微線段齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性分析

黃 康， 汪 濤

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 合肥 230009)

齒輪作為最廣泛的傳動(dòng)形式之一，其振動(dòng)與噪聲一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者普遍關(guān)注的問(wèn)題。漸開(kāi)線齒輪的動(dòng)力學(xué)特性已有大量研究，李潤(rùn)方等[1]系統(tǒng)的總結(jié)了漸開(kāi)線齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。Parker等[2]建立了兩自由度齒輪動(dòng)力學(xué)模型，分析了齒輪在不同轉(zhuǎn)動(dòng)頻率下的傳動(dòng)誤差的跳躍性；Vaishya等[3]建立了一對(duì)直齒輪的動(dòng)力學(xué)模型，研究了時(shí)變摩擦力對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)的影響；陳思雨等[4]研究了修形對(duì)齒輪動(dòng)力學(xué)的特性的影響；李發(fā)家等[5]研究了高與低重合度對(duì)齒輪分叉與跳躍特性的影響；常樂(lè)浩等[6]提出了齒輪綜合嚙合誤差的計(jì)算方法并分析了嚙合誤差對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響。

微線段齒輪[7]作為一種特殊齒形的齒輪，其通過(guò)齒形設(shè)計(jì)來(lái)達(dá)到凸凹嚙合，相比漸開(kāi)線齒輪其承載能力、耐磨性、傳動(dòng)效率均有所提高[8-12]。目前，對(duì)于微線段齒輪的研究主要集中于成形原理、參數(shù)選擇、強(qiáng)度分析等，但缺乏其動(dòng)力學(xué)特性研究。而本文針對(duì)微線段齒輪的特點(diǎn)，利用有限單元法求解了微線段齒輪的時(shí)變嚙合剛度，并通過(guò)等效嚙合線法建立了微線段齒的動(dòng)力學(xué)模型求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，分析對(duì)比了兩種齒輪在不同轉(zhuǎn)速、載荷下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)、全局幅頻響應(yīng)以及混沌分叉特性，為微線段齒輪的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)提供了理論指導(dǎo)。

1 微線段齒輪參數(shù)

由微線段齒輪的成型原理可知，微線段齒輪齒形主要取決于初始?jí)毫?、壓力角增量與初始基圓半徑，其成型由標(biāo)準(zhǔn)微線段齒條為基準(zhǔn)，初始?jí)毫呛苄?，故選取很大的基圓半徑來(lái)保證較小的初始?jí)毫?。齒輪幾何參數(shù)及材料屬性見(jiàn)表1，其齒廓與漸開(kāi)線對(duì)比如圖1。

表1 齒輪幾何參數(shù)及材料屬性

圖1 微線段齒輪與漸開(kāi)線齒輪齒廓Fig.1 Tooth profile of micro-segment gear and involute gear

2 動(dòng)力學(xué)模型

2.1 運(yùn)動(dòng)微分方程

由于微線段齒廓的特殊性，傳統(tǒng)的漸開(kāi)線模型不能適應(yīng)于微線段齒輪。微線段齒輪具有多壓力角嚙合傳動(dòng)的特點(diǎn)，其嚙合線為近似正弦曲線，且初始嚙合點(diǎn)以及曲線的幅值與齒輪的初始設(shè)計(jì)參數(shù)相關(guān)。其嚙合線如圖2所示。

圖2 微線段齒輪嚙合線Fig.2 Themeshing line ofmicro-segment gear

用三階傅里葉變換擬合曲線，則等效側(cè)隙可表述為：

建立一對(duì)微線段直齒輪副的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型，假設(shè)傳動(dòng)軸和軸承均為剛性，考慮齒輪的綜合誤差，其模型簡(jiǎn)圖如圖4所示。

圖3 微線段與漸開(kāi)線齒輪等效側(cè)隙Fig.3 Equivalent lateral clearance of micro-segment and involute gear

圖4 直齒輪副扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型Fig.4 Torsional vibration model of spur gear pair

則根據(jù)牛頓第二定律，主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的運(yùn)動(dòng)微分方程分別為：

(1)

2.2 時(shí)變嚙合剛度計(jì)算

齒輪的時(shí)變嚙合剛度是影響齒輪動(dòng)力學(xué)特性的主要因素之一，本文通過(guò)有限元法，建立微線段與漸開(kāi)線齒輪的多齒嚙合模型，保留整個(gè)齒圈，并通過(guò)接觸分析求解得到齒輪的節(jié)點(diǎn)位移。微線段齒輪的嚙合有限元模型,如圖5。

