薄壁連續(xù)箱梁的彎曲自振頻率分析

李麗園 周茂定 張?jiān)?/p>

(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院, 蘭州 730070)

現(xiàn)代大跨度橋梁常用的截面形式為箱形截面,而組成箱形截面的各箱壁板厚遠(yuǎn)小于其截面寬度和高度,具有薄壁桿件的特性[1].薄壁箱梁橋在彎曲荷載作用下存在翼板和腹板的剪切效應(yīng),導(dǎo)致其彎曲靜力和動(dòng)力特性的求解較為復(fù)雜[2-3].橋梁的彎曲自振特性對(duì)于判斷橋梁剛度、計(jì)算橋梁沖擊系數(shù)以及分析橋梁的抗震性能有著重要的作用.因此，較為準(zhǔn)確地求出箱梁的彎曲自振頻率十分重要.

張永健等[4]分析了考慮剪力滯效應(yīng)影響的簡(jiǎn)支箱梁彎曲自振特性.甘亞楠等[5]采用2個(gè)未知參數(shù)分別表示箱梁翼板和腹板剪切變形,建立了彎曲自振頻率的控制微分方程,并根據(jù)連續(xù)梁的邊界條件,求解高次微分方程得到相應(yīng)的彎曲自振頻率.周旺保等[6]在此基礎(chǔ)上考慮截面的軸向平衡條件,求得考慮剪力滯和剪切變形時(shí)的箱梁自振頻率.冀偉等[7]將上述一般箱梁的分析理論引入波形鋼腹板箱梁,并結(jié)合波形鋼腹板的特點(diǎn),分析出適用于波形鋼腹板箱梁的彎曲自振頻率計(jì)算式.以上文獻(xiàn)均采用2個(gè)未知函數(shù)分別考慮箱梁翼板和腹板的剪切變形,且未給出考慮剪切變形影響的等截面連續(xù)箱梁自振頻率解析表達(dá)式.

本文基于薄壁箱梁的彎曲理論,選取一個(gè)未知剪切函數(shù)來(lái)綜合表達(dá)薄壁箱梁考慮剪切變形影響時(shí)翼板和腹板的縱向位移,并以此位移函數(shù)為基礎(chǔ),運(yùn)用三彎矩法求得考慮剪切變形影響的等截面連續(xù)箱梁的彎曲自振頻率表達(dá)式.

1 薄壁箱梁的彎曲總勢(shì)能分析

薄壁箱梁截面示意圖見(jiàn)圖1.坐標(biāo)系為xyz,z為沿梁軸線方向坐標(biāo),坐標(biāo)原點(diǎn)o位于截面形心處.nsz為箱壁中面上的流動(dòng)坐標(biāo)系;s為沿箱壁周邊的切向坐標(biāo);n為沿箱壁周邊的法向坐標(biāo);ys為形心軸至頂板中面的距離;yx為形心軸至底板中面的距離;b1為頂板中心至腹板中心的距離;b2為腹板中心至翼板邊緣的距離;D1為x軸與腹板中面的交點(diǎn);D2為腹板與頂板的交點(diǎn);D3為腹板與底板的交點(diǎn).

圖1 箱梁截面示意圖

對(duì)薄壁箱梁采用如下基本假設(shè):

1) 小變形條件下,桿件的外形輪廓不變形,即周邊不變形;

2) 忽略組成箱梁壁板厚度方向的應(yīng)變,即τnz=0,σn=0;

3) 各板中面應(yīng)變?chǔ)舠=0,即箱梁各壁板沿s方向(板平面)切向不可伸縮.

根據(jù)如上假設(shè)可知,當(dāng)薄壁箱梁受彎曲荷載時(shí),其剪應(yīng)變與彎曲剪力流的微分關(guān)系如下[8]:

(1)

式中,γ為剪應(yīng)變;u為箱梁z軸向位移;v為箱梁截面周向位移;q(z)為彎曲剪力流;G為剪切模量;ti為箱梁壁厚.

根據(jù)薄壁箱梁的彎曲理論[9]可求得箱梁腹板任意點(diǎn)的剪力流表達(dá)式為[10]

(2)

式中,q1(z)為點(diǎn)D1處的剪力流;Q(z)為箱梁剪力;Ix為截面慣性矩;At,Au分別為x軸以上翼板和腹板的面積;tw為腹板厚度.

將式(2)代入式(1),關(guān)于s積分整理后可得

(3)

式中,u2(z)為積分起點(diǎn)D2處的縱向位移;v′(z)為v(z)對(duì)z的一階導(dǎo)數(shù).

