微元法在高中物理教學中的應用

陶群仙

高中物理難學的困惑緊緊困擾著一屆又一屆的學生，這種現(xiàn)象是由學生身心發(fā)展不夠完善、物理學科要求學生應有嚴密的邏輯思維、深厚的數(shù)學功底等特點、學習方法的變化等多方面原因造成的。我覺得高中物理的學習應在深刻理解物理基本概念、基本規(guī)律、原理的基礎上更應該重視對物理方法、物理思想的歸納和整理。在運用物理知識解決實際問題的過程中，人們逐步積累和形成了物理學中處理問題的方法，在物理教學中，我們一定要使學生逐步領會和掌握這些方法。在具體問題中我們常用的處理方法有理想模型法、等效替代法、微元法、圖像法、近似處理法、逆向思維法、極限法、比例法、賦值法、類比法等等。其中微元法在實際問題中如能巧妙運用就能在解決問題中找到突破口。下面在實際情境中看一下微元法的妙用。

微元法，就是將研究對象（物體或物理過程）進行無限細分，從其中選取某一微小單元進行分析和討論，從而找出研究對象（物體或物理過程）變化規(guī)律的一種解題方法。微元法是解決物理問題的基本思想方法，它貫穿于高中階段的物理知識體系，滲透于一些物理概念、公式中。取微元作為研究對象，可準確地描述變化的物理過程中瞬間狀態(tài)，微元再求和更是解決物理過程中變量積累問題的重要方法。嚴格說，微元法是利用微積分來處理物理問題的一種解題思維方法，對中學生來說顯得有一定的難度（屬于較高要求）。但在教學中恰當?shù)剡x擇一些物理問題，有針對性地進行分析，對培養(yǎng)中學生的思維能力和綜合分析能力是有益的。下面舉幾例來說明微元法在中學物理學中的應用，希望起“拋磚引玉”之作用。

一、物理概念中滲透微元法的基本思想

平均速度只是粗略地描述物體運動快慢，要準確的描述物體運動快慢，應該用瞬時速度。課本中瞬時速度定義是：運動物體在某時刻（某一位置）的速度，可進一步理解為：平均速度=△x/△t中，當時間非常短接近于零表示某一瞬時速度，或位移非常小，表示某一點的瞬時速度。這里時間非常短，或位移非常小，已滲入了取時間微元或位移微元的思想。勻速直線運動指：任何相等的時間內(nèi)位移相等。這里“任何相等的時間”也包含了很短的時間微元，當然也可取較長的時間段。

大家在學習勻速圓周運動的向心加速度時同樣接觸到微元方法，勻速圓周運動中線速度的大小雖不改變但方向不斷改變。為了準確描述向心加速度的方向，我們?nèi)∫灰詷O小的△θ使其趨于零，弦長趨于弧長。再利用三角形相似知識可得向心加速度的表達式a=v2/r=ω2r。學習磁感應強度時我們同樣取一微電流元去探測空間某點的磁感應強度，學習通電圓環(huán)在磁場中的受力情況時，我們把圓環(huán)分解為無數(shù)段微電流元從而來了解安培力。在對導體中的電流進行微觀解釋時，我們?nèi)∫恍《螌w認為這段導體中的所有電荷從一端移動到另一端時這些電荷全穿過某一橫截面?？梢娢⒃ㄔ谖锢砀拍畹膶W習中應用非常廣泛。

二、物理公式中的微元思想

1.勻變速直線運動位移公式的推導

微元法指的是我們把研究對象或過程分隔成小塊的（微元）來加以研究。利用微元法處理問題時往往起到化變?yōu)楹?，化曲為直的效果。例如在研究勻變速直線運動的位移與時間關系時，如右圖1將v-t圖象中整個運動過程劃分的非常非常細，很多很多小矩形。雖然整個過程是變速的運動，但在極短的時間內(nèi)可以近似認為該過程為勻速運動過程。某一時間間隔內(nèi)的位移即為該時間對應小矩形的面積，若△t→0這時“很多很多”小矩形頂端的“鋸齒形”就看不出來了，小矩形合在一起成了一個梯形，位移即為該矩形所圍的面積，從而推導出位移時間公式：[x=v0t+12at2]。

微元法實際上是一種微分的思想，在中學物理問題中是一種常用的處理方法。在上述公式的推導中如果我們已深刻理解其中的思想，我們即能得出結(jié)論變速直線運動中位移即為v-t圖像所謂的面積這更廣泛適用的結(jié)論。而學生卻沒能掌握這種方法往往死記硬背公式。在計算勻變速直線運動中我們首次接觸到了微元的思想，此后微元法在力學、電學、電磁學中我們會屢屢碰到這種思想。但教材中往往沒明確說明要我們師生自己歸納總結(jié)。

