邏輯理論的隨機(jī)相容度

李修清，張超權(quán)

桂林航天工業(yè)學(xué)院 理學(xué)部，廣西 桂林 541004

1 引言

在計(jì)量邏輯學(xué)中，相容理論的相容度研究是關(guān)注較高的一個(gè)問(wèn)題[1-3]。文獻(xiàn)[4]在對(duì)二值邏輯系統(tǒng)隨機(jī)化研究基礎(chǔ)上對(duì)理論的相容度進(jìn)行了研究，得出了理論相容度的基本定理。

本文在惠小靜，李修清等對(duì)多值邏輯系統(tǒng)的隨機(jī)化研究成果（見(jiàn)文獻(xiàn)[4-12]）基礎(chǔ)上，在n值Lukasiewicz命題邏輯系統(tǒng)中，提出理論的隨機(jī)相容度概念，得出了在n值命題邏輯系統(tǒng)中，理論的隨機(jī)相容度也保持了經(jīng)典邏輯度量空間中理論相容度的基本性質(zhì)。同時(shí)也指出了基于命題隨機(jī)真度的理論的隨機(jī)相容度和基于命題真度的理論的相容度是具有本質(zhì)差異的。

2 隨機(jī)真度、隨機(jī)偽距離

本文未加說(shuō)明的概念與符號(hào)，參見(jiàn)文獻(xiàn)[13-15]。

設(shè)A=A(q1,q2,…,qm)∈F(S)是一個(gè)含m個(gè)原子公式的命題公式，則公式A自然對(duì)應(yīng)一個(gè)m元函數(shù)如下 ：，將 A=A(q1,q2,…,qm)中 的 q1,q2,…,qm分 別 用α=(x1,x2,…,xm)中的x1,x2,…,xm替換，相應(yīng)的公式 A中的聯(lián)結(jié)詞?,∨,→也用Wn中的算子?,∨,→替換，則得一個(gè)到Wn的m元函數(shù)：→Wn，稱為公式 A誘導(dǎo)的函數(shù)，記作。顯然，誘導(dǎo)函數(shù)關(guān)于運(yùn)算?,∨,→是同態(tài)的。

設(shè)p=(p1,p2,…)是一個(gè)n維概率分布列，其中p1=(p11,p21,…,pn1)T，p2=(p12,p22,…,pn2)T，… ，?α=(x1,x2,…,xm)∈Wmn，令φp(α)=φ1(x1)×φ2(x2)×…×φm(xm)，定義為時(shí)，φ(x)=p(k=1,2,…,n;i=1,2,…,m)，iiki則得到一個(gè)Wmn到[0，1]區(qū)間的映射φp(α):Wmn→[0,1]，稱為Wmn上的一個(gè)隨機(jī)化映射。

關(guān)于隨機(jī)化映射有以下結(jié)論。

命題2.1[10]設(shè)p=(p1,p2,…)是一個(gè)n維概率分布列，φp(α)為Wmn上的一個(gè)隨機(jī)化映射，則

事實(shí)上，可以構(gòu)造一個(gè)離散型隨機(jī)變量ξ如下：ξ的所有可能取值為Wmn中的全部點(diǎn)Wmn，定義ξ取時(shí)的概率為 p(ξ=α)=φp(α)，則 由 命 題 2.1 可 得 ：且于是ξ就構(gòu)成了一個(gè)離散型隨機(jī)變量。即可看成一個(gè)取值為的某個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布律。

定義 2.1[6]設(shè)xm)是A的誘導(dǎo)函數(shù)，p=(p1,p2,…)是一個(gè)n維概率分布列，φp為Wmn上的隨機(jī)化映射，令

