數(shù)學(xué)魅力：“首課”教學(xué)的生長力量

☉江蘇省南京市寧海中學(xué)分校 卜以樓

這里的“首課”，是指初中學(xué)段的開學(xué)第一課、每個單元的統(tǒng)領(lǐng)第一課、接手其他老師教過班級的“接班”第一課，以及其他形式與學(xué)生第一次見面的第一課的簡稱．

“首課”教學(xué)的意義在于策略，定位在于整體，價值在于統(tǒng)領(lǐng)．生長數(shù)學(xué)認(rèn)為，首課教學(xué)要以高品位的立意，來展現(xiàn)思維的魅力、激發(fā)學(xué)生的興趣、揭示生長的力量．不過數(shù)學(xué)思維的魅力具有多樣性，不同的人會有不同的理解．我們認(rèn)為，首課教學(xué)要注意展現(xiàn)下列三種思維形式，來凸顯數(shù)學(xué)思維的價值與魅力．

一、運用結(jié)構(gòu)思維，把復(fù)雜的問題變得簡單

數(shù)學(xué)之所以成為一門自然學(xué)科，是由其獨特的思維品質(zhì)和結(jié)構(gòu)內(nèi)涵決定的，所以從某種程度上說，數(shù)學(xué)就是一種結(jié)構(gòu)．從結(jié)構(gòu)上講，首課教學(xué)要注重戰(zhàn)略突破，而非戰(zhàn)術(shù)研究．毛澤東早就指出，在戰(zhàn)略上要藐視敵人，戰(zhàn)術(shù)上要重視敵人．這是因為戰(zhàn)略針對整體性問題，戰(zhàn)術(shù)針對局部性問題；戰(zhàn)略針對長期性問題，戰(zhàn)術(shù)針對短期性問題；戰(zhàn)略針對基本性問題，戰(zhàn)術(shù)針對具體性問題．為此，將上述特質(zhì)遷移到單元第一課再也恰當(dāng)不過了．

現(xiàn)在我們以“分式”這一內(nèi)容教學(xué)為例，說明運用結(jié)構(gòu)思維，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的教學(xué)策略．

分式是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一類代數(shù)式，是“數(shù)與代數(shù)”部分的重要內(nèi)容，是繼整式之后對代數(shù)式的進一步研究．主要內(nèi)容包括分式與分式方程兩個部分，其中分式主要研究分式的概念、基本性質(zhì)、通分約分、加減乘除運算；分式方程主要研究分式方程的解法與應(yīng)用．由于學(xué)生學(xué)習(xí)與研究這些知識，是建立在小學(xué)學(xué)過的分?jǐn)?shù)與初中學(xué)過的一元一次方程的知識貯備之上的，又因為分式與分?jǐn)?shù)具有相似的形式，類似的性質(zhì)，所以就決定了它們有一致的研究方法，這也是由結(jié)構(gòu)思維、數(shù)式通性和類比思想所決定的．

基于上述的結(jié)構(gòu)思維分析，分式教學(xué)必須在為什么要學(xué)習(xí)分式、如何來研究分式、分式研究什么這三個方面進行章前領(lǐng)航．

1.為什么要學(xué)習(xí)分式，這是首要解決的問題．如果學(xué)生感覺不到學(xué)習(xí)分式的必要性和重要性，那么就形成不了學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力．解決這個問題通常有下列方法．

一是從學(xué)生的生活內(nèi)部引入分式的概念，讓學(xué)生感受到我們就生活在分式這個世界里，學(xué)習(xí)、生活以及日后的工作都離不開分式，分式將陪伴我們一生．因此，我們不能排斥分式，最好的方法就是和分式做朋友、要好的朋友，讓分式為我們美好的生活服務(wù)．這就是“與其不能改變它，那么就不如適應(yīng)它”的道理．那么如何從生活中引入分式呢？這是一個教學(xué)方法、甚至是一個教學(xué)藝術(shù)的問題．其中用“主題式探究法”來引入分式就是個不錯的選擇．主題式探究就是圍繞學(xué)習(xí)、生活中的一個主題片斷，來凸顯分式存在的一種教學(xué)方法．通過這種方法，讓學(xué)生親身經(jīng)歷分式存在的過程，真實體驗分式對于我們進一步學(xué)習(xí)的必要性，并以此來講述數(shù)學(xué)思維的故事，讓學(xué)生感受到分式的情深深、愛切切、意濃濃．