對(duì)于箱梁腹板,截面周向位移v即為箱梁豎向位移w.根據(jù)s與y的坐標(biāo)關(guān)系,通過(guò)式(3)可將箱梁腹板上任一點(diǎn)的縱向位移表示為

(4)

式中

式中,w′(z)為w(z)對(duì)z的一階導(dǎo)數(shù);u1(z)為D1點(diǎn)的縱向位移.

采用同樣的分析方法,根據(jù)彎曲剪力流與剪應(yīng)變關(guān)系,在基本假設(shè)條件下,可求得分別用D2點(diǎn)和D3點(diǎn)表示的箱梁翼板彎曲縱向位移,具體分析過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)[10],其表達(dá)式為

u(x,y,z)=us,x+βζ(x,y)g(z)

(5)

式中

(6)

式中,us,x為頂板、底板與腹板相交點(diǎn)的縱向位移.

箱梁全截面的縱向位移可統(tǒng)一表示為

β(x,y)g(z)+u1(z)

(7)

式中,β(x,y)為全截面廣義剪切翹曲位移函數(shù).

考慮截面應(yīng)力的軸向平衡條件可得

(8)

式中,Fz為截面軸力;σz,εz分別為截面正應(yīng)力和應(yīng)變;E為彈性模量;A為箱梁全截面的面積.

將式(7)代入式(8),根據(jù)小變形假設(shè)可得

u1(z)=-dg(z)

(9)

式中

(10)

式中,Ad,Ac,Ab分別為箱梁頂板、懸臂板、底板的面積.

將式(9)代入式(7)后,將d合并至式(6),可得箱梁截面各點(diǎn)的縱向應(yīng)變?yōu)?/p>

(11)

翼板的剪切應(yīng)變?yōu)?/p>

(12)

腹板的剪切應(yīng)變?yōu)?/p>

(13)

式中,g′(z)為g(z)對(duì)z的一階導(dǎo)數(shù).

由能量原理可得薄壁箱梁的彎曲應(yīng)變能為

(14)

剪切應(yīng)變能為

(15)

薄壁箱梁總的彎曲剪切應(yīng)變能為

G(Ax+Ay)g2]dz

(16)

式中

式中,Ax,Ay分別為翼板和腹板的剪切翹曲面積;Ix為平截面假定下的彎曲慣性距;Iβ為截面翹曲慣性距;Iyβ為截面翹曲慣性距;l為箱梁跨徑.

薄壁箱梁的動(dòng)能主要包括豎向彎曲動(dòng)能和梁的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能.對(duì)于一般箱梁,其轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能很小,可忽略不計(jì)[6].因此,箱梁的撓曲動(dòng)能為

(17)

由式(16)和(17)可得

(18)

式中,t1和t2表示任意2個(gè)時(shí)刻.

(19)

EIβg″+EIyβw?-G(Ax+Ay)g=0

(20)

所得自然邊界條件為

(21)

(22)

(23)

由此可得簡(jiǎn)支端的邊界條件為

w=0,w″=0,g′=0

固定端的邊界條件為

自由端的邊界條件為

2 控制微分方程的求解

設(shè)薄壁箱梁自由振動(dòng)時(shí)的豎向位移函數(shù)和剪切變形縱向函數(shù)分別為

w(z,t)=w(z)sin(ωt+φ)

(24)

g(z,t)=g(z)sin(ωt+φ)

(25)

式中,ω,φ分別為箱梁自由彎曲振動(dòng)的圓頻率和初始相位角.

將式(24)和(25)代入式(19)和(20),得到關(guān)于撓度的微分方程.由于sin(ωt+φ)不恒為零,消去此項(xiàng)并化簡(jiǎn)微分方程后得

(26)

式(26)的特征方程為

(27)

由文獻(xiàn)[5]可知,特征方程式(27)的特征解為±λ1i,±λ2,±λ3,從而可得式(26)的通解為

w(z)=C1cos(λ1z)+C2sin(λ1z)+C3cosh(λ2z)+

C4sinh(λ2z)+C5cosh(λ3z)+C6sinh(λ3z)

(28)

式中,C1～C6為微分常數(shù).根據(jù)梁兩端的3個(gè)自然邊界條件,可組成6個(gè)方程.

對(duì)于兩端簡(jiǎn)支的箱梁,6個(gè)方程可組成關(guān)于C1～C6的齊次方程組.若此方程組有非零解,則系數(shù)矩陣行列式的值為零,用MATLAB軟件編寫(xiě)相應(yīng)計(jì)算程序得到

(29)

由于λ2≠λ3,且式(29)等式左邊中括號(hào)內(nèi)截面特性不為零,故式(29)成立時(shí)有

sin(λ1l)=0

(30)

由此可得,λ1=nπ/l,其中n∈N.則簡(jiǎn)支梁自振圓頻率ω的表達(dá)式為

(31)

式中

(32)

式(31)較文獻(xiàn)[11]中不考慮剪切效應(yīng)時(shí)的彎曲自振頻率計(jì)算式多了一個(gè)an的修正系數(shù).分析式(32)可知,當(dāng)箱梁截面確定時(shí),an僅受特征值λ的影響.

