憑初等數學常識發(fā)現中學數學有一系列重大錯誤

摘 要：數列最起碼常識讓5千年都無人能識的標準無窮大自然數及其倒數一下子暴露出來，從而揭示有首項的無窮數列必有末項。數集相等概念以及幾何起碼常識和區(qū)間概念凸顯中學幾百年解析幾何有一系列將兩異點集誤為同一點集的錯誤。從而產生出病態(tài)的“高深”理論：直線段的部分點可與全部點一樣多；射線S沿S正向平移變?yōu)樯渚€S′≌S是S的真子集；巴拿赫-塔爾斯基分球定理。證明存在：幾千年都無人能識的等長卻不“等勢”從而不合同的直線段；2500年都無人能識的R外標準實數。不識這類“更無理”的數和直線段使數學一直不知直線A沿本身伸縮或平移后就≠A了，所以“直線公理（定理）”和“R軸完備、封閉”論其實是將無窮多各異直線誤為同一線的“以井代天”的“井底”誤區(qū)。

關鍵詞：N內、外標準無窮大自然數及N最大元；貌似重合的偽二重直線段；用而不知的“更無理”數推翻“R軸各點與各標準實數一一對應定理”；推翻百年集論和百年自然數公理；推翻巴拿赫-塔爾斯基分球定理；保距及非保距變換

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2018）09-0180-06

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.09.114

一、導言：不能不重視著名數學家朱梧■、龐加萊的“超人”論斷

百年集論被譽為是“人類最偉大的創(chuàng)造之一”（胡作玄《引起紛爭的金蘋果》27頁，福建教育出版社，1993）?！白顐ゴ髷祵W家”希爾伯特斷言：任何人都不能推翻集合論。然而中國著名數學家朱梧槚教授及肖奚安、杜國平、宮寧生教授卻“超人”地洞察到“定義：可與其真子集對等的集稱為無窮集”中的“無窮集”“都是自相矛盾的非集[1]”；換言之，根本不存在可與其真子集對等的無窮集。不少人認為這是與4位數學家身份極不相稱的“怪論”。1908年富有遠見卓識的世界著名數學家龐加萊提出了著名的“超人”論斷：后代人將把康脫的集論當作一種疾病，而且人們已經從中恢復過來了。（見張錦文等《世界數學名題欣賞·連續(xù)統(tǒng)假設》20頁）。有過人科學洞察力的龐大師也許也“超人”地洞察到集論存在違反邏輯學常識的自相矛盾，清醒堅信：凡違反真正常識的理論必是對科學危害極大的病態(tài)理論。本文證明真正的無窮集均不可對等于其任何真子集?！白匀粩导校盢各元n均有對應標準自然數n+1等等。自識自然數5千多年來數學一直未能證明存在標準無窮大自然數。然而數列最起碼常識凸顯有N外標準無窮大自然數>N一切自然數推翻集論立論的論據：中學的：N各元n的對應數n+1、2n、…均∈N。所以須重新認識級數論。本文是[2][3]的繼續(xù)與深化。

公元前1100年中國人商高同周公的一段對話談到了勾股定理說明人類認識直線段已有幾千年。“科學常識”：因數學是嚴密精確的代名詞故數學，尤其是“已成熟到不能再成熟”的初等數學絕不可能有重大錯誤；數學的公理、定理絕不可能被推翻。有一種“凡是”：凡是連“小人物”也談不上的“草根”絕不可能有重大科學發(fā)現。挑戰(zhàn)各“絕對不可能”的“反科學”的“超人”發(fā)現來自于太淺顯的：①中學的幾何起碼常識c：重合相等的 有界 圖形（點集）必合同。②數列最起碼常識和區(qū)間概念。③所謂數集A=B是說A的元與B的元可一一對應相等。故高中生也有能力分辨本文是歪理邪說還是數學有史五千年來的最重大發(fā)現？

二、數列最起碼常識和“一一配對”概念讓5千年都無人能識的自然數一下子暴露出來——同是無窮數列，此列的項可多于彼列的項

設A={x}表A各元均由x代表，變量x的變域是A；A={（x，y）}表A是由有序數偶（x，y）組成的數偶集；A={（x，y），z}表A是由數偶和“單身”數z組成的混合集。其余類推。任一數集A={x}同時也是數偶集A={（x，x）}。

