基于逼近理論的線性/非線性建模

黃 仁 許飛云 陳茹雯 馬家欣

(東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 南京 211189)

在系統(tǒng)辨識(shí)中,傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都是在假設(shè)系統(tǒng)有輸入/輸出的條件下進(jìn)行建模,其主要目的是根據(jù)輸入/輸出數(shù)據(jù)確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù),這種方法比較成熟,但不適用無(wú)輸入或者輸入不能確知的情況.時(shí)間序列分析模型是以白噪聲作為輸入,提供了另一種建模策略來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題,但只限于線性系統(tǒng)且是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,這就使得時(shí)間序列模型的應(yīng)用受到很大限制,或者由于應(yīng)用不妥當(dāng),而效果變差.ARMA(n,m)模型盡管只適用于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,但在預(yù)測(cè)、預(yù)報(bào)及金融方面,ARMA模型仍然引起許多研究者的興趣[1-2].因?yàn)樵谶@些領(lǐng)域中,就預(yù)測(cè)而言,其他模型還遠(yuǎn)比不上時(shí)間序列模型,因?yàn)闀r(shí)間序列的建?；A(chǔ)是根據(jù)系統(tǒng)的線性相關(guān),針對(duì)系統(tǒng)“記憶”能力來(lái)建模的,這符合預(yù)測(cè)的直觀理念.文獻(xiàn)[3]提出用GNAR(p;n1,n2,…,np)代替ARMA(n,m)模型,作為時(shí)間序列的一般表達(dá)式,拓寬了時(shí)間序列分析的應(yīng)用范圍和應(yīng)用效果.本文從更廣的視野,以Weierstrass逼近原理為基礎(chǔ),提出了3種不同的輸入、輸出方式的表達(dá)式,使Weierstrass表達(dá)式和系統(tǒng)辨識(shí)2門(mén)不同的學(xué)科有了實(shí)際的連接[4].本文還研究了目前常用H. Akaike準(zhǔn)則存在的問(wèn)題及適用性,提出了DIC準(zhǔn)則,工程試驗(yàn)證明:GNPA[3](general expression of system identification for linear and nonlinear with polynomial approximation)模型也可識(shí)別鋼板材料的裂紋,進(jìn)一步擴(kuò)大了其應(yīng)用領(lǐng)域.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 Weierstrass逼近定理簡(jiǎn)述

Weierstrass逼近定理是利用冪級(jí)數(shù)來(lái)構(gòu)造某函數(shù)的理論.其中最引人注意的是整函數(shù)與函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)的乘積是均勻收斂的[5],并且任意定義在實(shí)軸上的閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)都可以用絕對(duì)且均勻收斂的多項(xiàng)式表示[6].

上述定義包括2層含義:

① 若有一序列均勻收斂的連續(xù)函數(shù),其誤差極限必定是連續(xù)函數(shù);

② 在區(qū)間[a,b]的任意連續(xù)函數(shù)都可以用Weierstrass多項(xiàng)式逼近.

1.2 Weierstrass逼近定理的一般表達(dá)式

Weierstrass一般表達(dá)式與輸入/輸出形式、或者線性/非線性以及函數(shù)的類型有關(guān),表達(dá)式為[7]

(1)

1.3 Weierstrass逼近理論在工程中應(yīng)用的可行性

現(xiàn)以金屬切削加工的齒輪滾刀為例(見(jiàn)圖1).垂直滾刀螺旋槽的截面是一個(gè)齒條,每一個(gè)齒就是一個(gè)多邊形(多項(xiàng)式表示),當(dāng)滾刀連續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí),齒的先后位置就像Weierstrass多邊形的連續(xù)位置,滾刀毎轉(zhuǎn)一個(gè)齒,就像Weierstrass逼近定理毎逼近一步,它和函數(shù)的接觸點(diǎn)的包絡(luò)線就像滾刀加工齒輪的廓形,它的齒廓偏差可達(dá)微米級(jí),這說(shuō)明多項(xiàng)式逼近函數(shù)的精度很高,理論上證明偏差接近于零.