2.彈性勢能公式的推導

彈性勢能究竟跟哪些因素有關？從理論上來講它跟彈簧的形變量、彈簧本身的勁度系數(shù)有關，那么彈簧的彈性勢能究竟如何表達呢？要推出彈性勢能的表達公式同樣要用到微元法，大家知道功和能密切相關，能量即為某物體做功能力的大小。我們先把彈簧拉長使其伸長量為△x，放手后彈簧將把物塊拉動對物塊做功，那么如何得知該過程彈力所做的功就需用到微元法。整個過程中彈力是一個變力，但在極小的一段位移內(nèi)我們可以把彈力看作是恒力，此時我們就可以運用恒力做功公式W=FS來求彈力所做的功了。如下圖：彈力隨形變的逐漸恢復而逐漸減小F=k△x，而W=FS在極小的一段小位移范圍內(nèi)即為小矩形的面積。

故形變量為△x在恢復原狀的整個過程中彈力所做的功為三角形所圍的面積：[EP=12k?x2]。

3.轉(zhuǎn)動物體的感應電動勢公式

如圖所示的一段導體在紙面內(nèi)繞端點O以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，磁場垂直紙面向里且磁感應強度為B，棒的長度為l，則這根棒兩端產(chǎn)生的感應電動勢為多大呢？許多同學會認為E=Bl2ω，因為他們在這里生搬硬套公式E=Blv而沒有理解該公式的確切含義。要解決這個問題就得把導體棒看做無數(shù)段微元，每一小段繞O點轉(zhuǎn)動的線速度v=ωr各不相同，整根導體棒的感應電動勢可看成無數(shù)個電源串聯(lián)而成，跟前述的方法一樣感應電動勢之和即為E=Bl（v1+v2+v3+…+vn），而速度之和為v-r圖像所圍的面積，故E=1/2Bl2ω，這里微元思想的靈活運用會使我們更深刻地理解概念和公式的含義。

三、習題中微元法的巧妙運用

微元法在具體習題中應用非常廣泛，在解運動學問題時通常取時間微元△t、角度微元△θ、位移微元△x等。我們時常會遇到彈力、安培力、萬有引力等隨形變量、速度、相距距離而變化的變力問題。在計算變力做功時可以將整個做功過程劃分為許多的微小過程，在每個微小過程中將力視為一個恒力，解變力做功問題就可以轉(zhuǎn)化為求恒力做功。另一種情形下我們時常把物體本身分割成無數(shù)個小單元，如質(zhì)量隨長度呈線性分布的物體平衡問題、電荷連續(xù)分布的帶電體其周圍的電場分布問題、電阻率隨x的關系呈線性變化求導體電阻的問題我們往往采用微元方法來解決，因此就出現(xiàn)了質(zhì)量微元、電荷微元、電流微元等處理方法。endprint

例1，假想把一物體放在地球的球心，已知地球的質(zhì)量為M，該物體的質(zhì)量為m，萬有引力常數(shù)為G，那么該物體受到的萬有引力多大？

解析：這是一個比較簡單的物理問題，但根據(jù)[F=GMmr2]公式此時兩物體間相距的距離為零由此得出物體所受的萬有引力無窮大，粗略一看該結(jié)論好像沒任何問題。這是因為學生沒有深入理解該公式的含義和適用條件。而把地球看成無數(shù)個質(zhì)量微元，它們又關于球心對稱分布對該物體的萬有引力大小相等、方向相反。故該物體所受的萬有引力為無數(shù)個質(zhì)量微元對其萬有引力的合力為零。

例2，均勻帶電圓環(huán)，中軸線上一點的電場強度帶電量是Q庫侖，半徑是R，場點P到圓心O的間距是a。

用庫侖定律的微分形式，將帶電環(huán)分割為無限多份，進行積分，可得帶電圓環(huán)中軸線上任一點的電場強度，與電量成正比，與距離與正比，與半徑、距離平方和的二分之三次方成反比。

解：將圓環(huán)分割成無限多份，每一份的帶電量為dq，圓周長l=2πR，單位長度的電量λ=Q/l，dq=λdl，該點電荷到P點的距離是（R2+a2）1/2，在P點產(chǎn)生的電場強度為dE=kλdl/（R2+a2），由于電荷分布的對稱性，除了沿軸線方向的電場強度分量外，其他方向的分量均相互抵消；在軸線方向的分量是dEx=dEcosθ。

