淺析分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題方法和策略

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(臨沂北城小學(xué))

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：“學(xué)生將通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)了解數(shù)學(xué)與生活的廣泛聯(lián)系，學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，獲得運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的思考方法?！狈?jǐn)?shù)應(yīng)用題是小學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，由于抽象程度比較高，學(xué)生難以理解和掌握。怎樣解決好這一難題，成為眾多教師教學(xué)研究的熱點(diǎn)。

我認(rèn)為解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵是數(shù)量關(guān)系，在理解題意的基礎(chǔ)上，找準(zhǔn)單位“1”，抓住重點(diǎn)詞句進(jìn)行分析，找到數(shù)量之間的等量關(guān)系，確定了數(shù)量之間的相互關(guān)系，才能得到解決方法。因此，我們應(yīng)重視教給學(xué)生解決應(yīng)用題的方法，提高解決問(wèn)題的能力。

一、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的類(lèi)型

根據(jù)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題分率句的特點(diǎn)，我們把分?jǐn)?shù)應(yīng)用題分為兩大類(lèi)型。第一大類(lèi)是簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)的應(yīng)用題，也就是一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾的問(wèn)題。它又可以分為三種類(lèi)型：一是求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾，二是求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，三是已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)是多少。這三種基本題型，是所有分?jǐn)?shù)應(yīng)題學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，就好比大樓的地基，一定要打好基礎(chǔ)，學(xué)生才能更好地理解掌握分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解決方法。第二大類(lèi)是稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，也就是一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多(少)幾分之幾的問(wèn)題。

根據(jù)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的過(guò)程分為三個(gè)階段。第一階段是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)單的應(yīng)用題，理解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)，打好學(xué)習(xí)應(yīng)用題的基礎(chǔ)。第二階段是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)復(fù)合應(yīng)用題，采用乘除混合編排方式，讓學(xué)生進(jìn)一步感受理解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)。第三階段學(xué)習(xí)稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題和工程問(wèn)題。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的基礎(chǔ)題型是簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題，它不僅是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題的前位知識(shí)，還是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)復(fù)合應(yīng)用題的基礎(chǔ)。這樣的編排體現(xiàn)了由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由易到難的知識(shí)結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

二、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題方法

(一)簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題方法

在解決簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，我給學(xué)生總結(jié)出了“一找二判三寫(xiě)四列”的幾個(gè)步驟。一找，就是找到題中表示兩種數(shù)量關(guān)系的句子，我們把它稱(chēng)作為“分率句”。二判，指分析分率句所表示的意義，判斷哪種量作為單位“1”。三寫(xiě)，是根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義寫(xiě)出數(shù)量關(guān)系，單位“1”×分率=對(duì)應(yīng)量。四列，根據(jù)數(shù)量關(guān)系和已知條件進(jìn)行列式解答。利用這樣的方法，根據(jù)單位“1”是已知還是未知，就能判斷出已知用乘法，未知用方程或除法解答。在簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)乘法除法應(yīng)用題中，反復(fù)使用這個(gè)解答步驟以達(dá)到熟練程度，解決復(fù)合應(yīng)用題就變得非常簡(jiǎn)單了，并且對(duì)后面的稍復(fù)雜分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)能有相當(dāng)大的幫助。

(二)稍復(fù)雜分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題方法

在解決稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題題型時(shí)，仍然運(yùn)用“一找二判三寫(xiě)四列”方法進(jìn)行解決。但是和簡(jiǎn)單應(yīng)用題不同的就是分率句，重點(diǎn)要理解分率句所表示的意義。這種應(yīng)用題有兩種解題思路，第一種是，明白單位“1”×分率=多的(少的)，然后再用單位“1”+(-)多的(少的)=比較量，綜合式子為單位“1”+(-)單位“1”×分率=比較量；第二種是，把稍復(fù)雜的分率句轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的分率句，利用1+(-)分率表示比較量是單位“1”的幾分之幾，然后用單位“1”乘幾分之幾求出比較量，綜合的式子為單位“1”×[1+(-)分率]=比較量，這種解題方法要加強(qiáng)轉(zhuǎn)化訓(xùn)練，要熟練轉(zhuǎn)化“甲比乙多(少)幾分之幾”變成“甲是乙的1+(或-)幾分之幾”，對(duì)這種轉(zhuǎn)化加強(qiáng)訓(xùn)練后學(xué)生就能輕松地從“多(少)幾分之幾”的分率句中得出“是幾分之幾”的分率句，從而把稍復(fù)雜應(yīng)用題轉(zhuǎn)變成前面所學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)單應(yīng)用題。