圖1 多項(xiàng)式逼近理論的意義(齒輪滾削)

以上的例子雖是機(jī)械加工的例子,它所加工齒輪的廓形是漸開(kāi)線,但其逼近原理和Weierstrass逼近定理是一致的,其他如插齒、花鍵加工都可以用Weierstrass逼近定理來(lái)描述,非常直觀.齒輪加工的應(yīng)用也有將近一個(gè)世紀(jì),加工精度愈來(lái)愈高,在工程中的應(yīng)用具有廣泛發(fā)展前景.本文著重在系統(tǒng)辨識(shí)領(lǐng)域中,利用Weierstrass逼近定理方法建模,以適應(yīng)現(xiàn)代高速運(yùn)動(dòng)機(jī)械建立數(shù)學(xué)模型的需要.

2 輸入方式與系統(tǒng)連接的關(guān)系

2.1 有輸入/輸出的系統(tǒng)辨識(shí)模型的連接

首先介紹有輸入/輸出的模型,這種模型一般稱為系統(tǒng)辨識(shí)模型,用得最多,研究得比較成熟,它的一般表達(dá)式為

(2)

式中,G(s)為傳遞函數(shù);w(s)為輸出,可根據(jù)研究對(duì)象進(jìn)行檢測(cè);u(s)為輸入,在很多情況下,輸入為未知的,在機(jī)器的內(nèi)部也難以測(cè)量,這就影響G(s)的測(cè)量.把輸入u(s)轉(zhuǎn)換為輸出w(s),一般只能憑先驗(yàn)知識(shí)或模擬實(shí)驗(yàn),例如機(jī)床刀架的二階振動(dòng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)必須采用彈簧阻尼系統(tǒng),通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)模擬,機(jī)床上走刀機(jī)構(gòu)就是這樣模擬的.但是實(shí)際設(shè)備的彈簧阻尼系統(tǒng)要比實(shí)驗(yàn)用的彈簧阻尼系統(tǒng)復(fù)雜得多,從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看,它們是等價(jià)的,但等價(jià)不是相等,因此實(shí)際應(yīng)用要根據(jù)檢測(cè)數(shù)據(jù),不斷地修正.大型機(jī)械進(jìn)行性能實(shí)驗(yàn)時(shí),仍然是用彈簧阻尼系統(tǒng)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn),這時(shí)就很難得到設(shè)備的等效負(fù)荷,例如車(chē)輛的負(fù)載與其運(yùn)輸對(duì)象實(shí)際重量有關(guān),阻尼系數(shù)也只能憑先驗(yàn)知識(shí)確定,因此,實(shí)驗(yàn)室結(jié)果與生產(chǎn)中的實(shí)際對(duì)象有很大差別.隨著自動(dòng)化科學(xué)的發(fā)展,許多經(jīng)典系統(tǒng)辨識(shí)的方法(如脈沖響應(yīng)的方法、Volterra級(jí)數(shù)等)也都存在各自的缺點(diǎn)[10-11],文獻(xiàn)[12]全面研究了隨機(jī)過(guò)程的優(yōu)化與控制.本文所提出的多項(xiàng)式逼近求解模型參數(shù)沒(méi)有上述問(wèn)題,從數(shù)學(xué)上來(lái)看雖然也是一個(gè)等價(jià)系統(tǒng),但其誤差很小以致逼近于零.并且在Weierstrass展開(kāi)式運(yùn)算中,可以直接分解出參數(shù),進(jìn)行參數(shù)估計(jì),有了模型參數(shù)可以反過(guò)來(lái)求傳遞函數(shù),得到與實(shí)際更接近的傳遞函數(shù),或者應(yīng)用故障診斷學(xué)觀點(diǎn),構(gòu)造更多的特性函數(shù),簡(jiǎn)化對(duì)系統(tǒng)的描述,實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化和控制.

