基于可靠度的高速公路準(zhǔn)臨界坡長

王 路 程建川

(1東南大學(xué)交通學(xué)院, 南京 210096)(2鎮(zhèn)江市公路管理處, 鎮(zhèn)江 212028)

我國傳統(tǒng)道路線形設(shè)計(jì)采用確定性設(shè)計(jì)理論,滿足規(guī)范要求即被認(rèn)為是合理的設(shè)計(jì).然而在交通運(yùn)營中發(fā)現(xiàn),很多看似并未違反規(guī)定的設(shè)計(jì)路段出現(xiàn)事故高發(fā)情況[1].隨著安全寬容設(shè)計(jì)理念的深入,更多的設(shè)計(jì)者認(rèn)識到:一方面,簡單地滿足規(guī)范未必有足夠的安全性;另一方面,規(guī)范中沒有約束的部分,如靠近極限值的準(zhǔn)臨界值,應(yīng)該有合理的量化方法確保指標(biāo)使用的安全性.

交通研究中存在諸多設(shè)計(jì)變量的組合,可靠度理論被引入交通領(lǐng)域.可靠度的引入能夠從概率的角度評價(jià)交通設(shè)計(jì)的可靠性及交通運(yùn)營的安全度,如利用可靠度理論分析交通信號燈配時(shí)[2]、評價(jià)交叉口視距設(shè)計(jì)[3]、優(yōu)化和解決交通網(wǎng)絡(luò)中系統(tǒng)組合[4]等問題.

傳統(tǒng)道路幾何設(shè)計(jì)忽視了線形組合的不確定性,采用不連續(xù)的設(shè)計(jì)方法.近年來,公路幾何設(shè)計(jì)中開始使用可靠度方法,如基于可靠度方法研究公路平曲線參數(shù)設(shè)計(jì)[5-6]、計(jì)算高速公路行車道數(shù)量[7]、引入可靠度設(shè)計(jì)理念進(jìn)行道路優(yōu)化和分析[8-9].

目前,可靠度理論在交通中應(yīng)用還處于探索階段,用于可靠度計(jì)算的模型主要基于經(jīng)驗(yàn)主義,數(shù)據(jù)采集及統(tǒng)計(jì)分析也存在局限性.可靠度的應(yīng)用需要滿足以下4點(diǎn)要求:① 研究問題是一個(gè)概率問題,能用概率計(jì)算方法解決;② 研究問題具有統(tǒng)計(jì)意義,其統(tǒng)計(jì)量應(yīng)服從概率分布;③ 服從的概率分布能夠具有數(shù)學(xué)解集;④ 基于可靠度理論的數(shù)學(xué)方法計(jì)算精度能夠滿足工程需要[9].顯然,車輛爬坡中運(yùn)行速度變量具有統(tǒng)計(jì)意義,且服從概率分布.因此,本文提出了一種基于概率設(shè)計(jì)的方法來計(jì)算準(zhǔn)臨界坡長值.

1 可靠度理論

可靠性定義為:在規(guī)定的時(shí)間及規(guī)定的條件下完成預(yù)定功能的能力[10].為了定量描述可靠性,采用概率分析方法,引入可靠度概念來描述工程系統(tǒng)的安全性.

1.1 極限狀態(tài)設(shè)計(jì)

在結(jié)構(gòu)工程中,系統(tǒng)失效意味著結(jié)構(gòu)出現(xiàn)崩潰或處于不能工作狀態(tài).在公路幾何設(shè)計(jì)中,系統(tǒng)失效更加復(fù)雜,因?yàn)榻煌ㄊ鹿拾l(fā)生更加具有隨機(jī)性和不可預(yù)測性.公路設(shè)計(jì)中駕駛員車輛系統(tǒng)的實(shí)際需求值可能超出其供給值,如停車視距、最大坡長,但運(yùn)營中路段并未發(fā)生交通事故;相反,供給值富余的路段也可能發(fā)生交通事故.為此,引入極限狀態(tài)設(shè)計(jì)來標(biāo)定公路設(shè)計(jì)安全度(見圖1).一般的極限狀態(tài)數(shù)學(xué)模型可表示為

g(x1,x2…,xi)=g(S,D)=S-D

(1)

式中,g=0表示極限狀態(tài)失效面,當(dāng)g<0時(shí),失效發(fā)生;xi為供給或需求的變量;S和D分別為供給函數(shù)和需求函數(shù).