二是可以從數(shù)學(xué)內(nèi)部引入分式的概念．從數(shù)學(xué)內(nèi)部引入分式概念比起從數(shù)學(xué)外部引入分式概念具有邏輯性強、分式本質(zhì)揭示到位等優(yōu)勢，但對于一部分學(xué)生來說，卻存在趣味性不夠等不利因素．這種引入法，我們可以從復(fù)習(xí)七（上）學(xué)習(xí)過的整式概念切入，然后提問學(xué)生對兩個整式進行加減乘除運算，會產(chǎn)生什么樣的結(jié)果，讓學(xué)生感受到兩個整式進行運算，特別是做除法運算后，結(jié)果不僅僅全是整式了，它是什么呢？它就像小學(xué)里兩個整數(shù)相除會產(chǎn)生分?jǐn)?shù)一樣，從而讓學(xué)生認(rèn)識到分式的存在，并能讓學(xué)生真實體驗到分式由兩個整式相除，并且一定是分母中含有字母的數(shù)學(xué)本質(zhì)．

2.如何來研究分式，這是個智慧型的問題．它取決于學(xué)生自己的學(xué)習(xí)水平、經(jīng)驗、能力以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的正遷移，也是由學(xué)生內(nèi)生生長的欲望所決定的．一般來說，當(dāng)學(xué)生面對一個新生事物時，與生俱來地就有一種自主探究的欲望與興趣，這就是自我生長的力量，也是實施單元學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)．

對于絕大部分學(xué)生來說，由現(xiàn)在的分式自然地會想到過去學(xué)習(xí)過的分?jǐn)?shù)．事實上，學(xué)生此時已經(jīng)這么想了，不然也得不到分式這個基本模型和定義了．有了這個基礎(chǔ)，學(xué)生自然會插上類比的翅膀，運用最近聯(lián)想的方法去探究分式的內(nèi)涵、本質(zhì)與精髓．所以說，類比思想是學(xué)習(xí)分式的內(nèi)核，是研究分式的策略．

3.學(xué)習(xí)分式要學(xué)習(xí)什么、研究什么？這個問題與怎樣研究分式既相互聯(lián)系又相互交叉．因為分式學(xué)習(xí)的內(nèi)容確定下來了，必將又進入到怎樣研究具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容這一問題上來．具體地講，分式的學(xué)習(xí)要利用七（上）學(xué)習(xí)代數(shù)式過程中積累的從數(shù)到式抽象過程的經(jīng)驗，通過類比小學(xué)學(xué)習(xí)的有關(guān)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、運算和應(yīng)用的經(jīng)驗來探索，實現(xiàn)從分?jǐn)?shù)到分式的跨越．因此，研究分式就是要研究分式的概念、性質(zhì)、運算和應(yīng)用這四個方面．

分式概念的形成過程、抽象過程、建立過程，在前面已涉獵，在此不需要重復(fù)．不過如何定義分式概念，仍是生長數(shù)學(xué)關(guān)注的重點，這涉及到如何對一個數(shù)學(xué)模型下定義的思維習(xí)慣問題，也是學(xué)生學(xué)習(xí)中遇到的一以貫之的問題．在這里用“樣子+條件”的思維給一個數(shù)學(xué)模型下定義，這要成為學(xué)生下定義的理性自覺.這種思維方式，既基于結(jié)構(gòu)思維，又是對學(xué)生一輩子有用的東西，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)．

對分式的基本性質(zhì)、分式的運算法則的探究活動，要基于類比的思維，構(gòu)建“猜想—驗證—結(jié)論”這一主題探究鏈，讓學(xué)生大膽猜想，多途徑驗證，得到所要的結(jié)論．要在這里說明的是，這個系列的探究過程，要讓學(xué)生感受到分式的基本性質(zhì)是分式學(xué)習(xí)的關(guān)鍵．因為分式的約分、通分、分式的運算都是基于分式的基本性質(zhì)而產(chǎn)生的一系列的推理活動．如果離開了這個事實，那么其余都將變成無源之水、無本之木，一切皆是空中樓閣．

分式方程的引入與解法，也要基于學(xué)生已有的解一元一次整式方程的經(jīng)驗來類比求解的過程與方法，至于解分式方程產(chǎn)生的增根問題，要根據(jù)教學(xué)實際進行選擇．

還要指出的是，正因為是單元統(tǒng)領(lǐng)課，所以它給我們留下了自主開發(fā)的空間．我們不必過于拘泥于上述的教學(xué)設(shè)計，但是整個活動必須以學(xué)生的認(rèn)知實際，有效、有序、有節(jié)奏地開展．同時，我們也不要過于側(cè)重研究某一知識內(nèi)容的戰(zhàn)術(shù)性問題，因為那是新授某一具體知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)任務(wù)，所以才說要用結(jié)構(gòu)性思維來進行每一單元的統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)活動．

