“火眼金睛”識(shí)圖，“七十二變”推理

平行線是最基本的平面圖形，七年級(jí)上學(xué)期我們已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了它的定義和基本性質(zhì)，即在同一平面內(nèi)兩條不相交的直線，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.本學(xué)期學(xué)習(xí)平行線的性質(zhì)和判定要在理解的基礎(chǔ)上牢記于心，運(yùn)用的關(guān)鍵是要識(shí)別或者構(gòu)造基本圖形：、、.三角形是多邊形中最為簡(jiǎn)單、最基本，也是最重要的圖形，是初中幾何研究的主要內(nèi)容之一，很多多邊形的問(wèn)題都要轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題來(lái)解決，三角形的內(nèi)角和以及外角和定理是幾何中的基本定理，要熟練掌握、靈活運(yùn)用.

例1 （2017·南充）如圖1，直線a∥b，將一個(gè)直角三角尺按如圖1所示位置擺放，若∠1=58°，則∠2的度數(shù)為（ ）.

A.30° B.32° C.42° D.58°

【解決思路1】如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AB∥b，則有∠3=∠1=58°，因?yàn)椤?+∠4=90°，所以∠4=90°-∠3=32°，因?yàn)閍∥b，AB∥b，所以AB∥a，所以∠2=∠4=32°，故選B.

[圖2]

【說(shuō)明】問(wèn)題解決的關(guān)鍵在于添加輔助線，并根據(jù)平行線的性質(zhì)得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，從而把題目給出的條件有效聯(lián)系在一起，構(gòu)造基本圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵和突破口.

【解決思路2】如圖3，延長(zhǎng)BA交直線a于點(diǎn)C，因?yàn)閍∥b，所以∠1=∠DCA=58°，因?yàn)椤螧AD+∠DAC=180°，所以∠DAC=90°.在△ACD中，∠DAC+∠2+∠DCA=180°，所以∠2=32°，故選B.

【說(shuō)明】求角的度數(shù)，通常把角放到三角形中，利用三角形的內(nèi)角和等于180°來(lái)求，本題延長(zhǎng)BA既構(gòu)造了三角形，又出現(xiàn)了內(nèi)錯(cuò)角相等，得到兩個(gè)基本圖形就可以解決問(wèn)題了.當(dāng)然也可以延長(zhǎng)DA.

【解決思路3】如圖4，連接BC，在△ABC中，∠A+∠ACB+∠ABC=180°，所以∠ACB+∠ABC=90°，因?yàn)閍∥b，所以∠DBC+∠ECB=180°，也就是∠1+∠2+∠ABC+∠ACB=180°，所以∠1+∠2=90°，∠2=32°，故選B.

[圖4]

【說(shuō)明】連接BC，構(gòu)造了三角形ABC，同時(shí)得到一對(duì)同旁內(nèi)角，利用平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理問(wèn)題得到解決，對(duì)于幾何問(wèn)題要善于在復(fù)雜問(wèn)題中找到基本圖形或者構(gòu)造出基本圖形.

例2 （2017·慶陽(yáng)）已知a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)[a+b-c]-[c-a-b]的結(jié)果為（ ）.

A.2a+2b-2c B.2a+2b

C.2c D.0

【解決思路】化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式，關(guān)鍵就是要判斷絕對(duì)值里面代數(shù)式的符號(hào)，由三角形兩邊之和大于第三邊可知：a+b-c>0，c-a-b<0，[a+b-c]-[c-a-b]=a+b-c-（-c+a+b）=a+b-c+c-a-b=0，故選D.

【說(shuō)明】與三角形的三邊有關(guān)的不等式問(wèn)題通常是利用三角形的“三邊關(guān)系”，即“任一邊大于另兩邊之差，小于另兩邊之和”來(lái)解決問(wèn)題，對(duì)于含有字母的式子要注意符號(hào)，特別容易出錯(cuò).

例3 如圖5，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°.

<（1）請(qǐng)判斷AB與CD的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；

（2）如圖6，當(dāng)∠E=90°且AB與CD的位置關(guān)系保持不變，移動(dòng)直角頂點(diǎn)E，使∠MCE=∠ECD，當(dāng)直角頂點(diǎn)E點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠BAE與∠MCD否存在確定的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；

（3）如圖7，P為線段AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)且AB與CD的位置關(guān)系保持不變，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)C除外），∠CPQ+∠CQP與∠BAC有何數(shù)量關(guān)系？猜想結(jié)論并說(shuō)明理由.

[圖7]

【解決思路】（1）AB∥CD.因?yàn)镃E平分

∠ACD，所以∠DCA=2∠ACE，同理∠BAC=2∠EAC，

所以∠BAC+∠DCA=2∠EAC+2∠ACE=180°，所以AB∥CD.

（2）如圖8，延長(zhǎng)AE與CD相交于點(diǎn)F，因?yàn)锳B∥CD，所以∠BAE=∠AFC.在△CEF中，∠CEF+∠EFC+∠ECD=180°，所以∠EFC+∠ECD

=90°，∠BAE+[12]∠MCD=90°.

[圖8]

（3）∠CPQ+∠CQP=∠BAC.因?yàn)锳B∥CD，所以∠BAC+∠ACD=180°，在△CPQ中，∠CPQ+∠ACD+∠CQP=180°，所以∠CPQ+∠CQP=∠BAC.

【說(shuō)明】要探索兩條直線是否平行，仍然要找到基本圖形，問(wèn)題（1）是用整體思想證明一對(duì)同旁內(nèi)角互補(bǔ).問(wèn)題（2）可以找∠BAE的內(nèi)錯(cuò)角，利用三角形內(nèi)角和定理解決問(wèn)題，也可以過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線解決.解決問(wèn)題的思路往往是多種多樣的，因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中要多觀察，多思考，同一個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程中不妨多思考幾種方法或思路.

（作者單位：江蘇省江陰市第一初級(jí)中學(xué)，無(wú)錫市龐彥福名師工作室）