根據(jù)式(1),輸入輸出關(guān)系式為

(3)

式中,wt-i為t-i時(shí)刻的系統(tǒng)輸出;et=1,2,…,t為逼近誤差;p為模型階次;ut-j為向量ut,i,1中的第j個(gè)元素;nw,j(j=1,2,…,p)為輸出{wt}各項(xiàng)的記憶步長(zhǎng);nu,j(j=1,2,…,p)為輸入{ut}各項(xiàng)記憶步長(zhǎng);τu為系統(tǒng)輸入{ut}的延遲.該模型簡(jiǎn)記為GNPA(p;τu;nw,1,nw,2,…,nw,p;nu,1,nu,2,…,nu,p).由式(3)得到的展開(kāi)式是經(jīng)過(guò)采樣,故寫(xiě)成離散形式,變量坐標(biāo)寫(xiě)在角標(biāo)上.輸入u(t)是連續(xù)信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣脈沖得到離散信號(hào)ut,再經(jīng)過(guò)后移算子使后續(xù)系統(tǒng)進(jìn)入工作狀態(tài),并完成全部計(jì)算再與at一起求和得到輸出wt.ut和wt都是已知的(可以檢測(cè)得到),未知數(shù)是模型參數(shù),模型參數(shù)與模型階數(shù)有關(guān),有待以下討論.

2.2 輸入是白噪聲辨識(shí)模型的連接

白噪聲的統(tǒng)計(jì)特性為

① 零均值E[at]=0.

這表明白噪聲過(guò)程的前后彼此無(wú)關(guān).

借助時(shí)間序列分析的觀點(diǎn)，輸入為白噪聲時(shí)的模型表達(dá)式為

(4)

圖2 輸入為白噪聲的系統(tǒng)的邏輯框圖

式(4)中,et與計(jì)算誤差合在一起用at表示.由圖2可知,各子項(xiàng)在計(jì)算過(guò)程中都用αi1,i2表示各階參數(shù),在最小二乘估計(jì)時(shí),按其實(shí)際意義設(shè)置角標(biāo).

2.3 混合系統(tǒng)辨識(shí)模型的連接

如果輸入比較復(fù)雜,既有白噪聲{at},又有已知的單個(gè)輸入{ut},那么GNPA模型就寫(xiě)成為單輸入的GNPAX模型.它的一般表達(dá)式為

(5)

模型(5)簡(jiǎn)記為GNPAX(p;τu;nw,1,nw,2,…,nw,p;nu,1,nu,2,…,nu,p).該模型可以推廣至雙輸入和多輸入模型.

3 模型參數(shù)估計(jì)及定階方法的改進(jìn)

3.1 模型參數(shù)估計(jì)

本文的出發(fā)點(diǎn)是立足于在區(qū)間[a,b]的任意連續(xù)函數(shù)都可以用多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)逼近,但它只說(shuō)明數(shù)學(xué)的概念,而式(3)～(5)是不同的輸入、輸出方式的表達(dá)式,它包含輸入、輸出和模型參數(shù),因而可直接從運(yùn)算結(jié)果獲取模型參數(shù),然后進(jìn)行最小二乘估計(jì).

模型參數(shù)估計(jì)是系統(tǒng)辨識(shí)的基本問(wèn)題,在文獻(xiàn)[3]中作了詳細(xì)的論述,包括雙線性模型、指數(shù)自回歸模型和門(mén)限自回歸模型,數(shù)據(jù)有自激振動(dòng).年用電量的數(shù)據(jù)和經(jīng)典的時(shí)間分析建模例子都顯示了GNAR模型的優(yōu)越性[3].但文獻(xiàn)[3]定階問(wèn)題并沒(méi)有很好解決,本文著重研究AIC準(zhǔn)則發(fā)表的時(shí)代背景及存在的問(wèn)題.