變數n取自然數。無窮數列N={n}各數n均有序號數n與之配對而均在第n號位置。位置可用○形象表示從而可看圖識革命道理：N={◎① ② ...■…}中■表示n在第n號位內而與該位組成N的第n項，即“無窮旅館”N中數n都“住”在n號“房間”內；一n前移“奪占”n′的房間的同時n的原住房也變空，故被奪房的n′可后移到空房內。將N各數挖去就得空房序列○○○...。級數論的“黎曼更序定理”是建立在“數列A各數任意改變前后位置（一位只能容納一數）后就形成還由A全部數與位置組成的數列”這一中學應有的數列最起碼常識⑴之上的。故如[4]所述N各非0數n≥1可保序前移一格改與n-1≥0號房配對，而0可后移到N的空房內從而形成有末項的M={① ② ③ …◎}即各n≥1改與n-1≥0號房配對后，0就可移到各非0數的后面而處在第Ω號房內，顯然Ω是N的最大自然數。M還由N全部數與房間組成說明N各數無論怎樣改變前后位置后都不會有數在N的房間之外——說明無論在怎樣的配對法則下N的數與房間都可一一配對。

中學應有的數列最起碼常識（2）：若數列A各數可兩兩配對而B各數不可兩兩配對則A≠B。N={n≥0}有偶數n=2p和奇數n=2p+1，p的變域{0，1，2，...，p，...}各元p變?yōu)橐粚?p、2p+1組成數偶序列（集）N={（0，1）（2，3）…（2p，2p+1）…}，N的子數列（集）N+={1，（2，3）（4，5）...}={n≥1}是既有數偶又有“單身”數1的混合序列；“拆東補西”地讓一偶數n與奇數1配對，n的原“配偶”就成一新單身奇數，故N+中偶、奇數無論怎樣重新配對后都保持有一單身奇數從而使N+不能成為數偶序列。為什么？因N+中奇數比偶數多從而使N+各數不可兩兩配對；可見N+一切奇數組成的無窮數列的項多于一切偶數組成的數列的項。應有邏輯學起碼常識f：“拆東補西”不能使混合序列變?yōu)闆]單身項的數偶序列。故由一對對數組成的集也由一個個數組成，但由一個個數組成的集不一定也由一對對數組成。詳論見[5]。

混合序列N+各數n≥1變?yōu)閚-1∈N使N+變?yōu)镴={0，（1，2）（3，4）...}各數不可兩兩配對，而N各數可兩兩配對，據常識（2），N={n≥0}≠J={n-1≥0}。包含J的N≠J說明N中必至少有一J外自然數>無窮數列J一切數。N各數n變?yōu)槠浜罄^y=n+1>n形成后繼序列（集）H={（1，2）（3，4）…（2p+1，2p+2）…}中各數可兩兩配對且其偶數與奇數一樣多，而N+各數不可兩兩配對且其偶數與奇數不一樣多，故H≠N+。因N+各元n≥1均是n-1∈N的后繼∈H故H？勱N+，包含N+的H≠N+說明H中必至少有一N+外標準無窮大自然數y0=n0+1>n0∈N“更無理”地突破了N的“框框”而在N外，式中n0顯然是N的最大元Ω，因其后繼y0在N外而大于N一切數n。人類由認識自然數到發(fā)現Ω及Ω±1等竟須歷時5千多年！但獲此發(fā)現的依據是數列最起碼常識（1）（2）。5千年都無人能識Ω使初等數學一直將N的真子集J誤為N，將N外數誤為N內數從而將H誤為N的真子集N+。文[4]有一改天換地的改偶定理：

h定理1（改偶定理）：各x與各y一一配對成一無窮“夫妻”有序數偶集F={（x，y）}內“男、女”雙方中有“人”改配偶（新配偶必是F中人）使有的人變成“單身”后，一方出多少個單身，對方也只能出多少個單身；故各單身必可一一配對。否則必至少有一F外人“混進來”參與新配對。故若新配對使一方保持無單身而另一方出現單身那就勢必有數學一直未能察覺的外人“混進來”了。

證：F中任一非“單身”改與另一非單身配為新“夫妻”各自的原“配偶”就成一對可配對的單身，一單身 “再婚”就或使對方一單身也再婚或拆散一對夫妻而生一與再婚者同一方的新單身，沒別的可能。故每產生一對新夫妻的同時必生一對可配對的單身。所以定理成立。證畢。