三、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題策略

(一)會(huì)用線(xiàn)段圖

教師要教會(huì)學(xué)生會(huì)看、會(huì)畫(huà)線(xiàn)段圖，通過(guò)觀(guān)察線(xiàn)段圖，如果單位“1”對(duì)應(yīng)的數(shù)量是已知的，就用乘法，找未知數(shù)量對(duì)應(yīng)的分率;如果單位“1”對(duì)應(yīng)的數(shù)量是未知的，就用方程或除法，找已知數(shù)量對(duì)應(yīng)的分率。特別是一些內(nèi)容較多，關(guān)系較亂的問(wèn)題，通過(guò)線(xiàn)段圖的方法就能很清晰地找出題中的數(shù)量關(guān)系，比較容易地解決問(wèn)題。

如小紅和小明兩人共存人民幣若干元，其中小紅占3/5，若小明給小紅60元后，則小明余下的錢(qián)占總數(shù)的1/4，小紅和小明兩人各存人民幣多少元？

根據(jù)題意畫(huà)線(xiàn)段圖：從線(xiàn)段圖上一目了然，60元的對(duì)應(yīng)分率是(1-3/5-1/4)，于是可求出小紅和小明兩人共存人民幣多少元，進(jìn)而可求出兩人各存人民幣多少元。

60÷(1-3/5-1/4)=3200(元)……小紅和小明兩人共存?3200×3/5=1920(元)……小紅

3200×(1-3/5)=1280(元)……小明

或3200-1920=1280(元)

(二)活用轉(zhuǎn)化法

在一道分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，如果出現(xiàn)了幾個(gè)分率，而且這些分率的單位“1”不同，在解題時(shí)，必須以題中的某一個(gè)量為標(biāo)準(zhǔn)量，將其余量的對(duì)應(yīng)分率統(tǒng)一到這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量上來(lái)，才可列式解答。有些分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，可以通過(guò)改變看問(wèn)題的角度，將題中某些已知數(shù)量轉(zhuǎn)化成與之有關(guān)聯(lián)的另一個(gè)數(shù)量，使之成為一個(gè)較為熟悉的簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而找到解題的新方法。

如小明、小英、小麗和小華四人愛(ài)好集郵，小明的郵票數(shù)是小英的1/2，小英的郵票數(shù)是小麗的1/3，小麗的郵票數(shù)是小華的1/4，已知四人共集郵132張，小明集郵多少?gòu)垼?/p>

題中有三個(gè)不帶單位的分率，它們的單位“1”分別是小英、小麗和小華；肯定用除法；題中只有一個(gè)帶單位的數(shù)量：132張，列式一定是用132去除；132是指四人集郵總數(shù)，應(yīng)除以四人的分率總和，題目最關(guān)鍵就是要把四人的分率表示出來(lái)，由于存在不同的單位“1”，首先必須把不同的單位“1”統(tǒng)一成一個(gè)單位“1”。有正確的思路，才知道該做什么。

把題中三個(gè)單位“1”，統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成以小華的集郵數(shù)做單位“1”。小華是單位“1”，根據(jù)“小麗的郵票數(shù)是小華的1/4”，小麗就是1/4；根據(jù)“小英的郵票數(shù)是小麗的1/3”，小英就是：1/3×1/4=1/12；根據(jù)“小明的郵票數(shù)是小英的1/2”，小明就是：1/2×1/12=1/24，現(xiàn)在四人的分率都表示出來(lái)了，可以除了。

132÷(1+1/4+1/12+1/24)=132÷11/8=96(張)

算出來(lái)的是單位“1”：小華的郵票張數(shù)，小明的張數(shù)是：96×1/24=4(張)

(三)巧用不變量

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)量不統(tǒng)一的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，如果我們能從題中找到一個(gè)不變量，就以不變量為突破口，便能夠很快找到解題方法。

如一個(gè)車(chē)間有工人360人，其中女工占3/5，后來(lái)又招進(jìn)一批女工，這時(shí)女工人數(shù)占全車(chē)間工人總?cè)藬?shù)的5/8，又招進(jìn)女工多少人？

從題中可知，女工人數(shù)起了變化，引起全車(chē)間工人總?cè)藬?shù)起了變化，但是男工人數(shù)始終沒(méi)有增減，因此，抓住男工人數(shù)沒(méi)有變化這個(gè)不變量來(lái)分析。當(dāng)全車(chē)間工人為360人時(shí)，女工占3/5，則男工占1-3/5=2/5，為360×2/5=144(人)。又招進(jìn)一批女工后，女工人數(shù)占這時(shí)全車(chē)間工人總?cè)藬?shù)的5/8，則男工人數(shù)占這時(shí)全車(chē)間工人總?cè)藬?shù)的1-5/8=3/8，因此，這時(shí)全車(chē)間有工人144÷3/8=3849(人)。原來(lái)全車(chē)間有工人360人，現(xiàn)在增加到384人，增加的原因是由于招進(jìn)了一批女工，故又招進(jìn)女工384-360=24(人)。綜合算式：360×(1-3/5)÷(1-5/8)-360=24(人)。

以上是筆者在教學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)總結(jié)的幾點(diǎn)方法，它的解法不是絕對(duì)孤立的，因此，在教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用，以形成自己的解題技能技巧。