3.2 AIC準(zhǔn)則存在問(wèn)題

在Akaike[13-15]提出信息準(zhǔn)則(an information criterion,AIC)時(shí),正是信息論發(fā)展的時(shí)期,如果信息是有序的,則時(shí)間是包含在數(shù)據(jù)序列之中,而AIC準(zhǔn)則是由人工調(diào)節(jié),在系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中p或n是固定值.它的最初目的并不是直接求模型的階數(shù),而是研究簡(jiǎn)化模型的結(jié)構(gòu),因此AIC準(zhǔn)則被定義為

AIC(p)=-2lnL+2p

(6)

式中,L為時(shí)間序列{xt}的似然函數(shù),用自然對(duì)數(shù)表示.因?yàn)锳kaike的主要目的是將當(dāng)前計(jì)算結(jié)果和已有計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,取其最小者,舍棄常數(shù)并不影響其比較效果[16],故AIC準(zhǔn)則被定義為

(7)

(8)

式(8)比式(7)更合理.建立數(shù)學(xué)模型包括定階,都必須遵守?cái)?shù)據(jù)在前,模型在后的原則.如果有一個(gè)新產(chǎn)品,也應(yīng)該先做預(yù)備實(shí)驗(yàn),取得一定數(shù)據(jù)后,根據(jù)數(shù)據(jù)的變化,選擇適當(dāng)?shù)膎值.

對(duì)于隨機(jī)過(guò)程,AIC準(zhǔn)則規(guī)定時(shí)間是一個(gè)固定值,沒(méi)有考慮隨機(jī)過(guò)程時(shí)間是變化的.本文實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,如果時(shí)間是固定的,則n是一個(gè)固定點(diǎn);如果時(shí)間是變動(dòng)的,則n是在一條線上變化.如果許多參數(shù)連續(xù)求出,由于各條線相繼產(chǎn)生,它們不可能重合,在參數(shù)空間里,各個(gè)參數(shù)都有自己的特定位置.

實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果認(rèn)為:AIC準(zhǔn)則沿用至今,一般的評(píng)價(jià)是能用但不準(zhǔn)確,特別是對(duì)隨機(jī)過(guò)程很難應(yīng)用,因?yàn)樗荒苤苯颖磉_(dá)時(shí)間變量的影響.由于預(yù)備實(shí)驗(yàn)做的次數(shù)不夠多,或者沒(méi)有取得足夠的先驗(yàn)知識(shí),就沒(méi)有可能正確地決定它的階數(shù)p或n值,難以滿足實(shí)際情況.這是因?yàn)橥ㄟ^(guò)p調(diào)節(jié)模型參數(shù),而p的變化大于其他參數(shù),并且p增大,方差也增大,因此掩蓋了其他參數(shù)的變化情況.

3.3 DIC準(zhǔn)則的意義及其應(yīng)用

3.3.1 DIC設(shè)置

由于AIC準(zhǔn)則并不適合于隨機(jī)過(guò)程,故需要定義一個(gè)DIC(direct information criterion)準(zhǔn)則

(9)

L=Lm+Lf

(10)

R=n1+n2+…+np

(11)

所謂“Direct”,是指Weierstrass各子系統(tǒng)在運(yùn)行中產(chǎn)生的參數(shù)直接按式(9)評(píng)定后用最小二乘估計(jì),求出模型參數(shù),在預(yù)備實(shí)驗(yàn)中確定參數(shù)穩(wěn)健域.

3.3.2 DIC準(zhǔn)則的應(yīng)用

① 與AIC準(zhǔn)則比較.在式(3)～(5)運(yùn)算后,直接獲取模型參數(shù)數(shù)據(jù),進(jìn)行最小二乘優(yōu)化處理.

② 將p減少至R.一是因?yàn)閰?shù)穩(wěn)健域,二是希望獲得優(yōu)化的最小值.初始實(shí)驗(yàn)已知階數(shù)40～70之間模型參數(shù)混亂,不宜應(yīng)用于參數(shù)估計(jì),并且p太大,會(huì)影響其他參數(shù)的估計(jì).