右框框內相等的兩數均已配■成數對?，F上N各非0數n（≥1）∈N+均改與（位于其左斜下方）比其小的n-1（≥0）∈下N 配對，所有新配偶n-1∈下N 的全體是上述的J={0，1，2，…，n-1≥0，…}？哿下N；這新配對使上N中的0變成單身，據改偶定理下N也必有一單身Ω，這J（？哿下N）外的Ω∈下N顯然是下N的最大元而與1∈下N相隔無窮多自然數∈下N。

集合起碼常識a：無窮數集A的元x與B=A的元y必可一一配對成一對對數使A=B各元x同時或不同時均可有“配偶”y∈B=A，沒規(guī)定各對數（x，y）中的y只能=x等等，y與x只要均是“單身”就可配對。

證：①數列N各數n均可有≠n的n′號房與之配對，即N各數n均可有配偶n′∈A=N。設“無窮旅館”N中只有部分房間有空調，文盲都知若N的客房與客人一樣多則不論如何配對，各人都必能配到一間房，只不過各人所配房間并非都有空調罷了?？梢娺B文盲都懂的邏輯學起碼常識說明無窮集A的元與B=A的元能否一一配對只與A和B是否分別包含一樣多個元有關而與配對的方式方法完全無關?！罢胬矶际呛軜銓嵉摹保切┻`反真正科學常識的“高深”理論必是對科學危害極大的病態(tài)理論。②A={0，1}中的0變?yōu)?，1變?yōu)?得{1，0}=A是非恒等變換。A={x}各數x變?yōu)閥=y（x）組成B={y（x）}=A一定是一一對應變換但不一定是恒等變換，即y（x）可≠x。③上述框框內下N各數任意改變前后位置后各數n的“頭頂”上都必有數（可≠n）∈上N可與n配對。據改偶定理，A的元與B=A的元一一配對成的數偶集{（x，y=x）}中有y任意改與≠自己的數x配為（x，y≠x）后各x、y還必可一一配對。這都說明“A各元x均可有配偶y∈B=A”中的 y（x）可≠x。證畢。

設A一部分元均由x代表另一部分元均由z代表，“A各元x、z均有配偶∈B=A”是說：A一部分元x均有配偶∈B=A的同時A其余元 z也必均有配偶∈B=A；斷定B無單身與z配對顯然是違反常識a的錯誤。據集合起碼常識a ，N={0，1，2，…，n≥0，…}各非0元n≥1均有配偶y=n-1（≥0）∈A=N（所有配偶y=n-1∈A=N的全體是上述的J={0，1，2，…，n-1≥0，…}）的同時N其余元 0也必可有配偶y=Ω∈A=N，這J外的Ω顯然是…。斷定J={n-1≥0}=A=N即斷定A=N無“單身”Ω與N的0元配對顯然是違反集合起碼常識a的重大錯誤：說A=N的元與N的元不一樣多 。

凡違反集合起碼常識a的“無窮集”顯然“都是自相矛盾的非集[1]”。顯然Ω和Ω±1等等均是標準分析一直用而不知的標準無窮大自然數，顯然其倒數<任何有窮正數ε是用而不知的無窮小正數?！盁o窮集A=B但A每一元x并非均可有配偶y（可≠x）∈B”中的A=B因違反集合起碼常識a從而是根本不能存在的“自相矛盾的非集[1]”。

h定理2：有最小（大）元的無窮數集A各元x若均有對應數y（x）>（<）x則各y（x）并非均∈A。

證：①有最小元x=i的U各數x與V的數y配對：相等的兩數配成一對（x，y=x）；無窮多對（x，y=x）組成{（x，y=x）}中各x改與比其大的y（x）>x配對就使（x=i，y=i）中的y=i變?yōu)椴豢膳鋵Φ膯紊?，因新配對法?guī)定各x都只與比其大的y配對，而y=i是最小數而不可比任何一個x大從而不可與任何x配對。將“最小”用“最大”替換，將…改為…，同樣就有配不出去的最大數。

設有最小元x=i的A各元x有對應y（x）>x。A各元x與B=A各元y一一配對成F={（x，y=x）}=A=B中各x改與>x的y（x）>x配對從而x方保持無單身但卻使F中的y方（假設各y（x）∈F=A成立）至少出現一單身y=i，據改偶定理，假設不成立即各y（x）并非均∈F=A而必至少有一y>x在A外。同樣：②設有最大元x=j的A各元x有對應y（x）