圖5 微線段齒輪有限元模型Fig.5 Finite element model of micro-segment gear

齒輪1(左)為主動(dòng)輪，在主從動(dòng)輪中心建立參考點(diǎn)，主從動(dòng)輪內(nèi)圈分別耦合參考點(diǎn)建立剛性連接。僅保留主動(dòng)輪周向旋轉(zhuǎn)自由度，從動(dòng)輪全約束，并設(shè)置多齒接觸對(duì)。在主動(dòng)輪參考點(diǎn)上施加扭矩Ta，求解有限元模型，計(jì)算主動(dòng)輪的相對(duì)轉(zhuǎn)角θ，則此嚙合位置下的齒輪嚙合剛度k與轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系可表示為：

kRaθ=Ta/Ra

(2)

將嚙合過(guò)程離散化，通過(guò)旋轉(zhuǎn)主從動(dòng)輪使得主從動(dòng)輪處于不同的嚙合位置，分別求解有限元模型，得到嚙合過(guò)程中不同位置下的嚙合剛度，擬合得其剛度曲線如圖6。

圖6 微線段與漸開(kāi)線齒輪時(shí)變嚙合剛度Fig.6 Time-varying meshing stiffness of micro-segment and involute gear

由于微線段齒輪為凹凸接觸，且齒根較寬，其接觸彎曲接觸強(qiáng)度高，但重合對(duì)相比漸開(kāi)線有所降低。微線段齒輪剛度取決于其初始參數(shù)的選取，通過(guò)選取不同參數(shù)能夠得到不同的剛度特性。將兩種齒輪剛度曲線通過(guò)傅里葉擬合后代入動(dòng)力學(xué)方程中求解。

2.3 方程的無(wú)量綱化

(3)

將齒輪綜合傳動(dòng)誤差表示為：

(4)

對(duì)方程(1)進(jìn)行無(wú)量綱化，則無(wú)量綱化后的方程為：

(5)

3 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性分析

3.1 不同轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)響應(yīng)

取b=100μm，ζ=0.1，分別取Ω=0.2、0.8、1.6、2，T=200 N·M、600 N·M、1 000 N·M、1 000 N·M，利用變步長(zhǎng)4階龍格庫(kù)塔 (Runge-Kutta)法求解動(dòng)力學(xué)方程，分析系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速、載荷下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。其動(dòng)力學(xué)響應(yīng)如圖7所示。

由圖7可知，Ω=0.2時(shí)，兩種齒輪均為單周期運(yùn)動(dòng)，微線段齒輪振動(dòng)幅值較大；當(dāng)Ω增大到0.8時(shí)，從相圖中可以看出兩種齒輪均為單周期運(yùn)動(dòng)，微線段齒輪的振動(dòng)均值與幅值均明顯小于漸開(kāi)線；當(dāng)Ω為1.6時(shí)，兩種齒輪均出現(xiàn)了超諧與次諧響應(yīng)，由相圖可知，此時(shí)漸開(kāi)線齒輪為四周期運(yùn)動(dòng)，微線段齒輪為雙周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)Ω為2.2時(shí)，兩種齒輪均為單周期運(yùn)動(dòng)，且微線段齒輪的振動(dòng)均值與幅值均明顯小于漸開(kāi)線。

綜合四種頻率的系統(tǒng)響應(yīng)可知，由于微線段齒輪剛度較大，重合度較低，在輕載時(shí)更容易發(fā)生脫齒與沖擊，在中高速重載傳動(dòng)時(shí)，具有良好的動(dòng)力學(xué)特性，且相比漸開(kāi)線齒輪有較好的穩(wěn)定性。

3.2 系統(tǒng)的全局響應(yīng)與分叉特性

為了對(duì)比分析微線段齒輪與漸開(kāi)線齒輪的特性，研究不同參數(shù)下系統(tǒng)的全局幅值響應(yīng)與分叉特性。選取b=100 μm，取ζ=0.05時(shí)，兩種齒輪的幅值曲線，如圖8。