③ 關(guān)于階數(shù)與模型參數(shù)量的DIC三維圖見(jiàn)圖3.

圖3 不同時(shí)刻不同模型參數(shù)量的DIC變化圖

由于圖3中1～3階的DIC值過(guò)大,說(shuō)明模型誤差較大,影響整個(gè)圖的布局,而階數(shù)4～40的參數(shù)變化比較平穩(wěn),階數(shù)40～70參數(shù)變化失常,所以圖3中保留了階數(shù)4～40,即稱之為參數(shù)穩(wěn)健域.圖中,數(shù)據(jù)為3 364個(gè),舍去前100個(gè)過(guò)渡數(shù)據(jù),后面每128個(gè)數(shù)據(jù)為一組,每后移128個(gè)數(shù)據(jù)作為下一組,共25組樣本,樣本序列號(hào)為1～25.最大模型范圍為GNPAX(4;1;10,3,2,2;10,2,2,1),畫(huà)

出不同時(shí)刻不同模型參數(shù)量的DIC變化,如圖3所示(DIC值由式(9)計(jì)算).不同樣本序列(即不同時(shí)刻的數(shù)據(jù)樣本)的DIC值隨模型參數(shù)量R的變化曲線雖不盡相同,但是DIC最小值的點(diǎn)都出現(xiàn)在R=8的位置上,這符合事實(shí).因?yàn)?式(9)共有8個(gè)參數(shù)量,這證實(shí)了用DIC值進(jìn)行模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)的有效性,具有較好的穩(wěn)定性.一般R=6～12為宜，否則方差也增加.

3.3.3 模型階數(shù)和參數(shù)的關(guān)系

為了研究階數(shù)和參數(shù)的關(guān)系,有必要揭示模型之間的關(guān)系.

1) 線性AR(3)模型的表達(dá)式為

xt=0.57xt-1=0.64xt-2+0.12xt-3+at

at∈N(0,0.01)

用此模型產(chǎn)生數(shù)據(jù),其參數(shù)就是真值,便于和估計(jì)值比較,對(duì)AR及不同的GNPA模型擬合得到不同模型,如表1所示.由表可知:由于數(shù)據(jù)是線性的,所以α1,α2,α3方向(正負(fù)號(hào))沒(méi)有變化,當(dāng)階數(shù)達(dá)到(1;9)時(shí)有偏差但并不大,但水平方向表示α1在不同模型中數(shù)據(jù)非常接近,即數(shù)據(jù)凝聚性很好,不受模型變化的影響,但估計(jì)值稍小于真值,這是因?yàn)樵黾恿薌NPA模型的個(gè)數(shù);在垂直方向α1,α2,α3的數(shù)據(jù)都接近模型相應(yīng)的參數(shù)值,α4～α9數(shù)值很小,都在0.01～0.07左右.因此對(duì)線性模型來(lái)說(shuō),模型階數(shù)與參數(shù)沒(méi)有太大的關(guān)系.表1說(shuō)明同一組數(shù)據(jù)序列用不同的一階模型擬合,模型結(jié)構(gòu)有區(qū)別,數(shù)據(jù)分布不同.

表1 擬合AR與GNPA模型參數(shù)

2) AR(4)模型的表達(dá)式為

xt=0.57xt-1-0.64xt-2+0.12xt-3+0.17xt-4+at

at∈N(0,0.01)

同理,用此模型產(chǎn)生數(shù)據(jù),擬合AR(4)及幾種GNPA非線性模型參數(shù).模型參數(shù)估計(jì)值與真值偏差比較大,因此不能說(shuō)模型階數(shù)對(duì)模型參數(shù)沒(méi)有影響.隨著非線性階數(shù)增加,影響增大,結(jié)果見(jiàn)表2.

