鏡，由于采用了主動反射面、柔性艙索結(jié)構(gòu)設(shè)計[3]，增大了觀測區(qū)域，提升了靈敏度；我國主導(dǎo)研發(fā)的SKA反射面天線樣機(jī)，采用了模塊化、輕量化結(jié)構(gòu)設(shè)計和高精度構(gòu)件制造工藝，為實現(xiàn)天線組陣的高效率建設(shè)目標(biāo)提供了技術(shù)支撐。后續(xù)將要建設(shè)的新疆110 m全可動高頻段射電望遠(yuǎn)鏡天線，對望遠(yuǎn)鏡天線結(jié)構(gòu)設(shè)計和制造工藝提出了更多挑戰(zhàn)[4]。

靈敏度和指向精度望遠(yuǎn)鏡的是2個最重要的指標(biāo)。反射面天線具有很強(qiáng)的方向性，成為大型射電望遠(yuǎn)鏡的首選天線，也是天線結(jié)構(gòu)設(shè)計重點研究的領(lǐng)域。在天線結(jié)構(gòu)設(shè)計方法[5-6]、天線結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論、天線精度測量[7-8]等方面的研究較為成熟，更先進(jìn)的天線機(jī)電綜合優(yōu)化設(shè)計方法逐步發(fā)揮作用[9-10]。基于這些研究成果，本文系統(tǒng)分析天線效率和指向精度的結(jié)構(gòu)影響因素，結(jié)合制造與安裝等實際工程經(jīng)驗，論述結(jié)構(gòu)設(shè)計與性能實現(xiàn)。

1 結(jié)構(gòu)安全性與結(jié)構(gòu)分析

1.1 天線安全性

在Green Bank 100 m天線(GBT)建設(shè)之前，由于英國Jodrell Bank 76 m天線和澳大利亞Parkes 64 m天線的建成，美國NRAO于1960年提出建設(shè)一個300英尺的簡易過渡天線，能夠盡快開展觀測工作。該天線僅用1年多時間建設(shè)完成，在低頻段觀測中發(fā)揮了重要作用。天線工作了26年之后，由于關(guān)鍵連接處構(gòu)件材料的疲勞失效[11]，導(dǎo)致天線整體結(jié)構(gòu)坍塌。盡管該天線已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了設(shè)計使用壽命，但是從中可以看出大型天線結(jié)構(gòu)設(shè)計，保證自身安全性的重要性。

天線結(jié)構(gòu)中一些具備獨(dú)立功能的系統(tǒng)，如方位滾輪軌道系統(tǒng)和俯仰驅(qū)動系統(tǒng)等，其設(shè)計對望遠(yuǎn)鏡的可靠性有很大的影響。以軌道為例，GBT 100 m天線在安裝調(diào)試階段出現(xiàn)了軌道耐磨板與基板的相對切向滑動，而后出現(xiàn)了軌道接頭不平度增大引起滾輪滾動沖擊，造成天線指向精度下降、軌道疲勞裂紋及夾板螺栓疲勞失效等問題。在對該軌道系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了為期2年的分析、實驗研究后，于2007年對軌道系統(tǒng)進(jìn)行了改造[12-13]，改造前后的設(shè)計方案與實驗如圖1所示。

圖1 GBT 100 m天線軌道設(shè)計與修復(fù)實驗

1.2 天線結(jié)構(gòu)分析

有限元理論和計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，使得結(jié)構(gòu)仿真分析成為結(jié)構(gòu)設(shè)計的重要手段。典型的射電望遠(yuǎn)鏡天線結(jié)構(gòu)模型如圖2所示。