3 連續(xù)箱梁橋彎曲自振頻率的分析

對(duì)于如圖2所示的等截面連續(xù)箱梁橋,可在簡(jiǎn)支箱梁的基礎(chǔ)上運(yùn)用三彎矩法求解.

圖2等截面連續(xù)梁示意圖

由文獻(xiàn)[12-13]可知,對(duì)于如圖2(a)所示的等跨度等截面連續(xù)箱梁,其彎曲自振頻率的矩陣形式為

(33)

式中

Gm=cothλl-cotλl

式中,Mm為第m個(gè)中支點(diǎn)處的彎矩.

對(duì)于圖2(b)所示的不等跨等截面連續(xù)箱梁,設(shè)邊跨跨徑lb與中跨跨徑lz的比值為r,即r=lb/lz,其彎曲自振頻率的矩陣形式為

(34)

式中

Gmb=cothrλlz-cotrλlz

Gmz=cothλlz-cotλlz

式(33)和(34)為連續(xù)梁彎曲自振的三彎矩方程組,據(jù)此便可求得等截面連續(xù)箱梁的彎曲自振頻率.以三等跨連續(xù)梁為例，求解其彎曲自振頻率.在式(33)中,當(dāng)中支點(diǎn)處M1=M2=0時(shí),結(jié)構(gòu)的自振特性與簡(jiǎn)支梁相同,則

(35)

當(dāng)中支點(diǎn)處的彎矩不為零時(shí),根據(jù)式(33)可得

(36)

進(jìn)而可得

2Gm-Hm=0

(37a)

或

2Gm+Hm=0

(37b)

將Hm和Gm的表達(dá)式代入式(37)后可得

2(coshλlsinλl-sinhλlcosλl)-(sinλl-sinhλl)=0

(38a)

2(coshλlsinλl-sinhλlcosλl)+(sinλl-sinhλl)=0

(38b)

運(yùn)用MATLAB軟件求解超越方程式(38a)和(38b),并依照所求解的大小次序排列可得

(39)

將求得的特征解代入式(31) 和(32),便可得到相應(yīng)的連續(xù)箱梁彎曲自振頻率.

采用同樣的分析方法可求得常用跨數(shù)的等跨度連續(xù)箱梁橋彎曲自振頻率表達(dá)式,結(jié)果見(jiàn)表1.

對(duì)于邊跨小于中跨的連續(xù)箱梁,只需求得滿足式(34)的特征解后,代入式(31)和(32),便可得到不等跨連續(xù)箱梁彎曲自振頻率.圖3給出了三跨和四跨連續(xù)梁在不同邊中跨徑比r時(shí)前4階彎曲自振頻率對(duì)應(yīng)的特征解與跨徑的乘積λl.

表1 等跨度連續(xù)箱梁彎曲自振頻率表達(dá)式

(a) 三跨連續(xù)梁

(b) 四跨連續(xù)梁

分析圖3可知,彎曲自振頻率對(duì)應(yīng)的特征解隨著邊中跨徑比的增大而減小,即彎曲自振頻率逐漸變大;隨著跨數(shù)的增加,連續(xù)箱梁的彎曲自振頻率對(duì)應(yīng)的特征解逐漸減小,即彎曲自振頻率減小.

4 數(shù)值算例

對(duì)于某三跨40 m的直腹板連續(xù)箱梁,其材料特性及截面幾何參數(shù)[5]如下:彈性模量E=35 GPa,密度ρ=2 500 kg/m3,泊松比μ=0.2;各翼板厚度均為0.25 m,腹板厚度為0.40 m,頂板半寬度b1=3.55 m,梁高h(yuǎn)=3.75m,懸臂板寬度b2=2.5 m.

分別采用本文方法和ANSYS軟件中的beam 189梁?jiǎn)卧皊hell 63空間殼單元建立有限元模型,計(jì)算連續(xù)箱梁的前5階彎曲自振頻率,結(jié)果見(jiàn)表2.

表2 不同方法計(jì)算的連續(xù)箱梁彎曲自振頻率 Hz

由于ANSYS殼單元計(jì)算的豎向彎曲頻率中高階振型會(huì)摻雜箱壁板的振動(dòng)因素,故本文只挑選前3階豎向頻率(其他因素影響相對(duì)較小)列于表2中.由表可知,本文考慮剪切效應(yīng)的解析解與考慮剪切效應(yīng)的ANSYS梁?jiǎn)卧皻卧?jì)算結(jié)果吻合良好,從而驗(yàn)證了本文解析解的正確性.剪切效應(yīng)對(duì)箱梁的一階彎曲頻率的影響超過(guò)5%,且影響值隨頻率的增加而增大.

