剩余分位Extropy序的進(jìn)一步研究

賈 鍇， 俞錦濤

(陸軍炮兵防空兵學(xué)院 基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室，安徽 合肥 230031)

1 預(yù)備知識

設(shè)X為一非負(fù)連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為f，為了度量X中所包含的不確定性，文獻(xiàn)[1]定義X的香農(nóng)熵(Entropy)如下：

最近，文獻(xiàn)[2]定義了一個新的不確定性的度量，并稱之為Extropy。對于非負(fù)連續(xù)型隨機變量X，定義其Extropy如下：

J(X)和H(X)互為補對偶，更多關(guān)于Extropy與香農(nóng)熵的相關(guān)性質(zhì)可參閱文獻(xiàn)[2,3]。

若X表示一個新元件的壽命，該元件t時刻仍正常工作，它能繼續(xù)工作的壽命稱為其在t時刻的剩余壽命，記為Xt，由定義知Xt=(X-t|X>t)。因元件已經(jīng)工作到t時刻，再考察X中所包含的不確定性已不適合。文獻(xiàn)[4]指出不確定性應(yīng)該是時間t的函數(shù)，并建議改為度量Xt中包含的不確定性?；谶@個思想，文獻(xiàn)[5]將X在t時刻的剩余Extropy定義如下：

(1)

非負(fù)連續(xù)型隨機變量X的概率分布還可以用分位函數(shù)表示，分位函數(shù)的定義為：

F-1(p)=inf {x|F(x)≥p},p∈(0,1)。

分布函數(shù)與分位函數(shù)在某種意義下是等價的，文獻(xiàn)[6,7]分別介紹了基于分位函數(shù)的概率模型及其在可靠性理論中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[8]首次將分位函數(shù)引入不確定性的度量，類比其過程，令式(1)中的t=F-1(p)，得到X的剩余分位Extropy如下：

其中第二個等號利用變量代換u=F(x)得到。QJp(X)從Extropy的角度度量了X在已經(jīng)工作了100p%的壽命后所剩余的不確定性，是一種基于分位函數(shù)的不確定性的度量。為了比較兩個隨機變量所包含的不確定性的大小，借助剩余分位Extropy提出一個新的隨機序，稱之為剩余分位Extropy(LQEx)序。

定義1.1稱X依LQEx序小于Y，如果QJp(X)QJp(Y)對于所有的p∈(0,1)都成立，記為XLQExY。

下面的引理1.2給出LQEx序的一個等價判別，其證明可由剩余分位Extropy的定義直接得到，故省略。該引理在本文的證明過程中將被反復(fù)使用。

引理1.2設(shè)隨機變量X、Y的概率密度函數(shù)分別為f、g，分位函數(shù)分別為F-1、G-1,則XLQExY，當(dāng)且僅當(dāng)對于所有的p∈(0,1)，

本文將集中研究LQEx序的性質(zhì)，具體安排如下：第二節(jié)分析了LQEx序與其他隨機序的關(guān)系，并給出由凸變換序得到LQEx序的條件。第三節(jié)討論非線性變換下的LQEx序，建立了隨機變量的非線性變換依LQEx序大于或小于其本身的充分條件，并討論了LQEx序經(jīng)非線性變換后封閉的條件。第四節(jié)研究了試驗總時間變量與原隨機變量之間的LQEx序，以及LQEx序在試驗總時間變換中的封閉性。第五節(jié)分析由同分布但可能相依的元件構(gòu)成的一般單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的壽命，借助控制函數(shù)研究了LQEx序在一般的單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中的封閉性。

2 LQEx序與其他隨機序的關(guān)系

本節(jié)研究LQEx序與其他隨機序之間的關(guān)系，首先介紹一些常用隨機序的定義以及其基本性質(zhì)，有關(guān)這些隨機序的更多內(nèi)容還可參考文獻(xiàn)[9]。

(b)稱X依色散序小于Y，若f(F-1(p))≥g(G-1(p))對所有的p∈(0,1)都成立，記為XdispY；

(c)稱X依凸變換序小于Y，若G-1F(x)在(0,)上凸，記為XcY。

結(jié)合色散序的定義以及引理1.2分析可知XdispY?XLQExY。下面的定理2.2進(jìn)一步研究凸變換序和LQEx序的關(guān)系。

定理2.2若XcY，則XLQExY當(dāng)且僅當(dāng)J(X)J(Y)。

h′(p) =g(G-1(p))-f(F-1(p))

