復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品Grey-PCE多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計

萬良琪, 陳洪轉(zhuǎn), 歐陽林寒, 張 笛, 李亞平

(1. 南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院, 江蘇 南京 211106; 2. 南京林業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院, 江蘇 南京 210037)

0 引 言

柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品是一種以新型柔順機(jī)構(gòu)為重要組成部分的高技術(shù)密集型產(chǎn)品,廣泛應(yīng)用于武器系統(tǒng)、航空航天、微機(jī)電系統(tǒng)、生物醫(yī)學(xué)等高尖端領(lǐng)域[1-2]。在實(shí)際復(fù)雜工況背景下,由于柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多個質(zhì)量特性穩(wěn)健可靠性往往受到來自內(nèi)部可控因子與外部噪聲因子的雙重不確定性影響,造成柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性波動工程難題。根據(jù)工程實(shí)踐可知,可控因子結(jié)構(gòu)參數(shù)加工容差擾動而產(chǎn)生的不確定性是影響產(chǎn)品多質(zhì)量特性的關(guān)鍵因素。因此,迫切開展不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計相關(guān)研究工作是保障高尖端領(lǐng)域這類產(chǎn)品穩(wěn)健可靠運(yùn)行的前提。

復(fù)雜裝備產(chǎn)品多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計是通過早期設(shè)計階段消解多質(zhì)量特性沖突來降低下產(chǎn)品質(zhì)量波動的有效手段。因此,從源頭上提高產(chǎn)品設(shè)計質(zhì)量來增強(qiáng)產(chǎn)品質(zhì)量特性的抗干擾性,其有效性已在航空航天、車輛工程等復(fù)雜裝備領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用驗(yàn)證。現(xiàn)有相關(guān)復(fù)雜裝備研究主要體現(xiàn)在多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計、多目標(biāo)可靠性優(yōu)化及結(jié)構(gòu)可靠設(shè)計。文獻(xiàn)[3-4]對于汽車車身與汽車發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)采用了多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計,解決了傳統(tǒng)單目標(biāo)優(yōu)化的局限性和多目標(biāo)沖突權(quán)衡問題;文獻(xiàn)[5]構(gòu)建了一種多目標(biāo)響應(yīng)加權(quán)灰靶可靠性優(yōu)化設(shè)計模型,有效地解決了復(fù)雜裝備產(chǎn)品可靠性設(shè)計優(yōu)化與算法難題;文獻(xiàn)[6]針對支架多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計中的多目標(biāo)潛在沖突難題,構(gòu)建了基于Kriging代理模型的多目標(biāo)優(yōu)化模型,解決了多目標(biāo)潛在沖突問題;文獻(xiàn)[7]基于雙重Krigng代理模型、Topsis方法與灰色關(guān)聯(lián)方法相結(jié)合對卡車駕駛室疲勞壽命進(jìn)行多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計,取得了良好的效果;文獻(xiàn)[8]建立了混合不確定性情形下的泡沫填充薄壁結(jié)構(gòu)耐撞性多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計,并驗(yàn)證了模型的有效性。總結(jié)歸納上述文獻(xiàn)可知,在不確定性情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性沖突穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計方面的文獻(xiàn)報道還偏少。其根源在于剛?cè)峄旌媳尘跋碌男滦腿犴槒?fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性之間的相互矛盾、相互沖突相比傳統(tǒng)剛性機(jī)構(gòu)復(fù)雜裝備更為復(fù)雜;同時,各質(zhì)量特性與設(shè)計變量之間的非線性隱式關(guān)系相比傳統(tǒng)剛性機(jī)構(gòu)的復(fù)雜裝備產(chǎn)品更加難于通過現(xiàn)有理論推導(dǎo)獲取。代理模型往往是解決這一難題的有效途徑。但在構(gòu)建代理模型過程中需要進(jìn)行大量模擬仿真獲取多質(zhì)量特性響應(yīng)值;同時,在多質(zhì)量特性沖突下的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型中還需要考慮設(shè)計變量的不確定性分析,更增加了柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性沖突工程難題的復(fù)雜性。