分別按照本文方法、規(guī)范公式[11]和ANSYS梁?jiǎn)卧?jì)算連續(xù)梁彎曲自振頻率,結(jié)果見(jiàn)表3,箱梁截面特性不變,中跨跨徑l=30 m.

表3 計(jì)算沖擊時(shí)所用連續(xù)箱梁的彎曲自振頻率 Hz

注:f1和f2分別為連續(xù)梁計(jì)算跨中和支點(diǎn)沖擊所用頻率.

考慮剪切變形時(shí)的頻率差值比ψ為

規(guī)范公式與ANSYS計(jì)算結(jié)果的頻率差值比κ為

式中,fh為忽略剪切變形時(shí)的彎曲自振頻率;fk為考慮剪切變形時(shí)的彎曲自振頻率;fg為規(guī)范公式計(jì)算出的彎曲自振頻率;fa為ANSYS有限元計(jì)算出的彎曲自振頻率.

由表3可知,考慮剪切效應(yīng)的解析解與考慮剪切效應(yīng)的ANSYS梁?jiǎn)卧?jì)算值吻合良好.考慮剪切變形時(shí)所計(jì)算的頻率要小于不考慮剪切變形結(jié)果.對(duì)于r=0.7時(shí)的兩跨連續(xù)梁,二者頻率的差值比ψ=26.85%.按規(guī)范公式計(jì)算的頻率均大于ANSYS有限元計(jì)算結(jié)果；對(duì)于三等跨連續(xù)梁,二者頻率差值比κ=75.7%.顯然,用規(guī)范公式計(jì)算連續(xù)箱梁的自振頻率偏大,但這樣計(jì)算所得的沖擊效應(yīng)也會(huì)偏大,對(duì)于橋梁設(shè)計(jì)將偏于安全.

為進(jìn)一步分析剪切變形對(duì)連續(xù)箱梁彎曲自振頻率的影響,取上述截面的兩跨連續(xù)箱梁,跨徑l取為25～50 m,所對(duì)應(yīng)的高跨比ξ為0.075～0.150,寬跨比η為0.142～0.280.連續(xù)箱梁的彎曲自振頻率的差值比ψ隨高跨比變化曲線見(jiàn)圖4.

圖4 兩跨連續(xù)箱梁在不同高跨比下的ψ值

由圖4可知,隨著寬跨比和高跨比的增大,剪切變形的影響不斷變大.當(dāng)η=0.28,ξ=0.15時(shí),1～4階彎曲自振頻率的差值比由15.8%增至63.6%,說(shuō)明剪切變形對(duì)彎曲自振頻率的影響隨著階數(shù)的增加而增大.因此,計(jì)算連續(xù)箱梁高階彎曲自振頻率時(shí),剪切變形的影響不可忽略.

5 結(jié)論

1) 基于薄壁箱梁的彎曲理論,將箱梁翼板和腹板剪切變形綜合為一個(gè)剪切翹曲函數(shù),運(yùn)用能量變分法及Hamilton原理導(dǎo)出并求解箱梁彎曲自振頻率的控制微分方程.在簡(jiǎn)支箱梁彎曲自振頻率的基礎(chǔ)上,利用三彎矩法,分析出考慮剪切變形影響的等截面連續(xù)箱梁的彎曲自振頻率表達(dá)式.

2) 通過(guò)對(duì)連續(xù)箱梁彎曲自振頻率對(duì)應(yīng)的特征解分析可知:隨著邊中跨比的減小,連續(xù)箱梁的彎曲自振頻率逐漸增大;隨著連續(xù)箱梁跨數(shù)的增加,橋梁的彎曲自振頻率逐漸減小.

3) 按照本文公式計(jì)算的連續(xù)箱梁彎曲自振頻率與ANSYS空間殼單元及考慮剪切效應(yīng)的梁?jiǎn)卧邢拊?jì)算結(jié)果吻合良好.按本文公式計(jì)算簡(jiǎn)支和連續(xù)梁的彎曲自振頻率,所得結(jié)果精度較高.根據(jù)現(xiàn)行公路橋規(guī)中所給的頻率表達(dá)式得到的計(jì)算結(jié)果偏大,但若用其計(jì)算沖擊效應(yīng)時(shí),計(jì)算結(jié)果將會(huì)偏于安全.

4) 考慮剪切變形影響所計(jì)算的箱梁彎曲自振頻率小于不考慮剪切變形的結(jié)果,且頻率階數(shù)越高,差值越大.隨著箱梁高跨比和寬跨比的增大,剪切變形的影響也會(huì)變大.在計(jì)算連續(xù)箱梁高階頻率時(shí),剪切變形的影響不可忽略.

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