圖1 極限狀態(tài)設(shè)計(jì)示意圖

1.2 可靠度數(shù)學(xué)模型及方法

基于極限狀態(tài)方程,失效概率Pf與可靠度指標(biāo)β分別表示為

Pf=P(S

(2)

(3)

式中,fS(s)和fD(d)分別為供給函數(shù)和需求函數(shù)的概率密度函數(shù);E(·)為期望;V(·)為方差.利用一階可靠度數(shù)值和蒙特卡羅仿真法求解極限狀態(tài)方程.

1.2.1 一階可靠度方法

假設(shè)一組隨機(jī)變量,用矩陣X表示,在統(tǒng)計(jì)上獨(dú)立,將其極限狀態(tài)方程在均值點(diǎn)μX處進(jìn)行泰勒級數(shù)展開,近似極限狀態(tài)方程可表示為

(4)

μ≈E[g(μX)]=g(μX)

(5)

(6)

因此,可靠度指標(biāo)β為

(7)

1.2.2 蒙特卡羅仿真法

蒙特卡羅仿真又稱為隨機(jī)抽樣法,是以數(shù)理統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ),用計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬技術(shù)來解決工程實(shí)際中的隨機(jī)問題[10].該方法擺脫了數(shù)值計(jì)算中的諸多局限性,無需考慮對極限狀態(tài)方程的隨機(jī)分布、變量個(gè)數(shù)、非線性與否、失效面數(shù)值求解等諸多難題,具有一般通用性.由于采用計(jì)算機(jī)代替人工數(shù)值計(jì)算,對不同隨機(jī)變量函數(shù)的表達(dá)形式、復(fù)雜程度均能快速獲得結(jié)果,節(jié)約計(jì)算的時(shí)間成本.其抽樣仿真過程見圖2.

(a) 邊界約束區(qū)域

(b) 50次抽樣隨機(jī)分布

(c) 500次抽樣隨機(jī)分布

蒙特卡羅仿真法首先根據(jù)概率密度函數(shù),采用計(jì)算機(jī)生成隨機(jī)變量的抽樣集;然后,構(gòu)建極限狀態(tài)方程的數(shù)學(xué)模型,用于判斷隨機(jī)變量抽樣的失效概率;最后,利用產(chǎn)生的抽樣集進(jìn)行仿真模擬,得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的概率特征.在蒙特卡羅仿真法中,失效概率表示結(jié)構(gòu)失效次數(shù)占總抽樣數(shù)的頻率.在仿真中,試驗(yàn)多次以保證統(tǒng)計(jì)結(jié)果的收斂性.在每一次試驗(yàn)中,用計(jì)數(shù)的方法生成和分析樣本值.進(jìn)行N次試驗(yàn),失效概率近似為

(8)

式中,Nf為試驗(yàn)中的失效次數(shù),即超出約束區(qū)域的次數(shù).

1.3 失效概率的數(shù)值理解

對于一個(gè)多變量的組合設(shè)計(jì),不存在絕對安全的概念,當(dāng)系統(tǒng)中任何一個(gè)參數(shù)失效或超出極限臨界面時(shí),失效隨時(shí)有可能發(fā)生.但在公路幾何設(shè)計(jì)中超標(biāo)設(shè)計(jì)不一定會導(dǎo)致事故立刻發(fā)生，但超出臨界狀態(tài)會增加交通事故發(fā)生的概率.由于駕駛員車輛系統(tǒng)的靈活性,可以盡量避免危險(xiǎn),如對于停車視距不足的路段,當(dāng)駕駛員選擇較低的運(yùn)行速度和謹(jǐn)慎的駕駛態(tài)度,車輛可控性強(qiáng),便可能避免事故的發(fā)生.因此,如何選擇一個(gè)合適的可靠度指標(biāo)或失效概率使得公路設(shè)計(jì)既滿足安全需求又經(jīng)濟(jì)可行非常重要.假設(shè)極限狀態(tài)方程服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布且變量相互獨(dú)立,得到可靠度指標(biāo)β與失效概率Pf間的關(guān)系,結(jié)果見表1.

表1 可靠度指標(biāo)與失效概率之間的數(shù)值關(guān)系

2 準(zhǔn)臨界坡長計(jì)算

我國《公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG D20—2006)[11]中規(guī)定,設(shè)計(jì)速度120 km/h的高速公路最大縱坡為3%,其對應(yīng)的最大坡長為900 m,但沒有明確規(guī)定準(zhǔn)臨界坡度對應(yīng)的坡長如何取值.在公路幾何設(shè)計(jì)中,這類需要量化的指標(biāo)時(shí)常會出現(xiàn),尤其是受地形限制的路段,部分設(shè)計(jì)者會選取規(guī)范中未作約束的準(zhǔn)臨界值,任意擴(kuò)大對應(yīng)指標(biāo)值的選用,如2.9%縱坡選用1 800 m坡長,這種設(shè)計(jì)實(shí)際上不受規(guī)范約束,在運(yùn)營中存在極大的風(fēng)險(xiǎn).