圖2 典型的射電望遠(yuǎn)鏡天線結(jié)構(gòu)模型

有限元模型建立是結(jié)構(gòu)分析的核心技術(shù)之一。射電望遠(yuǎn)鏡天線結(jié)構(gòu)系統(tǒng)較為復(fù)雜，一般由天線反射器和座架2個部分組成。天線反射器包括饋電系統(tǒng)、反射面及其支撐結(jié)構(gòu)；天線座架為空間桁架結(jié)構(gòu)，通過方位和俯仰驅(qū)動系統(tǒng)實現(xiàn)天線轉(zhuǎn)動。結(jié)構(gòu)的主要材料為碳鋼和鋁合金，近年來，碳纖維等復(fù)合材料也得到了更多應(yīng)用。

在模型建立過程中，要充分考慮單元的正確使用、結(jié)構(gòu)的等效方法以及邊界約束條件等因素。為提高建模和計算效率，建模過程要做大量結(jié)構(gòu)等效和簡化工作，同時還要根據(jù)分析目標(biāo)考慮分別建立整體模型與局部模型，數(shù)據(jù)相互支撐，綜合評定。如對于俯仰軸及滾輪軌道等關(guān)鍵構(gòu)件的校核，可通過整體模型分析結(jié)果獲得載荷施加在局部模型中[14]。

天線結(jié)構(gòu)有限元模型用到的主要單元類型包括梁單元、板單元、質(zhì)量元、彈簧元及關(guān)系耦合單元等，載荷主要包括重力、風(fēng)力、積雪載荷及溫度、地震等，邊界條件主要考慮滾輪、中心樞軸、俯仰軸和俯仰驅(qū)動等支撐連接部位的自由度約束與釋放。結(jié)構(gòu)分析的主要內(nèi)容包括天線精度分析、強(qiáng)度分析、模態(tài)分析、地震響應(yīng)分析、疲勞分析及方位滾輪與軌道的接觸應(yīng)力分析等[15]，任務(wù)是評價天線結(jié)構(gòu)的安全性、在各種工況下結(jié)構(gòu)變形對精度的影響以及結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)對控制系統(tǒng)的影響。天線俯仰軸與輪軌結(jié)構(gòu)分析示意圖如圖3所示。

結(jié)構(gòu)的安全性分析中，結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、穩(wěn)定性、疲勞及地震響應(yīng)等校核應(yīng)當(dāng)參照鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范、建筑結(jié)構(gòu)抗震規(guī)范等相應(yīng)的設(shè)計規(guī)范。

圖3 天線俯仰軸與輪軌結(jié)構(gòu)分析

2 天線效率

天線效率主要受微波光學(xué)設(shè)計(含饋源)以及結(jié)構(gòu)設(shè)計2個方面的影響，可分為饋電效率與結(jié)構(gòu)效率2個部分。傳統(tǒng)的拋物面天線效率計算公式為：

η=η1×η2×η3×η4×η5×η6×η7×η8，

式中，η為天線的總效率；η1為口面利用效率；η2為反射面截獲效率；η3為饋源及支桿遮擋效率；η4為反射損耗效率；η5為表面公差效率；η6為饋源插損效率；η7為交叉極化效率；η8為相位誤差效率。各效率中η1，η2，η6，η7，η8可歸為饋電效率，η3，η4，η5可歸為結(jié)構(gòu)效率。天線結(jié)構(gòu)設(shè)計對天線效率影響最大的因素為表面公差(影響η5)和反射面的口面遮擋(影響η3)，此外面板縫隙、表面涂覆等對反射損耗效率η4也造成一定影響。

2.1 表面公差效率

表面公差η5可根據(jù)魯茲公式估算：

式中，σ為反射面的均方根誤差；λ為電磁波的波長?？梢钥闯?，天線表面公差越大工作頻段越高，其效率越低。

大型天線反射面一般由不同數(shù)量的小尺寸面板單元拼裝而成。誤差來自2個方面：一是面板制造及安裝過程產(chǎn)生的誤差；二是天線在使用過程中因各種載荷作用引起的結(jié)構(gòu)變形誤差[16]。