圖8中xmax、xm分別代表系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的最大值與均值。由圖8可知，兩種系統(tǒng)均產(chǎn)生了亞諧波共振(Ω=0.5)。微線段齒輪的共振峰值與均值相比漸開(kāi)線齒輪偏小。當(dāng)取Ω=0.68、1.258時(shí)，兩種齒輪幅頻曲線均有跳躍現(xiàn)象，且伴隨有脫齒現(xiàn)象。由于跳躍和系統(tǒng)運(yùn)行的周期穩(wěn)定相關(guān)，因此，需要對(duì)該情況下的運(yùn)行多值性和跳躍現(xiàn)象進(jìn)行研究。

在本文設(shè)置的微線段參數(shù)下，相比漸開(kāi)線齒輪，微線段齒輪在大部分轉(zhuǎn)速區(qū)域穩(wěn)態(tài)均值與幅值均低于漸開(kāi)線，且在中高速轉(zhuǎn)速區(qū)域更加明顯。

Ω=0.2，T=200 N·M

Ω=0.8，T=600 N·M

Ω=1.6，T=1 000 N·M

Ω=2.2，T=1 000 N·M圖7 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)Fig.7 Dynamic response of gear system

圖8 幅頻響應(yīng)曲線Fig.8 Amplitude frequency response curve

由于傳動(dòng)誤差以及間隙的存在，隨著轉(zhuǎn)速的增加系統(tǒng)響應(yīng)周期發(fā)生相應(yīng)的變化。利用數(shù)值仿真研究其分叉特性，其響應(yīng)周期隨頻率比的分叉如圖9所示。

圖9 微線段與漸開(kāi)線齒輪分叉特性Fig.9 Bifurcation properties of micro-segment and involute gear

由圖9可知，系統(tǒng)響應(yīng)周期隨著Ω增大而發(fā)生變化。當(dāng)Ω增大到1.02時(shí)，兩種齒輪系統(tǒng)均由單周期響應(yīng)分叉為雙周期響應(yīng)，當(dāng)Ω增大到1.36時(shí)，微線段齒輪系統(tǒng)再次發(fā)生周期倍化分叉，漸開(kāi)線齒輪保持單周期響應(yīng)；當(dāng)Ω增大到1.43時(shí)，漸開(kāi)線齒輪系統(tǒng)進(jìn)入混沌響應(yīng)狀態(tài)，至Ω=1.95時(shí)系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)通過(guò)倒分岔進(jìn)入周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)最終通過(guò)穩(wěn)定吸引子鎖相為單周期運(yùn)動(dòng)。而微線段齒輪在Ω增大到1.6后發(fā)生短暫混沌響應(yīng)，并較漸開(kāi)線齒輪提前結(jié)束多周期響應(yīng)進(jìn)入單周期穩(wěn)定狀態(tài)。

由于微線段齒輪齒廓的特殊性，其嚙合線的非直線性在一定程度上降低了加工誤差等對(duì)齒輪傳動(dòng)誤差的影響。而誤差激勵(lì)對(duì)漸開(kāi)線齒輪在較大轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生較大影響，齒輪系統(tǒng)混沌區(qū)域的轉(zhuǎn)速范圍較微線段齒輪要大的多，因此微線段齒輪對(duì)轉(zhuǎn)速的周期穩(wěn)定性要優(yōu)于普通漸開(kāi)線齒輪。由于混沌運(yùn)動(dòng)加劇齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)和噪聲，相對(duì)漸開(kāi)線齒輪，微線段齒輪可以有效降低齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)和噪聲。

4 結(jié) 論

(1)利用ANSYS建立了微線段齒輪的有限元模型，并通過(guò)接觸分析得到了微線段齒輪的時(shí)變剛度曲線?？紤]了微線段齒輪齒廓的特殊性，建立了適用于微線段齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并通過(guò)數(shù)值法來(lái)求解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

(2)分析對(duì)比了不同轉(zhuǎn)速下微線段以及漸開(kāi)線齒輪系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的差別，并通過(guò)全局分析指出了系統(tǒng)的亞諧共振和系統(tǒng)的幅值階躍現(xiàn)象。結(jié)果表明，微線段齒輪在中高速重載時(shí)相比漸開(kāi)線齒輪有更好的動(dòng)力學(xué)性能。

(3)通過(guò)系統(tǒng)的全局分叉研究，在本文參數(shù)下的微線段齒輪系統(tǒng)混沌區(qū)域的轉(zhuǎn)速范圍相比漸開(kāi)線齒輪要小，系統(tǒng)更加穩(wěn)定。

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