例2.4令X的分布函數(shù)F(x)=1-exp (-2x2),x≥0，Y的分布函數(shù)G(x)=1-e-x,x≥0，則G-1F(x)=2x2為凸，即XcY。另外

于是由定理2.2可知XLQExY。

3 非線性變換下的LQEx序

定理3.1設(shè)X為一非負(fù)連續(xù)型隨機變量，φ是一個嚴(yán)格遞增的函數(shù)，且滿足φ(0)=0，

(a)若φ′(x)≥1對所有的x>0都成立，則XLQExφ(X)；

(b)若0<φ′(x)1對所有的x>0都成立，則φ(X)LQExX。

證(a)對于所有的p∈(0,1)都有

≥0

其中不等式由條件φ′(x)≥1得。則由引理1.2可得XLQExφ(X)。

(b)的證明類似。

下面的推論3.2和例3.3分別給出定理3.1的一個簡單推廣和重要應(yīng)用。

推論3.2設(shè)X為一非負(fù)連續(xù)型隨機變量，

(a)若θ≥1，則XLQExθX；

(b)若0<θ1，則θXLQExX。

例3.3令X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，φ(x)=log (1+λγx/β)/γ，其中γ>0,β≥λ>0，則φ(X)服從參數(shù)為(β,γ)的Gompertz-Makeham分布，其分布函數(shù)Fφ(x)=1-exp [-β(eγx-1)/γ]，x≥0。因為φ′(x)=λ/(β+λγx)1，所以由定理2.1可知φ(X)LQExX。即有QJp(φ(X))QJp(X)=-λ/4。

接下來我們考慮，如果隨機變量X和Y存在LQEx序的關(guān)系，那么這種關(guān)系在經(jīng)過φ變換后能否保留。首先介紹如下引理：

引理3.4[10]設(shè)μ(x)是(a,b)上的測度，其中-a

定理3.5令XLQExY，若YstX且φ(x)是一個嚴(yán)格遞增的凹函數(shù)滿足φ(0)=0，則有φ(X)LQExφ(Y)。

證由引理1.2可知，XLQExY時[f(F-1(u))-g(G-1(u))]du≥0對于所有的p∈(0,1)都成立。同樣根據(jù)引理1.2，只需證≥0對于所有的p∈(0,1)都成立即可，其中分別表示φ(Y)的密度函數(shù)和分位函數(shù)。注意到Y(jié)stX意味著G-1(x)F-1(x)，且φ(x)是凹函數(shù)，所以

另一方面，φ(x)是一個嚴(yán)格遞增的凹函數(shù)，故1/φ′(F-1(u))是非負(fù)且單調(diào)遞增的，則由引理3.4可知上式右端恒大于0，結(jié)論證畢。

4 LQEx序與試驗總時間變量

Barlow等人于1972年首次提出試驗總時間(total time on test)變量的概念，并將其運用于凸變換序的檢驗[11]。之后，這種變換的性質(zhì)被廣泛研究與運用，其成果可參閱文獻(xiàn)[12]。本節(jié)將首先介紹試驗總時間變量的定義，然后研究試驗總時間變量在LQEx序中的應(yīng)用。

(2)

定義4.2稱X依試驗總時間序小于Y，如果

對所有的p∈(0,1)都成立，記為XtttY。

結(jié)合定義4.1和4.2知，XtttY的充要條件是XtttstYttt，且若XstY，則XtttY。

性質(zhì)4.3XtttLQExX。

證對式兩邊求導(dǎo)得

其中fttt表示Xttt的密度函數(shù)。整理上式得

(3)