稱τp(A)為公式A的隨機(jī)真度。

關(guān)于隨機(jī)真度還可以變形為一個(gè)更便于計(jì)算的公式。

命 題 2.2[12]設(shè)xm)是A的誘導(dǎo)函數(shù)，p=(p1,p2,…)為一n維概率分布列，φp為隨機(jī)化映射，則

下文還要用到以下結(jié)論。

定理2.1設(shè)A,B∈F(S)，則以下各結(jié)論成立：

（1）設(shè)A是重言式，則對(duì)于任意的n維概率分布列p=(p1,p2,…)，都有τp(A)=1；反之未必成立。

（2）設(shè)A是矛盾式，則對(duì)于任意的n維概率分布列p=(p1,p2,…)，都有τp(A)=0；反之未必成立。

（3）若A≈B，則對(duì)于任意的n維概率分布列p=(p1,p2,…)，有τp(A)= τp(B)。

（4）對(duì)于任意的n維概率分布列 p=(p1,p2,…)，有τp(?A)=1- τp(A)。

證明（1）設(shè)A含有m個(gè)原子公式q1,q2,…,qm，若A是重言式，則?α=(x1,x2,…,xm)∈Wnm，恒有=1，設(shè)p=(p1,p2,…)是任取的n維隨機(jī)概率分布列，φp為隨機(jī)化映射，由命題2.2知：

注意到命題2.1顯然得τp(A)=1。反之若存在一個(gè)n維隨機(jī)概率分布列，使τp(A)=1，構(gòu)造一個(gè)n維隨機(jī)概率分布序列 p=(p1,p2,…)如下：p1,p2,…,pm,…中的每一個(gè)n維概率分布pi均為第n個(gè)分量等于1，其余n-1個(gè)分量均為0，則對(duì)于這個(gè)n維隨機(jī)概率分布序列，?α=且α≠(1 ,1,…,1) 時(shí)，φp(α)=0，故由命題2.1易得：φp(1,1,…,1)=1。構(gòu)造一個(gè)含m個(gè)原子公式的命題公式A=A(q1,q2,…,qm)，使得當(dāng)時(shí)時(shí)均有Aˉ(α)=0，則顯然命題公式A不是重言式，但根據(jù)命題2.2計(jì)算得這樣將證明了（1）的結(jié)論。

（2）與（1）同理可證。

（3）運(yùn)用命題2.2易證。

（4）運(yùn)用命題2.1和命題2.2易證。證畢。

定理2.2[12]設(shè)A,B∈F(S)，p=(p1,p2,…)為一n維概率分布列，則以下各結(jié)論成立：

（1）τp(A∨B)=τp(A)+τp(B)-τp(A∧B)。

（2）τp(A→B)=τp(A∧B)-τp(A)+1。

（3）若A→B，則τp(A)≤τp(B)。

由隨機(jī)真度的上述結(jié)果，可以引入命題公式間的隨機(jī)偽距離概念，并建立隨機(jī)邏輯度量空間。

定義2.2[12]設(shè)p=(p1,p2,…)是一n維概率分布列，A,B∈F(S)，令δp(A,B)=τp((A→B)∧(B→A))，稱為公式A與B間的隨機(jī)相似度。

由隨機(jī)真度的定義顯然有：δp(A,B)=δp(B,A)。

隨機(jī)相似度，有以下結(jié)論。

定理2.3[12]設(shè)p=(p1,p2,…)為一n維概率分布列，A,B,C ∈ F(S)，則

（1）A≈B時(shí)有δp(A,B)=1。

（2）δp(A,B)+δp(B,C)≤1+δp(A,C)。

利用隨機(jī)相似度概念，引入命題公式間的隨機(jī)偽距離。

令ρp(A,B)=1-δp(A,B)，則由定理2.3易得ρp(A,B)+ρp(B,C)≥ρp(A,C)，且ρp(A,A)=0和ρp(A,B)=ρp(B,A)，所以ρp構(gòu)成空間的距離，稱為F(S)上的隨機(jī)偽距離，這時(shí)稱空間(F(S),ρp)為隨機(jī)邏輯度量空間。