有最小元的N各元n變?yōu)閥=n+1>n組成H={y}，據h定理2，各y并非均∈N而必至少有一y∈H在N外。按證明存在Ω的證法易證有首項的無窮序列都有末項。

h定理3：無窮數集C的任何真子集B？奐C都不可～C，換言之，若A～C則A必≠B？奐C。

證：C各元x變?yōu)閥（x）組成A={y（x）}～C而有x？圮y=y（x）。假設“～C的A=B？奐C”成立則C中B？奐C各元均由x代表的同時也均可由y（x）∈A=B？奐C代表（因A={y（x）}=B={x}？奐C）。據集合起碼常識a，C各元x均可有配偶∈W=C，故C中B？奐C各元y（x）∈A=B均有配偶x∈W=C（x？圮y=y（x））的同時C其余（在B？奐C以外的）元 也必可有配偶∈W=C，矛盾！因W=C～A各元x均已有配偶y（x）∈A=B而無“單身”可供配對。故假設不成立即A≠B？奐C。這說明B？奐C各元x并非也均可由y（x）∈A代表即A中必有數y在B？奐C外。證畢。

因與x∈R相異或相等的實數均可表為y=x+△x（△x可=0也可≠0）故x變換為實數x+△x的幾何意義可是：一維空間“管道”g內R軸上的質點x∈R沿R軸方向移動變?yōu)檫€在g內的點x′=x+△x，即實數的改變可形象化（注！是真正的形象化而非沒有形象的假形象化）為管道g內質點的位置的改變（設各點只作位置改變而沒別的改變即變位前后的質點是同一質點）。數學的圖形可是離散的點的點集。直線上的點集Z：……（這不是省略號）各點可作保距或非保距平移。至少有兩元的點（數）集 A各元x保距（偏離原位）變?yōu)閤′=x+△x組成元為點x′的B≌A。鐵球是鐵分子的集合A，A變形為鐵板是因其組織結構變了，A平移到新位置成A′還是由移動前的所有鐵分子組成的集，這移動只是改變各分子的位置而不能改變A的組成成員和組織結構。同樣，保距變換是剛體運動從而不改變點集的組成成員和組織結構。極顯然：點集Z各點任意交換位置后還是原點集Z，但點與點之間的距離變大（?。┖螅慕M成成員沒變但組織結構變了）就不能還是原點集了。所以不改變組成成員的變距變換必改變點集的組織結構。有了各點還須有規(guī)定各點如何排列聚集的法則才能確

定一點集 ；點還是這些點，但其可聚集成長度為c的直線段A也可聚集成長為c的圓弧等等，A還可伸長（收縮） 變長（短）為新線段（～A）還由A的全部點組成。在紙片A上畫上幾個質點形成一點集。將A掛在畫有直角坐標系的黑板上后再讓A沿黑板不斷移動（保距變換），此時各點的位置坐標不斷變化但點集的組成成員、組織結構、各成員（所畫上的那幾個點）之間的距離關系，始終都沒變。這說明：質點的坐標與質點本身有根本區(qū)別從而使質點集與數集有根本區(qū)別。

h定理4：至少有兩元的點（數）集A={x}（B={y}）任兩異元x與x+△x（y與y+△y）之間的距離是|△x|（|△y|），A≌B的必要條件是A各元x有對應y（x）∈B且|△x|=|△y|即△y =±△x，充分必要條件是A、B各元有一一對應關系：x？圮y=±x+常數c。

證：A≌B時A與B的元必可有一一對應關系：x？圮y=y（x），距離|△x|=|（x+△x）-x|=|y（x+△x）-y（x）|=|△y|即△y=±△x；而當且僅當y=y（x）=±x+c時才有△y=y（x+△x）-y（x）=±（x+△x）+c-（±x+c）=±△x。證畢。