按照下面的誤差合成公式可計算反射面的精度：

式中，σi表示各誤差的均方根值；ρij表示相關(guān)系數(shù)。

隨著制造與測量技術(shù)的發(fā)展，單元面板的制造和拼裝精度不斷提高。對于大型天線，結(jié)構(gòu)的變形誤差已經(jīng)成為主要的影響因素。在主動反射面技術(shù)應(yīng)用之前，保型設(shè)計方法在結(jié)構(gòu)設(shè)計中發(fā)揮了重要作用。

1967年，Von Hoerner提出了保型設(shè)計的概念[17]，目標(biāo)是希望結(jié)構(gòu)在不同俯仰角度下因重力引起的變形能夠按照一定的方式產(chǎn)生，使得反射面仍然保持為一個同類型的曲面。根據(jù)保型的概念，可以得到任意俯仰角度下表面誤差Hφ：

Hz和Hh可以通過對口徑效率的測量推算出來，也可以通過FEA分析獲得并與測量結(jié)果進(jìn)行比對校正。根據(jù)使用范圍和Hz，Hh，可以確定最佳調(diào)整角度φ0。在最佳調(diào)整角度，結(jié)構(gòu)重力變形誤差為零。

一個保型結(jié)構(gòu)必須能夠為反射器表面提供“等柔度”支撐。對設(shè)計師的挑戰(zhàn)是如何找到這樣的結(jié)構(gòu)，包括對幾何形狀、桿件截面和重量的考慮。

從結(jié)構(gòu)分析的角度看，變形誤差分布取決于結(jié)構(gòu)、載荷和約束等條件。在明確了重力載荷與圓對稱反射面支撐結(jié)構(gòu)的條件下，天線反射器與座架連接點變形的一致性成為影響“等柔度”結(jié)構(gòu)設(shè)計的關(guān)鍵因素。

一般的天線座架結(jié)構(gòu)中，俯仰軸的2個點與俯仰齒輪的2個端點是變形差異最大的，如圖4所示，如果天線反射器使用這4個點做支撐，很明顯會將變形差異傳遞的反射面[18]。

圖4 變形不協(xié)調(diào)點

德國Effelsberg 100 m天線采用十字框架與俯仰齒輪形成錐形俯仰結(jié)構(gòu)，為反射體提供支撐的傘形結(jié)構(gòu)經(jīng)過錐形俯仰框架的2個端點與方位座架連接，保證變形協(xié)調(diào)。

GBT 100 m天線采用大俯仰框架過渡結(jié)構(gòu)，逐步弱化連接點變形不協(xié)調(diào)對反射體的影響。

LMT 50 m天線采用了雙俯仰齒輪結(jié)構(gòu)，將連接點設(shè)置在齒輪端部，同樣避開了俯仰軸座的硬點，實現(xiàn)等柔度效果。

SRT 64 m天線設(shè)計修改的關(guān)鍵是通過特殊梁結(jié)構(gòu)，將俯仰軸硬點作用消除，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)。

圖5和圖6給出了以上望遠(yuǎn)鏡天線結(jié)構(gòu)的保型設(shè)計概念示意[11]，其重力變形誤差如表1所示。

圖5 典型望遠(yuǎn)鏡反射體支撐結(jié)構(gòu)示意

圖6 SRT設(shè)計修正前后變形誤差

表1 典型望遠(yuǎn)鏡重力變形誤差

可以看出，如果以剛度重量比為評價標(biāo)準(zhǔn)，德國100 m天線的保型設(shè)計效果最好。

對于從事社會科學(xué)研究和工作的人來講，調(diào)查方法通常都是需要掌握的工具。從某種意義上講，方法甚至比知識還重要。方法是創(chuàng)造知識的工具，所以當(dāng)我們具備了一定的知識后，有必要學(xué)習(xí)并掌握創(chuàng)造知識的方法。社會科學(xué)領(lǐng)域使用的調(diào)查研究方法是行之有效的創(chuàng)造知識的工具，社會科學(xué)研究其實也可以看成是一個運(yùn)用調(diào)查方法獲取知識的過程，從中不難看出方法的重要性。

