變化的“M”型

在數(shù)學問題解決的過程中，有些問題是一類的，它們往往有共同的特征和屬性.同學們學習“平面圖形的認識（二）”常常會見到“M”形圖的問題.在處理和解決這類問題時應該注意什么呢？

一、重溫“經(jīng)典”

例題 已知：如圖1，直線AB∥CD，∠B、∠D、∠E有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論.

[圖2][圖1]

解：∠E =∠B+∠D.

結論是如何得出呢？

思路一：

如圖2，過點E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，

∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，

∴∠D=∠FED，

∴∠BED =∠BEF+∠FED，

即∠BED =∠B+∠D.

思路二：

如圖3，延長DE交AB于點F.

∵AB∥CD，∴∠D=∠BFE.

∵∠BED=∠BFE+∠B，

∴∠BED=∠D+∠B.

思路三：

如圖4，連接BD.

∵AB∥CD，

∴∠ABD+∠BDC =180°，

∴∠ABE+∠EBD+∠BDE+∠CDE =180°.

∵∠BED+∠EBD+∠BDE =180°，

∴∠BED=∠ABE+∠CDE.

【解題反思】無論是作平行線還是延長線段或者是連接線段，其目的就是建立起角與角之間的關系.

二、百變“M”秀

變式1：將圖1中的點E“拉”到直線BD的右邊，如圖5，∠B、∠D、∠E有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論.

[圖5]

[圖6]

解：∠B+∠D+∠E=360°.

如圖6，延長DE交AB的延長線于點F.

∵AB∥CD，

∴∠D+∠F =180°，

∵∠BED=∠FBE+∠F，

∴∠ABE+∠BED+∠D =∠ABE+∠FBE+∠F+∠D=180°+180°=360°.

【說明】本題的解決方法與例題類似，方法不唯一，輔助線的添加除了上面的方法，也可過點E作EF∥AB，還可以連接BD.

變式2：將圖1中的點E“拉”到直線CD的下面，如圖7，∠B、∠D、∠E有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論.

圖7

解：∠E=∠B-∠D.

∵AB∥CD，∴∠B=∠CFE.

∵∠E=∠CFE-∠D，∴∠E=∠B-∠D.

變式3：將圖1中直線AB繞著點B逆時針旋轉一定的角度交直線CD于點Q，如圖8，∠B、∠D、∠BED、∠BQD之間有怎樣的數(shù)量關系？說明你的理由.

[圖8][圖9]

解：∠BED=∠B+∠D+∠BQD.

如圖9，連接QE，并延長QE至點G.

∵∠BEG=∠B+∠BQE，∠DEG=∠D+∠DQE，

∴∠BED=∠BEG+∠DEG=∠B+∠BQE+∠D+∠DQE=∠B+∠D+∠BQD.

三、慧眼識“M”

1.將兩張長方形的紙片如圖10所示擺放，使其中一張長方形紙片的一個頂點恰好落在另一張長方形紙片的一條邊上，則∠1+∠2=

°.

【分析】觀察五邊形AEHGD，這是如圖1的經(jīng)典的“M”型，∠1+∠2=∠H=90°.

2.某單位大門的欄桿如圖11所示，AB垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，則∠ABC+∠BCD= °.

【分析】觀察“圖形FEABCD”，因為CD平行于地面AE，這是圖5經(jīng)過變化后的“M”型，則∠EAB+∠ABC+∠BCD=360°，又AB垂直地面AE于A，所以∠EAB=90°，故∠ABC+∠BCD=360°-90°=270°.

3.已知，如圖12，AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C的度數(shù).

【分析】本題如果隱去線段AB（如圖13），就是圖7經(jīng)過變化的“M”型，則∠C=∠1-∠2=2∠2=2×25°=50°.

4.已知，如圖14，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= °.

【分析】在圖14中，可以“分離”出一個由圖8經(jīng)過變化后的“M”型（如圖15），顯然∠AGB=∠A+∠B+∠E，又∠AGB與∠CGF為對頂角，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠AGB+∠C+∠D+∠F=∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°（四邊形CDFG的內角和為360°）.

學習數(shù)學離不開解題，但是解題不等于傻練，解題的過程中要注重理解，要注意分析、歸納和總結，學會解題反思，在解題的過程中提升理解數(shù)學的能力.

（作者單位：江蘇省無錫市蠡園中學，無錫市龐彥福名師工作室）