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    數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用

    2018-02-07 21:15:56李娟
    考試周刊 2018年25期
    關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合函數(shù)應(yīng)用

    摘要:近幾年,我國教育教學(xué)改革活動(dòng)在各省市的中小學(xué)校都如火如荼地開展中,而函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)中的重要教學(xué)內(nèi)容也深受影響。對于很多高中生而言,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的函數(shù)知識點(diǎn)是相當(dāng)具有難度的,相應(yīng)的也增加了高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)難度。但經(jīng)過深入研究調(diào)查之后發(fā)現(xiàn),將數(shù)形結(jié)合的思想意識應(yīng)用到函數(shù)知識教學(xué)中,很多數(shù)學(xué)教學(xué)難題都將迎刃而解,而高中生對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性也將得到更加有效的提高。鑒于此,本文主要針對“數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用”這一主題內(nèi)容進(jìn)行淺析。

    關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合;函數(shù);應(yīng)用;進(jìn)行淺析

    數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)函數(shù)問題的重要方法,很多相對抽象的函數(shù)利用數(shù)形也都會(huì)顯得更直觀。對于高中生而言,不僅能夠減輕自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),而且也將更深入的理解并學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。本文主要探討數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用等相關(guān)問題,其實(shí)也是希望當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革進(jìn)程能夠得到更有效的推進(jìn)。

    一、 關(guān)于數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用概況

    1. 數(shù)形結(jié)合的基本定義

    所謂數(shù)形結(jié)合,其實(shí)就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想。實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合,常與以下內(nèi)容有關(guān):實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系;函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系;曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系等。

    2. 數(shù)形結(jié)合應(yīng)用到函數(shù)中必須遵循的原則

    想要借用數(shù)形結(jié)合有效解決函數(shù)教學(xué),以及學(xué)習(xí)中遇到的問題,同樣需要遵循相應(yīng)的原則。

    首先是等價(jià)性原則,即數(shù)形結(jié)合的時(shí)候,代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的,否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞。

    其次就是雙方性原則。這也就意味著除了進(jìn)行幾何直觀分析,還要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求,如果僅對代數(shù)進(jìn)行幾何分析,則很容易出錯(cuò)。

    除此之外,簡單性原則也是不容忽視的。具體運(yùn)用時(shí),一是要考慮是否可行;二要選擇好突破口,只有建立正確的關(guān)系,才能實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合在函數(shù)題目中的有效轉(zhuǎn)化。三要懂得挖掘隱含的條件,以及準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍。

    3. 數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用價(jià)值

    函數(shù)問題極其復(fù)雜,而將數(shù)形結(jié)合應(yīng)用到函數(shù)之中,學(xué)生也更能加深對函數(shù)知識的學(xué)習(xí)。比如:解決圓錐曲線的問題,數(shù)形結(jié)合就是有效的解決辦法。

    二、 關(guān)于數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用

    1. 數(shù)形結(jié)合在函數(shù)值域問題中的應(yīng)用

    數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用,能夠很清楚的顯示函數(shù)的形式,從而為探求解題途徑提供了思路。

    比如:求函數(shù)y=x2-2x-3,x∈(-1,2)的值域是多少?仔細(xì)分析題目可知,所求函數(shù)為二次函數(shù),由于此函數(shù)是非單調(diào)的,所以并不能代端點(diǎn)值去求值域,而是需要根據(jù)條件畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像。

    借助圖像,很多的問題也就迎刃而解了,并得出具有區(qū)間范圍的該二次函數(shù)的圖像應(yīng)為黃色區(qū)域部分,而此函數(shù)的最小值則是在對稱軸處取得,即當(dāng)x=1時(shí),y=-4,最終得到該函數(shù)的值域?yàn)椋海?,-4)。

    其實(shí),這類求值域的函數(shù)問題對很多高中生而言都存在較大難度,一些成績較好的學(xué)生也時(shí)常出錯(cuò),通過這一函數(shù)例題的分析可知,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想非常重要。

    2. 數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生深入理解函數(shù)的意義

    分析近幾年的高考數(shù)學(xué),關(guān)于函數(shù)意義的題型比例有所增加,這也意味著基礎(chǔ)知識的掌握尤為重要。因此,高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該借助數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生深入理解函數(shù)的含義。