保型設(shè)計理論需要曲面擬合算法的支撐，對于標(biāo)準(zhǔn)拋物面，通過實時調(diào)整饋源到新的焦點位置，可等效為提升了反射面的精度[16]。對于賦形雙反射面，曲面參數(shù)變化的影響分析較為復(fù)雜[19]，同時也受到結(jié)構(gòu)設(shè)計實現(xiàn)的限制。無論如何，保型設(shè)計的概念為大型望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了明確的方向，即使是在主動反射面技術(shù)采用后，仍然發(fā)揮著重要作用。

主動反射面技術(shù)采用后，結(jié)構(gòu)變形誤差可以得到實時補(bǔ)償修正[20]，而隨機(jī)的制造安裝誤差無法修正，對于更高頻段的天線，反射面面板單元的制造精度就成為問題的焦點。

面板單元的精度主要取決于單元的尺寸和制造工藝[21]。采用鋁合金板數(shù)控加工方法可獲得更高的曲面精度，但受限于曲面的曲率和鋁板的厚度，單元尺寸一般較小，面板的重量也較大。通過模具負(fù)壓成型工藝，可以在重量和精度直接找到平衡。適合這種工藝的結(jié)構(gòu)設(shè)計有蒙皮蜂窩夾層結(jié)構(gòu)和蒙皮加筋結(jié)構(gòu)，前者相對精度更高，但由于剛度更大，在主動調(diào)整過程容易產(chǎn)生損壞，需增加過渡支撐結(jié)構(gòu)。部分望遠(yuǎn)鏡天線面板結(jié)構(gòu)型式及精度如表2所示。

表2 部分望遠(yuǎn)鏡天線面板結(jié)構(gòu)與精度

2.2 遮擋效率

天線的口面遮擋主要包括饋源(或副面，以下統(tǒng)稱饋源)遮擋和饋源支撐遮擋2項，二者與頻率幾乎無關(guān)。如圖7所示，饋源遮擋為平面波遮擋，饋源支撐在其支撐點以內(nèi)為平面波遮擋，以外為球面波遮擋。遮擋效率可由下式估計：

式中，Aproject為天線投影口徑；Ablockage為遮擋區(qū)域面積。

圖7 遮擋區(qū)域示意

減小口徑遮擋的方法主要是減小支撐結(jié)構(gòu)沿來波方向的截面面積，同時使支撐桿件盡量外移，減小球面波遮擋。但這樣可能會造成支撐結(jié)構(gòu)剛度下降，引起饋源的變形增大。此外，還要同時需要考慮支撐結(jié)構(gòu)對主反射面精度的影響。因此，饋源支撐結(jié)構(gòu)的設(shè)計需要綜合分析后確定。一部分望遠(yuǎn)鏡天線中，采用了增加拉索的方法提升支撐結(jié)構(gòu)的剛度。

2.3 反射損耗效率

當(dāng)天線工作在低頻段時，考慮到風(fēng)載荷影響，大口徑望遠(yuǎn)鏡天線反射面通常會使用或局部使用網(wǎng)孔板。反射面網(wǎng)孔板選取主要影響反射損耗效率η4和表面公差效率η5。

對于金屬網(wǎng)面板而言，從網(wǎng)孔中透過的電磁波不僅會降低天線的增益，還會引起天線噪聲溫度的升高，因此金屬線間距的選擇十分重要。金屬網(wǎng)面引起的漏失可用透射效率來描述，其定義為實際反射面反射能量與實面板的比值。若地面溫度為300 K，要將網(wǎng)孔漏失引入的噪聲溫度限制為1.5 K，則透射效率應(yīng)大于99.5%。反射面的透射損失可根據(jù)如下經(jīng)驗公式進(jìn)行估算，