于是由引理3.4得XtttLQExX。

例4.4設(shè)X和Y分別服從參數(shù)為1指數(shù)分布，由定義4.1得其試驗總時間變量Xttt服從(0,1)上的均勻分布再由定理4.3可得

定理4.5若XLQExY，則XtttLQExYttt。

證由XLQExY可知[f(F-1(u))-g(G-1(u))]du≥0對于所有p∈(0,1)都成立，注意到式(3)可得

即XtttLQExYttt。

5 單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中LQEx序的封閉性

單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)是可靠性理論中滿足單調(diào)性和關(guān)聯(lián)性兩個最基本公理的系統(tǒng)。單調(diào)性即系統(tǒng)中元件可靠性的降低不會使系統(tǒng)可靠性提高，關(guān)聯(lián)性即系統(tǒng)中不存在無用元件，每個元件都與系統(tǒng)有關(guān)。設(shè)系統(tǒng)中各元件壽命為一隨機向量X=(X1,…,Xn)，其中Xi表示第i個元件的壽命。系統(tǒng)壽命T是元件壽命的函數(shù)，即T=φ(X1,…,Xn)，φ是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)。元件之間可能是相依的，其相依性在聯(lián)合分布函數(shù)F(t1,…,tn)=P{X1t1,…,Xntn}中體現(xiàn)。聯(lián)合分布函數(shù)還可寫作F(t1,…,tn)=K(F1(t1),…,Fn(tn))，其中Fi為Xi的邊緣分布函數(shù)，K稱作它們的分布連接函數(shù)。這樣寫的好處在于元件的壽命特性由其對應(yīng)的邊緣分布表示，而它們之間的相關(guān)性只存在于分布連接函數(shù)中。最近，文獻(xiàn)[13]證明了單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)壽命的分布函數(shù)FT與其元件壽命的分布函數(shù)Fi的關(guān)系，在同分布(可能不獨立)條件下有如下表述：

引理5.1令T=φ(X)表示單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的壽命，其由同分布但可能相依的元件X=(X1,…,Xn)構(gòu)成。設(shè)元件壽命均具有分布函數(shù)F，則系統(tǒng)壽命的分布函數(shù)

FT(t)=h(F(t))

其中h稱為控制函數(shù)，僅與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)φ和X1,…,Xn的分布連接函數(shù)K相關(guān)。h在(0,1)上連續(xù)且嚴(yán)格遞增，滿足h(0)=0,h(1)=1。

上結(jié)論對分析單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的性質(zhì)起關(guān)鍵性作用，基于引理5.1文獻(xiàn)[13]分析了多種壽命分布類在單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中的封閉性，文獻(xiàn)[14]證明了多種常用隨機序在單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中的封閉性。最近，文獻(xiàn)[15]證明了剩余分位熵(LQE)序在單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中封閉的條件，其序的意義可參考文獻(xiàn)[15]以及其中的引文。接下來本節(jié)將證明LQEx序在單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中封閉的條件，作為LQE序的補對偶，LQEx序的封閉條件與其類似。

定理5.2令X=(X1,…,Xn)和Y=(Y1,…,Yn)為彼此獨立但分量可能相依的隨機向量，其分量Xi均與X同分布，Yi均與Y同分布。它們分別表示兩組元件的壽命。T1=φ(X1,…,Xn)，T2=φ(Y1,…,Yn)分別表示由這兩組元件組成的結(jié)構(gòu)相同的系統(tǒng)的壽命，它們具有相同的控制函數(shù)h,

(a)若XLQExY，h是(0,1)上的凸函數(shù)，則T1LQExT2；

(b)若T1LQExT2，h是(0,1)上的凹函數(shù)，則XLQExY。

其中最后一個等式利用變量代換u=h(v)，且p′=h-1(p)。

(a)若XLQExY，則由引理1.2可知

對于所有的p′∈(0,1)都成立。又因為h是(0,1)上的增凸函數(shù)，故[h′(v)]2在(0,1)上非負(fù)遞增。于是根據(jù)引理3.4可知式大于等于0對于所有的p′∈(0,1)都成立。注意到h在(0,1)上連續(xù)且嚴(yán)格遞增，滿足h(0)=0,h(1)=1，故p=h(p′)∈(0,1)。則由引理1.2可知T1LQExT2。

(b)的證明類似。

注5.3若考慮X1,…,Xn獨立同分布且Y1,…,Yn獨立同分布的情況。若系統(tǒng)為并聯(lián)系統(tǒng)，h(x)=xn為凸函數(shù)，則由定理5.2(a)可知并聯(lián)系統(tǒng)保留元件之間的LQEx序。若系統(tǒng)為串聯(lián)系統(tǒng)，h(x)=1-(1-x)n為凹函數(shù)，則由定理5.2(b)可知元件保留串聯(lián)系統(tǒng)的LQEx序。