二、運用本質(zhì)思維，把簡單的內(nèi)容變得深刻

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是為了深刻地認(rèn)識世界、改造世界，服務(wù)世界，因此鉆研教材，閱讀教材必須深刻．深刻意味著不僅僅把教材看懂，而是看穿、看透，一針見血、入木三分，挖掘出教材的精髓、內(nèi)涵．教師把教材鉆研得越深，悟出的道理就越透徹，講起課來才能做到越深入淺出．

蘇霍姆林斯基說：“教師越是能夠運用自如地掌握教材，那么他的講述就越是情感鮮明，學(xué)生聽課以后需要花在摳教科書上的時間就越少．”例如，幾何證明這一章的學(xué)習(xí)，就要將證明的體系展現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生知道在進行幾何論證時，為什么要進行證明，如何進行證明，怎樣表述證明的過程．

我們先來說明“為什么要進行證明”的問題．這個問題一是要基于生活中的“教訓(xùn)”，讓學(xué)生產(chǎn)生要進行證明的思維必然．要將生活中通過直覺得到的結(jié)論，通過“想當(dāng)然”產(chǎn)生的判斷，呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生感知證明的必要性．二是要列舉基于數(shù)學(xué)內(nèi)部中合情推理、通過反邏輯形成推理的錯誤判斷，讓學(xué)生體驗證明的重要性．只有讓學(xué)生懂得證明的必要性，他們才會有證明的興趣，才能產(chǎn)生學(xué)習(xí)的欲望．

然后來解決“如何進行證明”的問題．當(dāng)學(xué)生知道了面對一個命題需要進行證明時，那么接下來的是如何進行證明，這是證明體系中的核心問題．如何進行證明呢？這得首先要有相同的核心價值觀、邏輯觀和世界觀，這是揚帆遠(yuǎn)航的起點，也是開展一項活動的基本現(xiàn)實和公共認(rèn)同．這個公共認(rèn)同就是證明體系中的公理，即《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中的9條基本事實、各種數(shù)學(xué)對象的定義、數(shù)學(xué)運算的算理和每道題中的已知條件，在這個起點上運用邏輯推理、演繹推斷進行系統(tǒng)論證，從而得到待證結(jié)論．因此，證明的價值在于讓學(xué)生感受到它是個邏輯連貫、環(huán)環(huán)相扣、滴水不漏，充滿理性氣質(zhì)的生長過程，是個理直氣壯、剛正不阿、欲罷不能，充滿底氣十足的學(xué)習(xí)結(jié)果．

最后要解決“怎樣表述證明過程”的問題．如果僅從上述所及的基本事實、概念定義、運算算理和已知條件出發(fā)，那么在證明的過程中，特別是遇到一些較復(fù)雜的問題，就需要花較大篇幅、較長過程、較多環(huán)節(jié)來論證這個問題．為了解決這種煩鎖的論證過程，數(shù)學(xué)家們在數(shù)學(xué)內(nèi)部，將某些經(jīng)過證明了的正確結(jié)論壓縮打包，把它稱之為幾何定理．把幾何定理和上述基本事實、概念定義、運算算理一起，作為證明的依據(jù)，這樣就可大大減少論證的過程和時間．而這些定理，不是某一個具體論證者隨意增加的．它是要在證明這個系統(tǒng)中，起到關(guān)鍵節(jié)點聯(lián)絡(luò)的作用，才可以約定成固定不變的道理．例如，在三角形中，內(nèi)角和等于180°，任一外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角之和；兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．三角形中僅需要這些，人們在論證任何一個三角形的問題就夠用了，而且它還具備了好用、實用的特質(zhì)．

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心應(yīng)該是數(shù)學(xué)思維，因而在實際教學(xué)中，要通過設(shè)計具體的教學(xué)活動來說明這個事情，而不是將上述的道理直白地告訴學(xué)生．所以，我們提倡教學(xué)設(shè)計要新穎，便于生長，寓教于樂，使學(xué)生的思維更靈動、更活躍、更深刻，使學(xué)生參與的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動更有效．

關(guān)于運用本質(zhì)思維，將簡單的問題深刻化，還可以從下列的例子中得到啟發(fā)．我們在教學(xué)過程中，都進行過下面三道題的教學(xué)：

在學(xué)習(xí)絕對值時，讓學(xué)生解決：已知｜a｜=2，｜b｜=3，求a+b的值.