構(gòu)建RBF[9-10]徑向基模型、SVR[11]支持向量機(jī)模型、Kriging[12-13]模型與RSM[14]響應(yīng)曲面模型是處理多質(zhì)量特性與設(shè)計變量之間非線性隱式關(guān)系,同時降低優(yōu)化過程中大量數(shù)值模擬計算難題,是實(shí)現(xiàn)多質(zhì)量特性沖突下穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計的有效途徑。根據(jù)文獻(xiàn)[15-17]可知,Kriging模型、RBF徑向基函數(shù)模型與SVR支持向量機(jī)回歸模型能夠較好地處理輸入與輸出之間高維、非線性等工程問題,然而,RSM響應(yīng)曲面模型卻不適用于高維、高度非線性情況;文獻(xiàn)[18]從試驗(yàn)樣本和預(yù)測精度角度,分析對比了Kriging模型、RBF模型、SVR模型和RSM模型,其指出了在試驗(yàn)樣本較小情形下,RBF模型預(yù)測精度高于其他模型,SVR模型的預(yù)測結(jié)果相對更穩(wěn)健,Kriging模型在應(yīng)用過程中,難于判斷其基函數(shù)系數(shù)取值大小對不確定性設(shè)計變量的影響程度。

根據(jù)上述現(xiàn)有代理模型的文獻(xiàn)分析和柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品的分析可知,現(xiàn)有代理模型針對隨機(jī)不確定性情形下的柔順復(fù)雜裝備產(chǎn)品適用性并不強(qiáng)。然而,關(guān)于多項式混沌擴(kuò)展(polynomial chaos expansion, PCE)代理模型在處理隨機(jī)不確定性建模方面,則具有一定的優(yōu)勢[19]。由于柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性與隨機(jī)不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)之間存在非線性隱式關(guān)系,且微納機(jī)構(gòu)多質(zhì)量特性對隨機(jī)不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)據(jù)較為敏感;另一方面現(xiàn)有針對柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性沖突權(quán)衡的報道還尚少。據(jù)此,本文提出一種不確定性設(shè)計變量情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品Grey-PCE多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計新方法。將PCE代理模型和接近度灰色關(guān)聯(lián)分析引入穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計方法中,以解決多質(zhì)量特性波動及沖突的工程難題。本文方法與現(xiàn)有代理模型穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計方法相比,該方法具有良好的處理不確定性能力、消解多質(zhì)量特性沖突能力與穩(wěn)健抗干擾能力。

1 柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性波動分析

柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品作為一種依靠新型柔順機(jī)構(gòu)自身的彈性形變來轉(zhuǎn)換與傳遞運(yùn)動及能量的技術(shù)密集型機(jī)械產(chǎn)品[20]。該產(chǎn)品在國防、醫(yī)療與航空航天等尖端領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用基礎(chǔ)。其主要作用:一是通過柔性形變來實(shí)現(xiàn)微位移的放大功能;二是通過固有頻率實(shí)現(xiàn)其自身的快速響應(yīng)功能。如圖1所示,柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品放大機(jī)構(gòu)工作原理,其通過壓電陶瓷驅(qū)動器在機(jī)構(gòu)內(nèi)側(cè)兩輸入端施加輸入位移載荷,來實(shí)現(xiàn)放大機(jī)構(gòu)外側(cè)輸出端產(chǎn)生輸出微位移。

圖1 柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品結(jié)構(gòu)受力示意圖Fig.1 Sophisticated equipment products of compliant mechanism structural force diagram

鑒于柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品放大機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)對稱性,因此,對其四分之一的機(jī)構(gòu)來研究其放大特性原理。當(dāng)壓電陶瓷驅(qū)動器對機(jī)構(gòu)作用,產(chǎn)生一個水平方向上的輸入位移載荷Δx時,其垂直方向會相應(yīng)產(chǎn)生一對輸出微位移Δy,此時,柔性桿CB的傾斜角度從α減小到α′,其機(jī)構(gòu)運(yùn)動如圖2所示。