    以江蘇省某一年的高考試題為例:“已知函數(shù)f(x)=sinx+2cosx,x∈[0,2π]的圖象與直線y=k有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn),求k的取值范圍?!睂W(xué)生想要有效解答這類題目,就必須根據(jù)函數(shù)解析式,建立相應(yīng)的坐標(biāo)系,并在坐標(biāo)系中分析題目中的數(shù)量關(guān)系,從而才能更加準(zhǔn)確地理解題目含義并實(shí)現(xiàn)快速解答。反之,如果對于函數(shù)的認(rèn)識僅僅只停留在較為膚淺的層面,學(xué)生在解決相關(guān)函數(shù)問題的時(shí)候則常常會(huì)毫無頭緒。

    3. 數(shù)形結(jié)合可以清楚認(rèn)識函數(shù)量與量之間的關(guān)系

    分析山東這幾年的高考數(shù)學(xué)試卷,關(guān)于函數(shù)性質(zhì)相關(guān)知識的考查比重就占了30%,其中,讓學(xué)生犯難的就是“函數(shù)中量與量之間的關(guān)系”相關(guān)知識點(diǎn)。為了改變這樣的情況,教師完全可以將數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想滲透到學(xué)生腦海中,而借助直觀且形象的函數(shù)圖形,不僅能夠幫助學(xué)生充分理解函數(shù)知識,而且也能提高自身解決函數(shù)問題的能力。

    比如:“已知方程x2-4x+3=m有4個(gè)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍?!鄙钊敕治龃祟}可以很清楚的發(fā)現(xiàn)并不涉及方程根的具體值,只需要求根的個(gè)數(shù)即可,至于求方程根的個(gè)數(shù)問題,則完全可以轉(zhuǎn)化為求兩條曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題來解決,即求解函數(shù)y=x2-4x+3與函數(shù)y=m圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。如此一來,原本抽象的數(shù)量變化關(guān)系也就變得十分具體了。

    4. 數(shù)形結(jié)合快速比較出函數(shù)值的大小

    關(guān)于函數(shù)值的大小比較,也是高考中很常見的題型,如果能夠利用數(shù)形進(jìn)行比較,不僅能夠得到更加直觀性的認(rèn)識,而且也利于相關(guān)問題的解決。

    比如:判斷0.32,log20.3,20.3三個(gè)數(shù)間的大小順序,完全可以將這三個(gè)數(shù)看成三個(gè)函數(shù):

    y1=x2,y2=log2x,y3=2x并試想當(dāng)x=0.3時(shí),所對應(yīng)的函數(shù)值應(yīng)該是多少?之后再在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這三個(gè)函數(shù)的圖像,如圖:

    從圖像中,可以很直觀地看出當(dāng)x=0.3時(shí),所對應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)P1,P2,P3的位置,從而可得出結(jié)論:

    20.3>0.32>log20.3.

    數(shù)形結(jié)合是高中函數(shù)解題中最常用的一種方法,其蘊(yùn)含的思想就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像有效結(jié)合起來,從而提高學(xué)生的解題效率。尤其是在面對一些重要考試的時(shí)候,這種思想的存在對學(xué)生的意義更是非同尋常。本文對此進(jìn)行淺析,也的確是希望高中數(shù)學(xué)教師在實(shí)際教學(xué)過程中能夠加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識。

    參考文獻(xiàn):

    [1]賀有銘.高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)解題中的應(yīng)用探究[J].理科考試研究:高中版,2017(6).

    [2]張起洋.高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)問題中的應(yīng)用探究[J].數(shù)理化解題研究,2016(5).

    [3]邢軍.淺析數(shù)形結(jié)合思想在高考數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].理科考試研究:高中版,2015(10).

    [4]黃金雄.在初中函數(shù)教學(xué)中把握數(shù)形結(jié)合思想,促進(jìn)有效解題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究月刊,2015(5).

    [5]李荻.淺析數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].軟件:電子版,2015(7).

    [6]王博.分析數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].課程教育研究,2015(3).

    作者簡介:李娟,甘肅省蘭州市,蘭州市第五中學(xué)。endprint

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