同理，二、三維空間點集A≌B的必要條件是...。注：欲判斷A？奐R（各元均由x代表）與B？奐R是否≌時，若A各元均由x代表則B各元須均由y=y（x）（x∈A）代表，h定理4說明A各點x通過各種保距變換變?yōu)樾碌狞cx+△x的坐標只能是y（x）=±x+c。在“一一對應相等”中應注意：0≤x≤1和0≤x+1≤1（-1≤x≤0）中括號外的x和y=x+1的變域均為區(qū)間q=[0，1]，即q各元是x，當變數x的變域是q時；q各元是y=x+1，當x的變域是[-1，0]時；x可=a∈q，y=x+1也可=a∈q，各x=a（a的變域是q）與各y=x+1=a當然可一一對應相等：x=a？圮x+1=a（恒等變換），但要注意箭頭兩邊的x是不相等的。

h定理5：至少有4元的點集（設想是質點集）K={x}的任何真子集A={x}？奐K都不可≌K。

證1：因保距變換不能改變點集的組成成員，故K去掉部分成員（元）變?yōu)锳？奐K是非保距變換使A不≌K。證2：A≌K的必要條件是K～A。據h定理3，A？奐K不～K故K不≌A。證畢。

N+={n≥1}？奐N，N各元n≥0保距變?yōu)閥=n+1>n生成～N的H={n+1≥1}（n≥0）≌N，中學幾百年“N+=H”其實是將兩異數列誤為同一數列的肉眼直觀錯覺。據h定理5，≌N的H不是N的任何真子集，據h定理3，H～N不是N的任何真子集——說明≠N的H各元y=n+1>n并非均∈N而其中必有N外標準自然數y0=n0+1>n0∈N。高等數學是研究變量的，而凡變量必有變域，變數必可遍取其變域的一切數。區(qū)間Q=[0，n]∪（n，n+1]中的變數n≥0由0→∞遍取N一切數n時Q的子區(qū)間[0，n]由0→∞地變長而長到包含N一切數n∈[0，n]。據中學區(qū)間概念在各[0，n]（n的變域為N）之外還有自然數n+1∈（n，n+1]——表明有N外自然數∈H。“包含一切已知標準正數的R各數x均有對應標準數x+1和x/2以及xn（自然數n≥2）等等”。R所有非負元x≥0組成R+。若用變域為R+的x≥0替換Q中n≥0則據區(qū)間概念在R+之外還有標準正實數。

可見一系列論據分別均表明N是有界集！5千年不識Ω使自有數集（列）和函數概念幾百年來數學一直不知：有胡子的不一定是爹，由偶數2g =0，2，4，…和2g+1組成的集不一定是N而有可能是N的真子（擴）集；從而使初等數學有幾百年重大錯誤：將根本不是N的真子集誤為N的真子集；將N的真子（擴）集誤為N；將無窮多似是而非的假N誤為N；從而將非可數集誤為可數集。

三、不識“更無理”數使中學幾百年解析幾何一直將兩異直線段誤為同一線段——由發(fā)現無理數到發(fā)現“更無理”的標準無窮小、大正數竟須歷時2500年

（一）集合、幾何起碼常識凸顯直線A沿本身伸縮或平移后就≠A了

說R軸各元點x可沿軸保距平移變?yōu)辄cy=x+△x=x+1>x就是說R軸可沿軸正向平移距離1變?yōu)閥=x+1軸，其余類推。R各元x保序變?yōu)閥（x）=x+△x=kx生成I={y}各元y=kx中的正常數k若≈1則I各元y=kx≈x與R各元x一一對應近似相等使I≈R（xy平面的直線y=kx≈x與直線y=x近似重合）；顯然當且僅當k=1時才有：I各元kx=x與R各元x一一對應相等使I=R。可見數集相等概念表明x軸沿本身保序伸縮變換為y（x）=kx軸≠x軸（正常數k≠1）。

h定理6：至少有兩元的數集A非恒等變換地保序變換為B必≠A。

證：A各數在集內分別都有一定的大小“名次、地位”，例在A={0，1，2}中：2是第一大的數，1是第二大的數，0是第三大的數；A各元x保序變?yōu)閤2組成B={0，1，4}也有第一大、第二大、第三大的元。大小互不同的雞組成集合A和B，a（b）是A（B）中第n大的雞，顯然若A=B則a和b必是同一雞。任一A={x}各數x保序變?yōu)閥=y（x）組成B={y（x）}，x∈A在A中的大小“地位”與y（x）∈B在B中的大小地位是一樣的，顯然若A=B則x與y（x）必是同一數，故若y（x）不≡x則B≠A。證畢。