3) 現(xiàn)在不用已知模型產(chǎn)生數(shù)據(jù),而是直接采樣數(shù)據(jù),建立GNPA模型,其結(jié)果見(jiàn)圖4.表3是用上述數(shù)據(jù)建立的GNPA(2；3,2)模型預(yù)報(bào)2005—2007年的電用量,并與ARMA(1,1)建模預(yù)報(bào)作對(duì)比,前者一步預(yù)報(bào)誤差約為0.28%～3.02%,后者為11.89%～21.09%[17].

圖5給出某國(guó)國(guó)際航空公司客票數(shù)據(jù)的模型預(yù)測(cè)值與客票實(shí)際值跟蹤,結(jié)果良好,模型的平均相對(duì)誤差為2.54%.

表2 擬合AR(4)與幾種GNPA非線性模型參數(shù)

圖4 1976—2004年全國(guó)電用量用GNPA(2;3,2)建模的數(shù)據(jù)跟蹤圖

綜上所述可知:① GNPA模型的主要優(yōu)點(diǎn)是數(shù)據(jù)的凝聚性、方向性均較好,使得穩(wěn)定性也較好.② 對(duì)采樣數(shù)據(jù)直接建模,在預(yù)備實(shí)驗(yàn)中可以知道比較確切的模型性質(zhì),在GNPA模型建模的基礎(chǔ)上,確定模型的階數(shù)和模型的結(jié)構(gòu),有利于加強(qiáng)系統(tǒng)辨識(shí)穩(wěn)定性.③ 在較廣的參數(shù)穩(wěn)健域空間選擇模型階數(shù),使得選擇方便,一般階數(shù)以接近最小值(此處為8)為宜.

4 工程應(yīng)用實(shí)例

4.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/h3>

① 本文將GNPAX模型應(yīng)用于鋼板結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別.首先對(duì)鋼板數(shù)據(jù)進(jìn)行模型結(jié)構(gòu)辨識(shí).然后建立合適和有效的GNPAX模型,將模型參數(shù)作為特征向量,并結(jié)合k最鄰近(KNN)分類算法對(duì)有裂紋和無(wú)裂紋的鋼板進(jìn)行辨識(shí).

② 數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)多項(xiàng)式多次逼近處理,抗干擾能力加強(qiáng),通過(guò)鋼板裂紋的識(shí)別,進(jìn)一步驗(yàn)證了GNPAX模型的優(yōu)越性.

③ 研究對(duì)象為鋼板結(jié)構(gòu),可推廣到橋式起重機(jī).

4.2 設(shè)備與儀器

取2塊尺寸(300 mm×100 mm×3 mm)相同的鋼板,一塊無(wú)裂紋,一塊有裂紋,裂紋長(zhǎng)為500 mm,寬為1 mm,裂紋位置如圖6所示.

圖6 有裂紋鋼板尺寸及測(cè)點(diǎn)布置圖(單位：mm)

鋼板左端用鉚釘固定,右端懸空,在懸臂鋼板右端中點(diǎn)處施加錘擊脈沖激勵(lì),在板上布置4個(gè)位置的PK151諧振式傳感器,由SENSOR HIGHWAY型聲發(fā)射采集儀采集信號(hào),實(shí)驗(yàn)裝置及傳感器布置如圖7所示,4個(gè)測(cè)點(diǎn)位置如圖6所示.

圖7 實(shí)驗(yàn)裝置及傳感器布置圖

聲發(fā)射采集儀的采樣頻率為1 MHz,采樣點(diǎn)數(shù)為8 192,門(mén)限值設(shè)定為26 dB.無(wú)裂紋和有裂紋鋼板分別采用5組聲發(fā)射數(shù)據(jù),選取一組無(wú)裂紋數(shù)據(jù)和一組有裂紋數(shù)據(jù),見(jiàn)圖8和圖9.

