數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的運(yùn)用

謝良毅

（南平劍津中學(xué)，福建 南平 353000）

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中最基本的研究對象，在一定條件下，二者可以相互轉(zhuǎn)化，在問題解決中的“以數(shù)解形”或“以形助數(shù)”，均體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。對數(shù)形結(jié)合思想，華羅庚是這樣描述的：“數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微?！蓖ㄟ^數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，能夠使復(fù)雜的計(jì)算變得更簡單，思路變得更清晰。

一、初中數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)在教材各個(gè)章節(jié)，如九年級初中數(shù)學(xué)（人教版）第25章概率初步這一課時(shí)中，教師可開展釘游戲設(shè)計(jì)教學(xué)活動，讓學(xué)生自由拋擲圖釘，對釘尖朝上或朝下的出現(xiàn)情況進(jìn)行記錄，并就這兩種情況的出現(xiàn)頻數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，最后依靠相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行釘尖朝上的折線統(tǒng)計(jì)圖的繪制，總結(jié)該情況的變化規(guī)律。即：釘尖朝上的概率存在著一定的規(guī)律性。同樣，還可就射擊運(yùn)動員射擊訓(xùn)練中擊中靶心的次數(shù)進(jìn)行觀察并實(shí)現(xiàn)頻率計(jì)算，同樣進(jìn)行相應(yīng)的規(guī)律總結(jié)。而在初中平面直角坐標(biāo)系這一課時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，求證平面內(nèi)橫縱坐標(biāo)即可實(shí)現(xiàn)對物體的位置與方位進(jìn)行明確。首先，制作平面直角坐標(biāo)系，并根據(jù)已知數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系上確定其所表達(dá)的大致方位，最后勾畫出相應(yīng)的圖形，進(jìn)而得出對稱軸與坐標(biāo)軸兩者間存在的變化關(guān)系與規(guī)律。

1.在函數(shù)教學(xué)中的體現(xiàn)

在進(jìn)行二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)這一課程教學(xué)時(shí)，一般是先對二次函數(shù)中的x、y展開賦值，并建立相應(yīng)的直角坐標(biāo)系，進(jìn)而對相應(yīng)點(diǎn)標(biāo)注與連線，繪制出其所表達(dá)的二次函數(shù)圖像，最后就該繪制圖像進(jìn)行性質(zhì)分析，這樣的做法能充分體現(xiàn)形數(shù)結(jié)合思想在教學(xué)的融入。

在實(shí)際教學(xué)中，當(dāng)本章的知識教學(xué)完成之后，可通過對相關(guān)知識點(diǎn)的復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像的變化是由解析式中的某一個(gè)參數(shù)變化而引起的。通過數(shù)形結(jié)合的分析，能夠使學(xué)生對二次函數(shù)及其圖像有更清晰的了解。

例1如圖所示，存在某一二次函數(shù)，且其表達(dá)式為y=x2-2x-1，其在直角坐標(biāo)系中的頂點(diǎn)記作A.而另一二次函數(shù)y=ax2+bx和該坐標(biāo)系的x軸存在兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)即為坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)C，而該函數(shù)的頂點(diǎn)B又存在與上一函數(shù)y=x2-2x-1的對稱軸上。

（1）試求頂點(diǎn)A和交點(diǎn)C的坐標(biāo)表達(dá)。

（2）當(dāng)某一四邊形AOBC為菱形，求出函數(shù)y=ax2+bx的關(guān)系表達(dá)式。

解析：（1）略

（2）由題可知，四邊形AOBC是一個(gè)菱形，而點(diǎn)B與點(diǎn)A的位置關(guān)系為關(guān)于直線OC對稱，所以可以得出點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2)。又因?yàn)楹瘮?shù)y=ax2+bx的經(jīng)過點(diǎn)B(1,2)，C(2,0)所以二次函數(shù)y=ax2+bx的關(guān)系式為y=-2x2+4x。

教師在教學(xué)實(shí)踐中，需要對數(shù)形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用進(jìn)行概括，并將其融入到教學(xué)方案設(shè)計(jì)中，使學(xué)生更深入地了解數(shù)形結(jié)合思想。在章節(jié)教學(xué)結(jié)束之后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思與討論，并對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用進(jìn)行一個(gè)詳細(xì)的回顧。

2.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的體現(xiàn)

例2已知a＜b＜0,試比較a,-a,b,-b的大小。

分析：要快速地解決這個(gè)問題，需要認(rèn)真分析數(shù)軸上所標(biāo)出的a,-a,b,-b，通過觀察，學(xué)生能夠獲得正確的結(jié)論：a＜b＜-b＜-a。

將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為圖像，化抽象為具體，是理解學(xué)問題的關(guān)鍵。相反數(shù)概念“只有符號不同的兩個(gè)數(shù)是相反數(shù)”其本身是十分簡明的，學(xué)生對概念有了一定的認(rèn)知，再將其反映在數(shù)軸上，從幾何層面認(rèn)識“相反數(shù)”概念，可使學(xué)生能夠認(rèn)識到相反數(shù)具有“成對性”“對稱性”的特點(diǎn)，在問題解決找那個(gè)更快地找到簡潔的思路。

很多學(xué)生在面對這一類型的題時(shí)，常常會感到無從下手，主要還是由于對絕對值概念的不理解。在探究的過程中，如果能引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)已知條件畫出草圖，就可以拓展解題思路，提高解題效率。數(shù)軸上|x-2|表示x與2的距離，|x + 2|表示x與-2的距離，本題也就是求這兩個(gè)距離和的最小值，那么當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，距離和均為最小4,有了直觀感知，這個(gè)問題也就迎刃而解了。

3.在數(shù)學(xué)解題中的體現(xiàn)