集合起碼常識a和幾何起碼常識c顯示自有變換（函數）概念幾百年來數學一直存在重大錯誤：將變動了的直（射）線誤為不變直（射）線。R軸即x軸各點x沿軸 非恒等變換地保序 平移變?yōu)辄cx′=x+1生成元為點x′的x′=x+1軸≌x軸疊壓在x軸上，中學數學一直認定x軸=x′軸即函數x′=x+1的值域x′軸=x軸，因初中幾何有直線公理（有書“證明”這是定理）：過空間兩異位置點有且只能有一條直線。其實這是違反集合起碼常識a的肉眼直觀錯覺。理由：

（1）據h定理6，這 非恒等變換 前后的直線不相等（平面的直線：y=x（y 的變域是R）與y=x+1不重合；顯然若兩直線各點的縱坐標y=x與y=x+1能一一對應相等則兩線必重合）。（2）有最小元的R+各元x≥0均有對應x′=x+1>x，據h定理2，各x′∈x′軸并非均∈R+而必至少有一正數x′（∈x′軸）=η在R+外而>R一切數，顯然η是標準無窮大正數，而1/η是無窮小正數。所以R是有界集?。?）x軸即R軸有子部射線x≥0即射線R+，與x軸“重合”的x′軸也有射線x′≥0。R軸子部射線x≥-1（包含射線R+）沿R軸正向平移距離1變?yōu)樵獮辄cx′=x+1≥0的射線s（？奐x′=x+1軸）：x′=x+1≥0（x≥-1）疊壓在射線R+上。假設射線s=R+成立則據集合起碼常識a，s即射線x′=x+1≥0（x≥-1）的真子集：射線x′≥1各點x′=x+1≥1（x≥0）均有配偶x（≥0）∈R+的同時s的 其余點 x′=x+1<1也必可有配偶x（≥0）∈R+，矛盾！因R+各點x≥0都已有配偶x′=x+1≥1（x≥0）而無單身與s的其余點配對，故假設不成立即s≠R+——說明x′=x+1軸≠x軸。

所以射（直）線A沿A正向平移非0距離變成的射（直）線B≌A中有元點“更無理”地突破了A的“框框”而在A外使B≌A不可是A的真子集。否定無理數使數學自相矛盾，否定“更無理”數使初等數學出現違反集合起碼常識a的尖銳自相矛盾。

區(qū)間[0，1]表示0與1及0與1之間所有數組成的集，但要注意下文表明[0，1]與[0，1]？奐x軸或x′軸等，是不同區(qū)間；...。數學將R+記為[0，+∞）。射線R+各元x≥0保序不保距 變?yōu)閥=x+△x=x2≥0組成{x2}=Y（不≌R+）疊壓在R+上，說R+=Y就是說Y是射線R+?！盁o界”的R+與Y分別都有區(qū)間A=[0，1]？奐R+和B=[0，1]？奐Y，顯然若R+=Y則A必=B。A？奐R+各元x不保距 變?yōu)閥=x2生成元為y的B（？奐Y）不≌A，據幾何起碼常識c，B≠A（所以中學幾百年“B=A”是違反幾何常識c的錯誤）——表明R+≠Y。同理A各點x非保距變?yōu)辄cx′=xk（正常數k≠1）生成元為點x′的集≠A。由此可見僅憑幾何起碼常識c就可證“無界”的相應兩“重合”射（直）線是否真的重合。

R軸各點x沿軸平移變?yōu)辄cy=x+△x=2x生成元為點y的y=2x軸疊壓在x軸上。R軸的射線x≥1各元x≥1有對應y=2x>x，據h定理2，各y∈y軸并非均∈射線x≥1而必至少有一標準無窮大正數y（∈y軸）在射線x≥1外而>R一切數使y軸≠x軸。所以R軸是有界圖形！

R軸即x軸各點x沿軸 非恒等變換地保序不保距 平移變?yōu)辄cx′=x+△x=0.5x生成元為點x′的x′=0.5x軸，中學一直認定x軸=x′軸，因有直線公理。其實這是肉眼直觀錯覺。理由：（1）據h定理6這…。（2）x′=0.5x軸不≌x軸，據幾何起碼常識c，x′軸≠x軸。（3）有最大元的區(qū)間T=（0，2]？奐R各元x均有對應x′=0.5x