研究數(shù)據(jù)采集于寧杭高速的一段長上坡,通過水準(zhǔn)儀和全站儀等設(shè)備現(xiàn)場實(shí)測,獲取道路線形控制點(diǎn)的高程和坐標(biāo)點(diǎn)的數(shù)據(jù),利用MATLAB軟件對實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,通過數(shù)值擬合現(xiàn)場控制點(diǎn)三維坐標(biāo)可以得到實(shí)測模型.分析和擬合結(jié)果顯示,兩側(cè)坡度均為2.9%,左側(cè)坡長為1 775 m,右側(cè)坡長為1 980 m.基于實(shí)測模型構(gòu)建準(zhǔn)臨界坡長計(jì)算模型,結(jié)果見圖3.

圖3 準(zhǔn)臨界坡長計(jì)算模型(單位：m)

收集了2004—2014年間交通事故數(shù)據(jù),分析獲得長大縱坡上交通事故分布特征,據(jù)此在長上坡段布設(shè)了4個(gè)觀測點(diǎn)(見圖3),實(shí)地監(jiān)測交通流數(shù)據(jù),一晝夜的運(yùn)行速度調(diào)查結(jié)果見圖4.

圖4 晝夜平均速度分布變化圖

在野外實(shí)測試驗(yàn)中,對381輛爬坡車輛進(jìn)行速度追蹤,結(jié)果顯示長上坡的切線段存在顯著的速度差,最大速度差值達(dá)到43 km/h.其中,車輛入坡平均速度最高為67.8 km/h;豎向切線末端平均速度最低為39.5 km/h;爬坡全程平均速度差為28.3 km/h.從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看,爬坡中車輛運(yùn)行速度變化近似服從正態(tài)分布(見圖5).統(tǒng)計(jì)顯示93.3%的重型車與輕型車或中型車之間速度差超過20 km/h.顯然,重型貨車的運(yùn)行速度及速度衰減嚴(yán)重制約高速公路的交通流,性能較好的輕型或中型車不得不刻意降低速度或換道,否則必然造成交通事故,這也揭示了我國混合交通的現(xiàn)狀與性能較差的重型車輛對交通的安全影響,以及利用傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法存在的弊端.

2.1 極限狀態(tài)方程

車輛爬坡距離受多因素制約,其計(jì)算公式為

(9)

(a) 觀測點(diǎn)1

(b) 觀測點(diǎn)2

(d) 觀測點(diǎn)4

式中,V1和V2分別為入坡和到達(dá)坡頂時(shí)的運(yùn)行速度;δ為旋轉(zhuǎn)質(zhì)量換算系數(shù);D1和D2分別為V1和V2的動力學(xué)因子;f為滾動阻力系數(shù);l為坡度.

式(7)計(jì)算得到的爬坡距離是車輛實(shí)際需要的距離,即需求值.《公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG D20—2006)中提供的爬坡指標(biāo)值是供給值,可表示為一個(gè)常數(shù)集.構(gòu)建極限狀態(tài)方程為

(10)

2.2 一階可靠度方法

(11)

式中,f(g)為極限狀態(tài)方程g的概率密度函數(shù);μg和σg分別為極限狀態(tài)方程g的均值和標(biāo)準(zhǔn)差.

可靠度指標(biāo)為

(12)

式中,μS和μD分別為供給和需求的均值;σS和σD分別為供給和需求的標(biāo)準(zhǔn)差.

基于數(shù)據(jù)分析,此路段超過15 t的貨車數(shù)量約占車輛總數(shù)的45%.參考運(yùn)行速度概念,選取第15%分位作為不利計(jì)算車型選取的標(biāo)準(zhǔn),以車輛載重噸位為基礎(chǔ)確定計(jì)算車型,并充分考慮實(shí)測車輛運(yùn)行速度分布情況以及車輛普遍降速通過的特征,適當(dāng)放寬計(jì)算車型噸位要求.綜合考慮選取典型的黃河牌JN162貨車作為計(jì)算車型,其總質(zhì)量為15.06 t.通過實(shí)測可以獲得不同觀測點(diǎn)的運(yùn)行速度,經(jīng)過多次監(jiān)測求得貨車在長上坡段不同位置的平均瞬時(shí)運(yùn)行速度,此過程不考慮其他因素影響,如天氣變化、駕駛員差異等.上坡段運(yùn)行速度差控制為20 km/h,超過這個(gè)指標(biāo)值即視為車輛爬坡存在安全隱患,求得汽車爬坡實(shí)際的需求值.