在學(xué)習(xí)垂直時，讓學(xué)生解決：已知∠AOB=30°．畫射線OC⊥OA、射線OD⊥OB．求∠COD的值.

在學(xué)習(xí)過勾股定理后，讓學(xué)生解決：在△ABC中，AB=14，AC=15，BC=13，點D、E在直線AB上，且AD=AC，BE=BC，求△DCE的面積．

如果我們的教學(xué)不止于僅教會學(xué)生做這三道題，而是從問題的本質(zhì)出發(fā)，探究這三個問題的關(guān)聯(lián)度和本質(zhì)化，那么無論是教學(xué)的境界、還是學(xué)習(xí)的內(nèi)涵，便是另一番風(fēng)景．

三、運用普適思維，把深刻的思想變得有趣

數(shù)學(xué)教學(xué)的最高境界就是將數(shù)學(xué)課當(dāng)成一種文化來傳播，這就要求將人類幾千年積淀下來的普適文化與數(shù)學(xué)思維策略、數(shù)學(xué)文化相融合，讓深刻的思想變得有趣，讓數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)素養(yǎng)在日常生活中落地生根，蓬勃生長．

例如，每一年的新年伊始，都能以本年的年號為素材給學(xué)生上一節(jié)充滿思想哲理的第一課．這不僅是對學(xué)生進行一次人生教育，也是展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維魅力的有效平臺．像去年就可以用年號2017來凸顯數(shù)學(xué)魅力．

首先，它是個“順子數(shù)”．

2017=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1+987+654+321.

預(yù)示今年事事一帆風(fēng)順．

其次，它又是個“番子數(shù)”．

2017=73+113+73.

預(yù)示今年的努力會事半功倍，得到立方的回報，財富呈現(xiàn)立方增長．

最后，它還是個“完美數(shù)”．

2＋0＋1＋7＝10.

預(yù)示今年萬事如意，十全十美！

2017我們攜手一起贏．

像這樣的素材，網(wǎng)絡(luò)上每年都會有許多，我們要注意搜集．

蘇霍姆林斯基說：“教師如果不想方設(shè)法使學(xué)生保持情緒高昂和智力振奮的內(nèi)心狀態(tài)，而只是不動情感的腦力勞動，學(xué)生就會感到疲倦．處于疲倦狀態(tài)下的頭腦，是很難有效地汲取知識的．”例如，在學(xué)習(xí)軸對稱這一內(nèi)容時，我們還可以通過魔術(shù)表演來讓深刻的思想變得有趣．

事先可以將一疊撲克牌打亂，花色朝下，讓學(xué)生任意抽取一張，讓學(xué)生記住花色數(shù)值，教師看不到，插回打亂洗牌，教師再準(zhǔn)確無誤地找出該牌．通過幾次眼明手快而且準(zhǔn)確的猜牌游戲，同學(xué)們的好奇心被激發(fā)了．咦？怎么弄的？老師很厲害呀……學(xué)生們躍躍欲試，急于了解．此時放慢速度，讓學(xué)生仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)老師的“手腳”，原來抽出的撲克牌，放回時被顛倒了！那么牌被顛倒了，會有什么奧秘呢？把那一張抽出的牌，逐一投影給學(xué)生看，讓學(xué)生記住，最后把手上的牌都投影給學(xué)生看，讓學(xué)生說說這些撲克牌都有什么共同的特征？學(xué)生在交流討論中逐漸找到提供的撲克牌的特征，從而揭開謎底．這個過程十分形象地讓學(xué)生感受到了“觀察、發(fā)現(xiàn)、探索、歸納”這一抽象的數(shù)學(xué)思想方法，同時也能感受到數(shù)學(xué)思維的魅力．

學(xué)科教學(xué)最本質(zhì)的內(nèi)涵就是學(xué)科育人，從根本上就在于培育學(xué)生的世界觀、人生觀和價值觀以及必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．在日常的教育教學(xué)工作中，需要我們探索的東西有很多很多．王國維在《人間詞話》中指出：“詞以境界為最上．有境界則自成高格，自有名句．”同樣，生長數(shù)學(xué)倡導(dǎo)以立意為最上，立意高遠(yuǎn)則自會育人，自成經(jīng)典．讓我們揚帆生長數(shù)學(xué)的教育理念，踐行生長數(shù)學(xué)的教學(xué)主張，以實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心價值．