由上可見僅憑h定理2、6就可證“無界”的R軸沿本身平移或伸縮（伸縮系數k>0且≠1可取無窮多數）可變?yōu)闊o窮多各異直線（均由標準實數點組成）相互疊壓在一起，而中學幾百年解析幾何一直只識其中的一條直線且將無窮多各異直線誤為同一線：R軸。這是因數學一直不知有用而不知的R外標準實數，不知伸縮前后的直線若組成成員相同則組織結構不同，兩者是“同分異構”體。所以“直線公理”和“R完備、封閉”論是“以井代天”的“井底”誤區(qū)。將各異直線誤為同一線自然就會將各異直線段誤為同一線段（以及將各異面誤為同一面）。

（二）幾何起碼常識c凸顯中學幾百年解析幾何一直將兩異直線段誤為同一線段——百年病態(tài)集論的癥結

流傳幾百年使世人深信不疑的中學函數“常識”：“定義域=[0，2]？奐R的y=x/2=0.5x的值域=[0，1]？奐R”其實是違反幾何起碼常識c的肉眼直觀錯覺。直線段L=[0，2]？奐x軸有子部線段D=[0，1]？奐x軸即L=D∪（1，2]？奐L，L各元點x沿x軸負向平移變?yōu)辄cx′=x+△x=0.5x生成元為點x′的線段D′（～L）=[0，1]？奐x′=0.5x軸?！獿的D′≠D？奐L（表明x軸≠x′=0.5x軸）的理由：

（1）L=[0，2]？奐x軸各點x變?yōu)辄cx′=0.5x∈D′生成D′（～L）=[0，1]？奐x′軸。將3斤重的一包餅干A壓縮成壓縮餅干B使B的體積遠小于A的體積，有人以為B是A的一小部分而將其一下子吃光，結果...。這是致命錯誤。同樣，據h定理3（此理成立的依據是集合起碼常識a），D′～L不是L的子部D=[0，1]？奐L即線段L收縮成D′～L不能成為L的一部分D，中學的D′=D是使康脫誤入百年歧途的重大核心錯誤。L壓縮變短為D′～L是改變點集的組織結構的變換。D任兩異元點間的距離是|△x|>0，這兩點的對應兩點∈D′之間的距離是|△x′|=|0.5△x|<|△x|說明D′與D有不同的組織結構。（2）據h定理3，～L的D′不是L的任何真子集說明≠L的D′各元x′=0.5x并非均∈L而其中必有數學一直未能識的“特異”的x′=0.5x=t在L？勱D外。以上的（一）已證明在D′=[0，1]？奐x′軸中有無窮小正數x′=0.5x

（4）假設D′={0.5x}=D={x}成立則D=D′各元均由x代表的同時也均可由0.5x∈D′代表，在D=D′方各元0.5x 與L～D′方各元x一一配對后再令D=D′各元0.5x改與=自己的數0.5x∈L=D∪（1，2]？奐L配對使D方保持無單身，據改偶定理L方也只有0個單身；然而事實上因L方的D？奐L各元與D=D′方各元如此配對后就將D=D′方的元配光了從而使L=D∪（1，2]？奐L中D以外的數∈（1，2]？奐L都不可有配偶∈D=D′而成單身。故假設不成立“D′=D”是一種錯覺。

中學將D′～L和D？奐L誤為同一線段使康脫推出錯上加錯的病態(tài)理論：L～D？奐L?！?D卻不≌D的D′”中的D′=D因違反幾何起碼常識c從而確“是自相矛盾的非集[1]”，而真正的無窮集D′≠D。將一根針全部插入一蠟燭內，針不能成為蠟，但肉眼不能察覺蠟燭內有非蠟的針；同樣，D′與D是貌似重合的偽二重直線段，兩者只有重疊或相互嵌入關系而無重合關系，D′∪D≠D；但“肉眼”階段的數學一直不能察覺D′與D似是而非，不能察覺D′中有R外標準正數，從而被偽二重集迷惑。

設射線x≥0去掉起點x=0后就成為“缺起點”射線x>0。[6]書將R軸一切正數點x組成的射線x>0稱為正實軸。復平面z=x+iy的點z=0的對應點w=z2=0。[6]書208頁：映射w（z）=zn（自然數n≥2）將正實軸z=x>0映射成正實軸w=zn=xn>0。說射線z=x>0的象w=zn=xn>0也是射線是正確的，但說這象=原象就違反幾何起碼常識c了，因映射z？圮w=zn是非保距映射使象不≌原象從而更≠原象。據h定理6和幾何起碼常識c可證中學一直將無窮多各異射線x≥0、x2≥0、x3≥0、...、2x2≥0、3x2≥0、...誤為同一線。