通過控制變量法,選取《公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG D20—2006)中提供的爬坡長度作為供給值進(jìn)行試驗(yàn)計(jì)算,坡長選取為400～2 000 m,步長為100 m.選取坡度依次遞增的6種坡度值為控制指標(biāo),其中包括準(zhǔn)臨界坡度2.8%和2.9%.通過計(jì)算可以得到我國《公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范》中供給坡長控制指標(biāo)在此段道路工況下的可靠性概率值,結(jié)果見表2.

表2 不同坡度值下供給坡長的可靠性概率值 %

隨著坡度和坡長值的增加,可靠性指標(biāo)非線性下降,且坡度值越大,下降趨勢越快.這說明設(shè)計(jì)者在選用規(guī)范中指標(biāo)時(shí)應(yīng)避免采用計(jì)算下限閾值作為設(shè)計(jì)值,準(zhǔn)臨界狀態(tài)時(shí)的幾何參數(shù)選用需要進(jìn)行可靠性論證.

2.3 蒙特卡羅仿真法

蒙特卡羅仿真法使用計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù),可以求解出一階可靠度方法中無法參與數(shù)值計(jì)算的車輛動力性能參數(shù).通過在MATLAB軟件中編程,可以抽樣模擬計(jì)算出系統(tǒng)的失效概率.假設(shè)道路等級為高速公路,設(shè)計(jì)速度為120 km/h,坡度值為3%;車輛滾動摩阻系數(shù)為0.01,慣性力系數(shù)為1.07;海拔荷載修正系數(shù)為1.0.

(13)

假設(shè)隨機(jī)變量Yt服從均值為μYt,標(biāo)準(zhǔn)差為σYt的正態(tài)分布,利用坐標(biāo)變換法可得

(14)

選取不同的坡長供給值進(jìn)行仿真計(jì)算,設(shè)計(jì)速度120 km/h、坡度3%工況下的計(jì)算結(jié)果見表3.

表3 不同坡長供給值的失效概率

與一階可靠度方法計(jì)算的可靠性概率值相比,設(shè)計(jì)者在選用《公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范》中指標(biāo)時(shí),應(yīng)避免采用計(jì)算上限閾值作為設(shè)計(jì)值.

2.4 敏感性分析及結(jié)果

本研究選用15 t級的重型貨車計(jì)算坡長,而我國早期制定規(guī)范時(shí)一般采用輕型車或中型車(質(zhì)量小于5 t)作為計(jì)算車型.顯然,本研究選取的計(jì)算車型更加符合當(dāng)前我國交通運(yùn)營狀況.

計(jì)算結(jié)果見圖6.由圖可知,使用蒙特卡羅仿真法和一階可靠度方法得到的900 m坡長失效概率分別為8.53%和22.63%.假設(shè)規(guī)范中提供的坡長值是合理有效的指標(biāo),置信水平達(dá)到95%,其對應(yīng)表1中可靠度指標(biāo)值為2.5～3.0,則900 m坡長可靠度應(yīng)大于90%,即失效概率小于10%.因此,使用蒙特卡羅模擬法進(jìn)行坡長計(jì)算時(shí)的計(jì)算精度優(yōu)于一階可靠度方法.究其原因在于:① 為了降低一階可靠度方法數(shù)值計(jì)算難度,假設(shè)變量之間相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布,同時(shí)減少了變量個(gè)數(shù),簡化了坡長計(jì)算公式,但其變量之間顯然存在一定的相關(guān)性,這是一種近似求解.② 使用一階可靠度方法需要進(jìn)行泰勒級數(shù)展開,將極限狀態(tài)方程線性化,其求解是一種近似方法,且極限狀態(tài)方程包含多個(gè)隨機(jī)變量,在求解過程中,需要求解各變量的偏微分,使得數(shù)值計(jì)算很難精確求解,每一步近似求解導(dǎo)致最終誤差擴(kuò)大.因此,一階可靠度方法的計(jì)算精度較低.相對而言,蒙特卡羅仿真法對變量隨機(jī)特征、分布情況要求不高,故在坡長計(jì)算上更有優(yōu)勢.