式中：a為2條金屬線的線間距；r為金屬線的半徑。

面板縫隙對天線效率也存在一些影響，在保證面板制造精度的前提下，盡量增大面板面積，以減小這部分影響。

表面電阻和涂覆的影響主要通過采用高導(dǎo)電率的金屬材料面板和低損耗涂覆材料的方式來消除。

3 指向精度

天線主波束寬度與口徑和工作頻率相關(guān)，指向精度要求來自于波束寬度，通常十分之一的波束指向誤差會引起3%～4%的信號損失。因此，大口徑高頻段的射電望遠(yuǎn)鏡指向精度要求一般是幾個角秒，成為設(shè)計關(guān)注的焦點。影響天線指向精度因素很多，其中結(jié)構(gòu)誤差是最為重要的誤差之一。

和其他誤差項一樣，結(jié)構(gòu)誤差也可分為系統(tǒng)誤差(可重復(fù)性誤差)和隨機(jī)誤差，隨著設(shè)計仿真、傳感器及測量標(biāo)校等技術(shù)的發(fā)展，系統(tǒng)誤差的消除方法逐步成熟，研究的目標(biāo)集中在如何減小隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差主要來自于隨機(jī)載荷引起的結(jié)構(gòu)變形誤差和結(jié)構(gòu)制造安裝過程中產(chǎn)生的隨機(jī)誤差[22]，按照產(chǎn)生結(jié)構(gòu)誤差的來源，又可分為軸系誤差、驅(qū)動系統(tǒng)誤差和軸角傳遞誤差等。

3.1 軸系誤差

軸系誤差包括方位軸垂直度誤差、方位俯仰軸正交度誤差、天線反射面電軸與俯仰軸正交度誤差等[23]。

3.1.1 方位軸垂直度誤差

軌道平面度誤差是影響方位垂直度的主要誤差項，通過數(shù)據(jù)庫的建立，可將其中相對穩(wěn)定的大誤差加以修正。制造過程中，目標(biāo)是減小單根軌道加工隨機(jī)誤差和滾輪軸承隨機(jī)跳動誤差，提高全部滾輪直徑、錐角的一致性。

軌道接縫是有規(guī)律排列的，但載荷變化會造成兩軌道端頭高差變化，由于天線轉(zhuǎn)動速度不同，滾輪對軌道撞擊力也會發(fā)生變化，從而使這一誤差很難修正，因此，對于工作在高頻段的大口徑射電望遠(yuǎn)鏡天線，采用焊接軌道能夠減小這部分隨機(jī)誤差的影響。

3.1.2 方位俯仰軸正交度誤差

方位俯仰軸正交度誤差主要來自于俯仰軸承跳動誤差和現(xiàn)場安裝過程2個俯仰軸承軸心的等高和同心誤差，需要制定合理的安裝順序或設(shè)置必要的檢測基準(zhǔn)，以減小這2項誤差。

3.1.3 電軸與俯仰軸正交度誤差

反射面的電軸受到反射面的表面精度以及饋源與主、副反射面的位置關(guān)系影響。通過結(jié)構(gòu)有限元模型分析，可以獲得各項誤差數(shù)據(jù)，進(jìn)而可以計算各分項誤差引起的對波束偏移，對各分項誤差求和得到總的波束偏移量。機(jī)電綜合仿真手段的應(yīng)用，可以將結(jié)構(gòu)有效元模型獲得的數(shù)據(jù)直徑輸入到電磁場模型中，直接計算得到更為精確的波束誤差。

3.2 驅(qū)動系統(tǒng)誤差

驅(qū)動系統(tǒng)對指向精度產(chǎn)生影響主要是傳動的平穩(wěn)性、噪聲和振動。傳動回差也產(chǎn)生影響，但系統(tǒng)多采用電消隙，可將傳動回差大部分消除。大口徑天線俯仰大齒輪直徑都非常大，只能采用分體加工、在現(xiàn)場再組裝方式完成，因此，其安裝后整體精度不高，徑向跳動和端跳較大。采用將俯仰驅(qū)動懸掛在俯仰大齒輪上的設(shè)計，能夠使齒輪嚙合過程中始終保持等間隙，防止由于齒輪徑跳、端跳及風(fēng)載變形產(chǎn)生的影響。但齒輪加工過程產(chǎn)生的齒形誤差和齒距偏差仍然會帶來驅(qū)動系統(tǒng)噪聲和振動，因此，需對該項誤差做計算分配。懸掛式俯仰驅(qū)動系統(tǒng)如圖8所示。