(a) 測(cè)點(diǎn)1

(b) 測(cè)點(diǎn)2

(c) 測(cè)點(diǎn)3

(d) 測(cè)點(diǎn)4

(a) 測(cè)點(diǎn)1

(b) 測(cè)點(diǎn)2

(c) 測(cè)點(diǎn)3

(d) 測(cè)點(diǎn)4

4.3 損傷識(shí)別驗(yàn)證

對(duì)于上述10組數(shù)據(jù),舍去前1 024和后3 072個(gè)采樣點(diǎn),取中間幅值較大的4 096個(gè)點(diǎn).每256個(gè)點(diǎn)作為一個(gè)樣本(前200個(gè)數(shù)據(jù)用于計(jì)算建模誤差,后56個(gè)數(shù)據(jù)用于計(jì)算預(yù)測(cè)誤差),則無(wú)裂紋、有裂紋數(shù)據(jù)各有80個(gè)樣本,隨機(jī)各取50個(gè)樣本用于訓(xùn)練,30個(gè)樣本用于測(cè)試.由圖9可知,鋼板下端測(cè)點(diǎn)4,1較鋼板上端測(cè)點(diǎn)3,2距離裂紋近,其反映裂紋信息更準(zhǔn)確.為作對(duì)比,鋼板上下端分別建模,測(cè)點(diǎn)3作為輸入,測(cè)點(diǎn)2作為輸出,建立鋼板上端GNPAX模型,測(cè)點(diǎn)4作為輸入,測(cè)點(diǎn)1作為輸出,建立鋼板下端GNPAX模型.輸入輸出測(cè)點(diǎn)相距160 mm,橫波在鋼板中的傳播速度取3 000 m/s,延遲約為5.3×10-5s,數(shù)據(jù)采樣頻率為1 MHz,模型延遲取τu=53.建模時(shí),取GNPAX(3;53;10,4,2;8,2,2)作為模型具體結(jié)構(gòu)的選取范圍,由于各測(cè)點(diǎn)受力情況不同,各測(cè)點(diǎn)按上述結(jié)構(gòu)可作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整.

把上述最終模型結(jié)構(gòu)的參數(shù)作為特征向量,用于KNN算法訓(xùn)練.為對(duì)比效果,將各階次GNPA(1階GNPA模型即AR模型)、GNPAX模型(1階GNPAX模型即ARX模型)的測(cè)試精度同樣列于表4和5中.

表4 有、無(wú)裂紋鋼板上端數(shù)據(jù)建模的KNN算法識(shí)別率

表5 有、無(wú)裂紋鋼板下端數(shù)據(jù)建模的KNN算法識(shí)別率

通過(guò)以上研究可以看出,將原始檢測(cè)數(shù)據(jù)通過(guò)GNPAX模型處理,可以提高數(shù)據(jù)的凝聚性,改善狀態(tài)識(shí)別精度.

5 結(jié)論

1) 本文首先研究了將Weierstrass逼近理論用于系統(tǒng)辨識(shí)的建模問(wèn)題,研究了Weierstrass展開(kāi)式各子項(xiàng)的性質(zhì)及其與線性/非線性系統(tǒng)的關(guān)系,以及各子系統(tǒng)的展開(kāi)式與對(duì)應(yīng)模型參數(shù)的關(guān)系,預(yù)備實(shí)驗(yàn)中在所給予模型階數(shù)的條件下進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì),經(jīng)過(guò)Weierstrass展開(kāi)式運(yùn)算,提高了模型參數(shù)的計(jì)算精度及穩(wěn)定性.

2) 本文提出了DIC準(zhǔn)則和模型參數(shù)穩(wěn)健域,作為一種方法,用實(shí)例說(shuō)明其可行性.實(shí)驗(yàn)證明,采用DIC準(zhǔn)則用幾種GNPA模型建模,可以得到比較準(zhǔn)確的模型階次,選擇最優(yōu)者.

3) 工程實(shí)驗(yàn)證明,GNPAX模型對(duì)數(shù)據(jù)凝聚性比較好,還可以識(shí)別機(jī)械設(shè)備的裂紋,這是GNPAX模型在故障診斷中新的發(fā)展.

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