則圓環(huán)在P點產(chǎn)生的合電場強度為：[Ex=dEx=KQ（R2+a2）32]。

四、過程微元的思想應用

例1，一條粗細均勻的銅制導線彎成如圖所示的形狀，其質(zhì)量為m。長為L的一段水平放置，處在勻強磁場中，磁感應強度為B，B與導線垂直，導線的下面兩端分別插在淺水銀槽里，兩水銀槽與帶開關的電源聯(lián)接。當K接通的瞬間，導線便從水銀槽里跳離。設跳起的高度為h，求在這過程中，通過銅導線截面的電量是多少？

分析：銅導線跳起的過程所需雖然很短（瞬間完成），但是由于跳離時銅導線具有一定的速度，即在跳起的過程中銅導線的速度是隨時間變化的，在這過程中由于銅導線的切割磁感線運動，導線中的電流也隨時間變化著。顯然電量的求解只能用微元法才行，很多參考資料給的答案如下：

錯解：根據(jù)動量定理：BIL△t=mv ①

由機械能守恒定律：[12mv2=mgh] ②

根據(jù)電流的定義：I=△Q/△t ③

由①②③得：[?Q=m2ghBL]。

正解：將銅導線跳起的時間過程（瞬間）分為t1、t2、t3……tnn個過程，t1、t2、t3……tn極短（趨進于零），每個過程銅導線中的電流I1、I2、I3……In可當作為恒定的，設每個過程中銅導線運動的末速度分別為v1、v2、v3……v。對每個過程應用動量定理：

BI1Lt1=mv1-0BI2Lt2=mv2-mv1，

BI3Lt3=mv3-mv2……BInLtn=mvn-mvn-1，

考慮：△Q=I1t1+I2t2+I3t3+……+Intn，

機械能守恒：[12mv2=mgh]，

由以上式子聯(lián)立得：[?Q=m2ghBL]。

順便說明一下：錯解與正解的結(jié)論相同純屬巧合（物理學中象這樣的巧合還不少），如果安培力的規(guī)律不是BIL，而是BI2L，結(jié)論就不會巧合（相同）了。

例2，如圖所示，將質(zhì)量為m的物體沿地球半徑的延長線向遠離地球的方向移動，初始位置為r0，終態(tài)位置為r，與r均從地心算起。地球質(zhì)量為M。求萬有引力做的功。

解：將r0至r分割為n段，當n足夠大時，每一小段中F可視為恒力，其大小可按中間位置上的引力計算，則在第一段有：[f1=GMm[r0+（r1-r0）/2]2=GMmr0r1]。

上述結(jié)果是在將分母的平方項展開后略去（r1-r0）的高次小量后得到的。

∴[W1=-f1r1-r0=GMmr1-GMmr0]，

同理：[W2=GMmr2-GMmr1]，[Wn=GMmrn-GMmrn-1]。

[∴W=W1+W2+…+Wn=GMmr-GMmrn]。

例3，質(zhì)量為m的跨接桿可以無摩擦地沿水平的平行導軌滑行，兩軌間寬為ι，導軌與電阻R連接，放在豎直向上的勻強磁場中，磁感應強度為B，跨接桿的初速度為ν0，如圖所示，試求跨接桿到停下來所滑行的距離。

解：設某時刻跨接桿速度減小到υ，則此時刻回路中的電流：[I=BlvR]。

跨接桿所受的安培力[：I=BIl=B2l2R?v]，

在該時刻桿的加速度數(shù)值[a=Fm=B2l2mR?v]。

從該時刻經(jīng)起足夠短的時間△t，設桿的速度變化△v（△v<0），桿移動的距離△v（△v>0），則上式可寫成[-?v?t=B2l2mR??v]，

即：[?x=-mRB2l2??v]，

桿滑行的距離[x=?x=-mRB2l2??v=mRv0B2l2]。

微元法作為一種重要的物理思想貫穿在高中物理的每一知識模塊內(nèi)，不能不引起大家的足夠重視。以上例子只是微元法應用的一小部分，大家是否已能感受到掌握物理思想是一件多么美妙的事情。在平時教學過程中，教師應有意點撥和訓練學生的思維，同時引導學生思考和總結(jié)一些常見的處理物理問題的方法。這樣可使學生對物理的興趣更加濃厚，形成學習的良性循環(huán)。endprint