圖6 2種方法的失效概率比較

基于野外實(shí)測數(shù)據(jù)可知,重型貨車的入坡速度通常小于80 km/h,爬坡過程中平均速度衰減為27 km/h.因此,假定車輛入坡速度為80 km/h,選取坡度區(qū)間為[2.5%, 3.0%],步長為0.1%.對于設(shè)計(jì)速度120 km/h的高速公路,準(zhǔn)臨界坡長值需要達(dá)到表4中的距離,才能保證混合交通下車輛爬坡的安全可靠性超過95%.

表4 入坡速度80 km/h時(shí)準(zhǔn)臨界坡長建議值

根據(jù)我國目前的交通運(yùn)營狀況,以JN162黃河貨車為計(jì)算車型計(jì)算不同坡度下坡長取值的可靠性概率,結(jié)果見圖7.由圖可知,當(dāng)坡度值為3.0%時(shí),為了保證車輛爬坡成功的安全概率達(dá)到90%以上,坡長值應(yīng)該修正為小于700 m.然而,我國《公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范》中提供的坡度3.0%的坡長上限值為900 m,在圖7中對應(yīng)的安全概率僅約50%,這一控制值是以輕型車或中型車為計(jì)算車型

圖7 不同坡度下車輛爬坡安全概率分布

獲得的結(jié)果,在一些重型車輛比例較高的地區(qū),重型貨車爬坡安全系數(shù)會比較低;加之我國重型車輛動力性能方面較差,且常出現(xiàn)超載超重等違法情況,致使我國很多長上坡路段出現(xiàn)事故高發(fā)情況.

對于可靠度的理解應(yīng)從概率角度出發(fā).由圖7可知,隨著坡長、坡度值的增加,車輛爬坡的安全可靠性概率逐漸降低,但不能理解為概率低事故就一定發(fā)生.對于《公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范》中900 m坡長,其失效概率為50%,不能理解為此路段一半的車輛會發(fā)生事故.本研究的計(jì)算模型是在保證一定交通流情況下的計(jì)算結(jié)果,往往在實(shí)際交通運(yùn)營中,重型貨車的爬坡速度較低(遠(yuǎn)低于設(shè)計(jì)速度80 km/h,甚至低于40 km/h),雖然低速的爬坡性能相對較好,但犧牲了交通運(yùn)輸效率.在滿足我國高速公路運(yùn)行速度規(guī)定的前提下,如果要保證坡度3.0%對應(yīng)坡長的可靠性概率值達(dá)到95%,最大臨界坡長值僅為620 m.

綜合比較2種方法計(jì)算得到的坡長結(jié)果,并對比我國《公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范》中坡長規(guī)定值,給出不同設(shè)計(jì)速度和設(shè)計(jì)坡度下我國高速公路坡長建議值(見表5).

表5 不同設(shè)計(jì)速度和坡度下準(zhǔn)臨界坡度的坡長建議值

3 結(jié)論

1) 基于可靠度理論及方法計(jì)算高速公路準(zhǔn)臨界坡長,使原本確定性設(shè)計(jì)理念轉(zhuǎn)變?yōu)楦怕收摰目煽啃栽O(shè)計(jì)理念,量化了規(guī)范中指標(biāo)參數(shù)的選用.通過2種可靠度方法的應(yīng)用,改進(jìn)了我國高速公路準(zhǔn)臨界條件下坡長值的計(jì)算方法.通過敏感性分析,驗(yàn)證了可靠度理論適用于坡長設(shè)計(jì),且滿足一定的工程精度.

2) 我國《公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范》中缺乏對參數(shù)指標(biāo)值選用的連續(xù)約束,通過利用可靠度方法計(jì)算坡長值,發(fā)現(xiàn)我國混合交通下的高速公路坡長上限值偏高.基于可靠度計(jì)算給出了各種坡度條件下的坡長建議值,約束了規(guī)范中準(zhǔn)臨界狀態(tài)下指標(biāo)值的選用,避免了惡意透支使用規(guī)范.

3) 對于可靠度方法的選用,應(yīng)充分了解所構(gòu)建的極限狀態(tài)方程包含的隨機(jī)變量分布情況及數(shù)值求解難度.當(dāng)極限狀態(tài)方程為線性函數(shù),且滿足隨機(jī)變量為相互獨(dú)立時(shí),使用一階可靠度能夠得到精確的解;而對于高度非線性的極限狀態(tài)方程,或隨機(jī)變量高度相關(guān)的函數(shù),應(yīng)選用更高階的可靠度方法或蒙特卡羅仿真法.

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