四、將“非常高深理論”還原為非常樸實科學常識勢必能大大減輕學生學習負擔和縮短學制——推翻巴拿赫-塔爾斯基分球定理

幾何學有一病態(tài)的巴拿赫-塔爾斯基分球定理，據此定理可推出“一顆豌豆可變成碩大無比的太陽”；據h定理可證此“高深莫測”的“定理”的癥結是將“自相矛盾的非集[1]”誤為無窮集，從而將偽合同、偽重合圖形誤為合同、重合圖形。

學習上不能滿足于只知其然不知其所以然的低層次淺薄。傅種孫：“有多邊形于此，截去一角所余必不與原形等積。試問何以知其然？答道‘全體大于部分。區(qū)區(qū)6字就解決了。事實上問題并不是這樣簡單，須知希爾伯特費十數頁的篇幅才把它解決的。”（《數學通報》1962/11，25頁）——可見“全體大于部分”的正確性使希爾伯特費十數頁的篇幅才能解決的問題只用區(qū)區(qū)6字就解決了。本來根據連小學生也一看就知的非常樸實的幾何常識就能證明的小學數學題卻要“故弄玄虛”地變?yōu)樾钃胺浅８呱罾碚摗辟M十數頁才能證明的大學數學題，這是典型的化簡為繁、化清為濁。數學的證明中有不少類似這樣化簡為繁的例子（例對隱函數存在定理的證明）。這勢必大大增加學生的學習負擔（使“減負”成空話）和不得不延長學制。產生出遠遠脫離實際從而對經濟建設和加強國防毫無用處的“高深莫測”“數學”的癥結是對數與形的認識有驚人淺薄和極重大錯誤；“深入才能淺出，淺入就只能深出。”“假傳萬卷書，真?zhèn)饕痪湓?。”正確反映現實世界的空間形式與數量關系的數學才是真正的數學。

五、結語

“區(qū)區(qū)6字就能解決”變成“費十數頁才能解決”現象說明百多年集論百多年來浪費了億萬學生（包括物理、哲學、邏輯學專業(yè)的學生）大量寶貴時間（“時間就是金錢，…”）與精力以及億萬元寶貴學費。育人課本的重大錯誤造成的重大經濟損失一點也不亞于經濟建設的重大錯誤造成的經濟損失，是否及時糾正與每一人的切身利益息息相關。沒思維望遠（顯微）鏡的“肉眼”數學被無窮對象中的假象迷惑從而陷入以井代天和張冠李戴的“井底蛙”誤區(qū)，這誤區(qū)使康脫誤入百年歧途推出康健離脫的病態(tài)理論。破除迷信、解放思想、實事求是才能創(chuàng)造5千載難逢的神話般世界奇跡使數學發(fā)生革命飛躍：從“井底”一下子躍出進入到認識“更無理”的數和圖形的時代從而不再被蒙在“井”里；從肉眼數學一下子突變成科學慧眼數學。

參考文獻：

[1] 朱梧槚，肖奚安，杜國平，等.關于無窮集合概念的不相容性問題的研究[J].南京郵電大學學報（自然科學版），2006（6）：36-39.

[2] 黃小寧.憑中學數學常識發(fā)現數學課本一系列重大錯誤——讓中學生也能一下子認識2300年都無人能識的直線段[J].數理化解題研究，2016（24）：19-23.

[3] 黃小寧.不等式、集合、幾何起碼常識凸顯課本一系列重大錯誤——讓2300年都無人能識的直線段一下子暴露出來[J].數學學習與研究，2016（5）：151-155.

[4] 黃小寧.數列、集合、邏輯學起碼常識暴露課本一系列重大錯誤——數列起碼常識否定5千年“常識”：無最大自然數[J].科技視界，2015（32）：5-6.

[5] 黃小寧.證明數偶集{（1，2）（3，4）…（2n-1，2n）…}有最大數元——反復論證集有奇、偶型之分糾正課本重大錯誤[J].科技視界，2014（24）：362-362.

[6] 陸慶樂.工程數學·復變函數.4版[M].北京：高等教育出版社，1996.