3 邏輯理論的隨機(jī)相容度

全體命題公式集F(S)的任意一個(gè)子集Γ叫做F(S)的一個(gè)邏輯理論或理論。設(shè)Γ是F(S)的一個(gè)邏輯理論，如果從公式集Γ推不出矛盾式ˉ，則稱邏輯理論Γ是相容的，否則稱Γ是不相容的。

以D(Γ)表示Γ的全體結(jié)論之集，令

稱為邏輯理論Γ的基于n維隨機(jī)概率分布序列p的隨機(jī)直徑（有些文獻(xiàn)也稱為隨機(jī)發(fā)散度[12]）。

由定義顯然知，0≤dp(Γ)≤1。

首先證明對(duì)于不相容邏輯理論，無(wú)論基于怎樣的n維隨機(jī)概率分布序列，隨機(jī)直徑恒為1，即不相容邏輯理論的隨機(jī)直徑和隨機(jī)概率分布序列p的取值沒(méi)有關(guān)系。

定理3.1設(shè)Γ?F(S)是不相容邏輯理論，p是任取的一個(gè)n維隨機(jī)概率分布序列，則有dp(Γ)=1。

證明設(shè)Γ是不相容的邏輯理論，則由文獻(xiàn)[14]知，這時(shí)D(Γ)=F(S)，取T為定理為矛盾式，任取一個(gè)n維隨機(jī)概率分布序列p，由命題間偽距離的定義顯然有，，從而可得，無(wú)論對(duì)于怎樣選取的n維隨機(jī)概率分布序列p，Γ的隨機(jī)直徑dp(Γ)=1。證畢。

但該定理的逆命題是不正確的，即若存在一個(gè)n維隨機(jī)概率分布序列p，使得某一理論Γ的隨機(jī)直徑dp(Γ)=1，也不能推出Γ就是不相容的邏輯理論。如：取Γ為全體原子公式集S，取n維隨機(jī)概率分布序列p為均勻概率分布，則這時(shí)dp(S)=1（見(jiàn)文獻(xiàn)[12]），但S是相容的邏輯理論[13]。

設(shè)Γ2中的公式全是定理，則設(shè)D(Γ2)是全體定理之集，則由偽距離的定義易知，Γ2基于均勻概率分布的n維概率分布列p的隨機(jī)直徑為0，即dp(Γ2)=0。

因此可見(jiàn)，相容理論的基于均勻概率分布的隨機(jī)直徑可以分布在[0,1]區(qū)間，這就和不相容理論基于任意概率分布列p的直徑均為1大不相同，結(jié)果要復(fù)雜得多。

另一方面，同一個(gè)相容理論，其隨機(jī)直徑也和概率分布列p的選取有很大的關(guān)系。如文獻(xiàn)[12]中的一個(gè)結(jié)論，取了一組適當(dāng)?shù)母怕史植剂衟0，得出全體原子公式集S基于這一組取定p0的隨機(jī)直徑為dp0(S)=1-e-1。進(jìn)一步對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)0≤α≤1，是否都可以取到一組概率分布列p，使S基于這一組取定的概率分布列p的隨機(jī)直徑為α呢，這是值得進(jìn)一步研究的問(wèn)題。

由以上的討論可以看出，相容理論的結(jié)構(gòu)是很復(fù)雜的，尤其是相容理論的隨機(jī)直徑更是難以把握，相容理論和不相容理論的隨機(jī)直徑都可以是1，可見(jiàn)用隨機(jī)直徑刻畫理論的相容度是有困難的，于是再加以細(xì)化，提出隨機(jī)相容度的概念，并證明相容度的一些基本結(jié)論對(duì)于隨機(jī)相容度概念同樣成立。

首先給出隨機(jī)極指標(biāo)的概念：設(shè)Γ是F(S)的一個(gè)邏輯理論，D(Γ)是理論Γ的全體結(jié)論之集，p是任意一個(gè)n維概率分布列，令