例4根據(jù)下圖所示，直線y=kx+b經(jīng)過A(-2,-1)和B(-3,0)兩點(diǎn)，試求不等式組的解集。

分析：如果單從“數(shù)”的層面來解題，可借助待定系數(shù)法直接把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=kx+b中，并求得直線y=kx+b的方程式，將原不等式轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)相應(yīng)的解法進(jìn)一步求解。

求解本題時(shí)，從“數(shù)”的層面出發(fā)就是求解不等組，從“形”的層面出發(fā)即是通過直線AB，求直線OA上方和x軸下方的部分所對應(yīng)的x值。通過對比可以發(fā)現(xiàn)，后者的解題過程更為簡化。

這一例子為通過函數(shù)圖像求解不等式提供了一種新的解題思路，能夠使學(xué)生更加深入地認(rèn)識到函數(shù)和一元一次不等式組的關(guān)系，并掌握“以形助數(shù)”的思想，有利于拓展學(xué)生的思維能力，為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供幫助。

二、基于數(shù)形結(jié)合思想的初中數(shù)學(xué)教學(xué)策略

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可以借助幾何直觀的“形”來清晰地呈現(xiàn)“數(shù)”之間的關(guān)系，讓復(fù)雜的問題簡單化，教學(xué)的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)式的幾何意義挖掘出來，將“形”作為解決問題的手段，將“數(shù)”作為解決問題的目的，讓學(xué)生理解掌握如何依靠具體直觀的“形”來清晰地呈現(xiàn)“數(shù)”之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而使學(xué)生能夠在解題中有意識地將數(shù)字與圖形相結(jié)合。

例如，在關(guān)于有理數(shù)的教學(xué)內(nèi)容中，所涉及到的數(shù)軸即是數(shù)形結(jié)合的典型例子，教材將生活中常見的溫度計(jì)作為例子來引出關(guān)于“數(shù)軸”的相關(guān)概念，再借助數(shù)軸來認(rèn)識相反數(shù)和絕對值，并探討了有理數(shù)的加法運(yùn)算。當(dāng)學(xué)生掌握了有理數(shù)加法運(yùn)算之后，就可以不再借助數(shù)軸，直接在腦海中進(jìn)行簡單運(yùn)算。這一過程堅(jiān)持了循序漸進(jìn)的基本原則，從現(xiàn)實(shí)中溫度計(jì)的“形”，拓展到了抽象的數(shù)軸之“形”，待熟悉到一定程度之后，再內(nèi)化進(jìn)腦海中，形成觀念上的“形”，步驟嚴(yán)密、循序漸進(jìn)，與初中生的思維特點(diǎn)與認(rèn)知規(guī)律相適應(yīng)。初中階段的學(xué)生其思維處于“由具體到抽象”的過渡階段，因此教材在編寫上也順應(yīng)了這一趨勢，先形象具體，再抽象概括。

（1）求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，化形為數(shù)，是指將“數(shù)”作為解決問題的手段，將“形”作為解決問題的目的。在教學(xué)過程中教師需引導(dǎo)學(xué)生理解掌握如何依靠“數(shù)”的精準(zhǔn)性，來準(zhǔn)確反映“形”的相關(guān)屬性。

例6如圖所示，直線l1的解析表達(dá)式為y=-3x+3且直線l2經(jīng)過點(diǎn)A,B,l1與x軸相交于點(diǎn)D,直線l1，l2交于點(diǎn)C。

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求直線l2的解析表達(dá)式；（3）求△ADC的面積；

分析與解：（1）要求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，可通過建立直線l1表達(dá)式y(tǒng)=-3x+3并和已知的y=0進(jìn)行方程組建立，即可得到僅含未知數(shù)X的方程為-3x+3=0..

初中階段的數(shù)形結(jié)合思想的滲透教學(xué)，還應(yīng)注重其在應(yīng)用問題解決中的思路，使學(xué)生能夠真正融匯貫通，活學(xué)活用。例如首先對二元一次方程組實(shí)行一次函數(shù)的轉(zhuǎn)換，可根據(jù)特殊點(diǎn)來繪制兩個(gè)一次函數(shù)，而所繪制的兩個(gè)圖像相交處即為方程組的解。通過數(shù)與形的結(jié)合來說明一定的數(shù)量關(guān)系式。

例7某專賣店銷售球鞋，設(shè)銷售球鞋的數(shù)量為x（件），銷售員的提成為y（元），專賣店每季度付給銷售員提成費(fèi)用的兩種方案如下圖所示，參照該圖解答以下問題。

圖4

（1）求y1與y2的函數(shù)解析式；

（2）解釋兩種方案分別是支付銷售提成費(fèi)用的方式？

（3）如果你是銷售員，應(yīng)如何選擇付費(fèi)方案？

解析：

（1）y1=20x，y2=10x+300；

（2）y1沒有基本保底工資，每銷售10雙球鞋，可以得到銷售提成200元，y2是基本工資為300元，但每銷售10雙球鞋只能獲得銷售提成100元；

（3）若銷售能力較強(qiáng)，保證每季度銷售球鞋的數(shù)量多于30雙，就選擇y1的付費(fèi)方案；否則，選擇y2的付費(fèi)方案。

［1］張士領(lǐng).“數(shù)形結(jié)合”思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的體現(xiàn)及運(yùn)用［J］.數(shù)理化解題研究（初中版），2012（12）.

［2］劉金方.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐研究——以人教版初中數(shù)學(xué)教材為例［J］.課程教育研究，2015（30）.

［3］王元，等.華羅庚科普著作選集［M］.上海：上海教育出版社，1984：181.

［4］張?zhí)m秀.簡論學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力及其培養(yǎng)［J］.教學(xué)與管理，2010（3）.