圖8 懸掛式俯仰驅(qū)動系統(tǒng)

3.3 軸角傳遞誤差

軸角傳遞的誤差主要來自于軸角編碼器安裝機(jī)構(gòu)。對于俯仰軸角編碼器安裝機(jī)構(gòu)，由于天線、俯仰機(jī)構(gòu)及配重載荷均通過2個俯仰軸承向地面?zhèn)鬟f，而俯仰軸承又多采用調(diào)心軸承，因此俯仰軸端會產(chǎn)生跳動，給安裝在俯仰軸端的軸角編碼器帶來誤差。

采用由俯仰軸承旋轉(zhuǎn)中心引出軸的聯(lián)接方法，通過連接軸組合和具備一定扭轉(zhuǎn)剛度的聯(lián)軸節(jié)與碼盤連接，能夠減少俯仰軸變形對碼盤輸出精度的影響。具有雙讀數(shù)頭的光電編碼器能夠消除碼盤徑向跳動的影響。俯仰軸角裝置如圖9所示。

圖9 俯仰軸角裝置

3.4 天線基礎(chǔ)的影響

在風(fēng)載作用下，天線基礎(chǔ)會產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和傾覆變形，影響系統(tǒng)精度，可通過安裝在座架上的傾斜儀對該誤差加以修正，但其殘差及陣風(fēng)引起的誤差難以修正。因此，在基礎(chǔ)設(shè)計時，其剛度要滿足誤差分配要求。

天線結(jié)構(gòu)系統(tǒng)固有頻率是影響天線系統(tǒng)動態(tài)性能和系統(tǒng)精度的主要因素之一，基礎(chǔ)與天線結(jié)構(gòu)系統(tǒng)是串聯(lián)系統(tǒng)，基礎(chǔ)固有頻率將對天線系統(tǒng)總固有頻率有很大影響。根據(jù)總體要求，通過系統(tǒng)仿真分析，可以給出對基礎(chǔ)固有頻率的設(shè)計要求。

基礎(chǔ)不均勻沉降將產(chǎn)生方位垂直度誤差，沉降在圓周方向產(chǎn)生的不均勻性給修正帶來了困難，同時，基礎(chǔ)不均勻沉降將還會引起軌道平面度變化，造成滾輪受力不均勻，也會引起天線結(jié)構(gòu)變形誤差的變化，影響指向精度。

4 結(jié)束語

射電望遠(yuǎn)鏡望的發(fā)展已有數(shù)十年歷史，大型天線屈指可數(shù)，為結(jié)構(gòu)設(shè)計實踐提供了非常珍貴的機(jī)會。射電天文觀測與深空探測的發(fā)展還會提供這樣的機(jī)會，顯然會有更高的要求，趨勢是高頻段和多波束寬頻帶掃描[24]。要求結(jié)構(gòu)設(shè)計與微波光學(xué)設(shè)計、控制系統(tǒng)、主動修正技術(shù)、精密制造技術(shù)的結(jié)合更加緊密。在望遠(yuǎn)鏡天線的總體方案制定過程中，結(jié)構(gòu)設(shè)計與微波光學(xué)設(shè)計的綜合論證分析已成為主要參數(shù)選取的必要過程，而機(jī)電綜合優(yōu)化計算方法使得結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對電性能的影響結(jié)果能夠更直接的獲取。挑戰(zhàn)主要來自于隨機(jī)載荷對望遠(yuǎn)鏡觀測的影響，這需要結(jié)構(gòu)設(shè)計師從系統(tǒng)的角度關(guān)注更多的因素，掌握多學(xué)科綜合仿真計算方法，提供更精確的數(shù)據(jù)。