關(guān)于隨機(jī)極指標(biāo)易證。

定理3.2設(shè)Γ是F(S)的一個(gè)理論，對(duì)于任意一個(gè)n維概率分布列p，則Γ是相容理論當(dāng)且僅當(dāng)ip(Γ)=0，Γ是不相容理論當(dāng)且僅當(dāng)ip(Γ)=1。

證明設(shè)p是任取的一個(gè)n維概率分布列，因?yàn)閇ρp(A,B)]=1當(dāng)且僅當(dāng) ρp(A,B)=1，又因?yàn)?ρp(A,B)=1-τp((A→B)∧(B→A))，于是[ρp(A,B)]=1當(dāng)且僅當(dāng)τp((A→B)∧(B→A))=0，于是知命題A和B之間一個(gè)是重言式一個(gè)是矛盾式，所以由[ρp(A,B)]只能為1和0兩個(gè)值知，ip(Γ)=1當(dāng)且僅當(dāng)Γ是不相容理論，Γ是相容理論當(dāng)且僅當(dāng)ip(Γ)≠1，從而只能有ip(Γ)=0。證畢。

下面給出隨機(jī)相容度的概念。

定義3.1設(shè)Γ是F(S)的一個(gè)理論，p是任取的一個(gè)n維概率分布列，令

則稱rp(Γ)為理論?；诟怕史植剂衟的隨機(jī)相容度。

關(guān)于隨機(jī)相容度，有下面的基本結(jié)論。

定理3.3設(shè)Γ是F(S)的一個(gè)理論，p是任取的一個(gè)n維概率分布列，則

（1）Γ是不相容理論當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任取的n維概率分布列 p，都有rp(Γ)=0。

（2）Γ是相容理論當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任取的n維概率分布列p，都有，并且1和是可達(dá)的。

證明（1）設(shè)Γ是不相容的，則對(duì)于任取的n維概率分布列 p，由定理 3.1有，dp(Γ)=1，由定理 3.2知ip(Γ)=1，從而有rp(Γ)=0；反之，若存在某個(gè)n維概率分布列 p，有rp(Γ)=0，則由知，dp(Γ)=1且ip(Γ)=1，由定理3.2知Γ是不相容理論。

（2）設(shè)Γ是相容理論，則對(duì)于任取的n維概率分布列 p，由定理3.2知，ip(Γ)=0，故有，注意到0≤dp(Γ)≤1，則這時(shí)；反之若存在n維概率分布列 p，有，則 有ip(Γ))≤1，若ip(Γ)=1，則由定理3.2知Γ是不相容理論，這時(shí)由定理3.1得dp(Γ)=1，這樣就得dp(Γ)(1+ip(Γ))=2矛盾，故得ip(Γ)=0，即Γ是相容理論。

另一方面，取Γ1=S，取n維概率分布列p為均勻分布，則由以上的討論知dp(S)=1，又知對(duì)于相容理論有ip(S)=1，從而得；設(shè)Γ完全由定理組成，則對(duì)于2任取的n維概率分布列p都有dp(Γ2)=0，由定理3.2知ip(Γ2)=0，故得rp(Γ2)=1，于是就證明了對(duì)于相容理論的相容度1和是可達(dá)的。證畢。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在n值Lukasiewicz命題邏輯系統(tǒng)中對(duì)理論的隨機(jī)相容度展開研究，利用已有的命題公式的隨機(jī)真度的和隨機(jī)偽距離的概念和性質(zhì)，給出了理論的隨機(jī)直徑的概念，并指出其隨機(jī)直徑是和概率分布列的取值相關(guān)的，提出了理論的隨機(jī)相容度概念，由隨機(jī)相容度的定義知理論的隨機(jī)相容度也依賴于n維概率分布列的取值，雖然如此，理論的隨機(jī)相容度也能保持其在經(jīng)典邏輯空間的基本性質(zhì)。在n值隨機(jī)邏輯度量空間中繼續(xù)研究理論的隨機(jī)相容度的分布等工作，是艱難和十分有意義的，將另文討論。

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