圖2 柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品結(jié)構(gòu)運(yùn)動示意圖Fig.2 Sophisticated equipment products of compliant mechanism structural movement diagram

根據(jù)上述柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品放大機(jī)構(gòu)的運(yùn)動位移關(guān)系分析可得到

(1)

式中,C′點(diǎn)到B′點(diǎn)的垂直距離為y2;C點(diǎn)到B點(diǎn)的水平距離為lx;C點(diǎn)到B點(diǎn)的垂直距離為y1;柔順桿件CB的距離長度為l。

令x=0得到

(2)

根據(jù)式(1)、式(2)可推導(dǎo)出柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品放大倍數(shù)關(guān)系式為

(3)

由于柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品在實(shí)際復(fù)雜工況下,受到加工誤差、外界載荷、疲勞退化等因素的影響,其結(jié)構(gòu)參數(shù)稍有波動,可能導(dǎo)致放大倍數(shù)和固有頻率兩個質(zhì)量特性產(chǎn)生顯著性波動。進(jìn)而影響其在國防科技、生物醫(yī)學(xué)與航空航天等尖端領(lǐng)域功能穩(wěn)健可靠運(yùn)行。柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計的目的不僅要使各質(zhì)量特性的實(shí)際值盡可能達(dá)到目標(biāo)期望值,而且還要降低產(chǎn)品質(zhì)量特性波動。

隨著實(shí)際工程問題越來越復(fù)雜,傳統(tǒng)確定性優(yōu)化設(shè)計現(xiàn)已難以獲得柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品穩(wěn)健可靠性設(shè)計方案。根據(jù)參考文獻(xiàn)[21]，穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計與確定性優(yōu)化對比如圖3所示,當(dāng)復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品受到外界不確定性影響情形下,設(shè)計變量(結(jié)構(gòu)參數(shù))x發(fā)生±Δx容差波動時,柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性放大倍數(shù)和固有頻率的確定性優(yōu)化解①的波動幅度為Δf1(較大),然而穩(wěn)健優(yōu)化解②的波動幅度為Δf2(較小)。表明穩(wěn)健優(yōu)化解相比傳統(tǒng)確定性優(yōu)化解更具有較強(qiáng)的抗干擾能力。因此,柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性(放大倍數(shù)和固有頻率)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計對實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品功能穩(wěn)健有著重要意義。

圖3 穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計與確定性優(yōu)化設(shè)計對比Fig.3 Comparison of robust optimization design and deterministicoptimization design

2 構(gòu)建柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性PCE代理模型

PCE代理模型是一種通過正交多項式的線性組合來有效描述和構(gòu)建不確定性設(shè)計變量與目標(biāo)響應(yīng)之間關(guān)系的新型通用表達(dá)式[22-25]。由于剛?cè)峄旌媳尘跋碌娜犴槒?fù)雜裝備精密產(chǎn)品主要依靠柔性形變來傳遞運(yùn)動與傳統(tǒng)剛體運(yùn)動不同,其傳遞運(yùn)動過程更為復(fù)雜,通過理論推導(dǎo)來獲得多質(zhì)量特性和設(shè)計變量之間的函數(shù)關(guān)系往往難于實(shí)現(xiàn)。因此,本文采用PCE代理模型來解決多質(zhì)量特性與設(shè)計變量之間的復(fù)雜非線性隱式函數(shù)關(guān)系這一難題。

根據(jù)上文不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品放大倍數(shù)與固有頻率多質(zhì)量特性波動分析,作出以下假設(shè):

(1) 根據(jù)參考文獻(xiàn)和工程實(shí)踐可知,機(jī)械結(jié)構(gòu)參數(shù)通常符合正態(tài)分布,據(jù)此本文假設(shè)柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品結(jié)構(gòu)參數(shù)x=[x1,x2,…,xn]在設(shè)計空間內(nèi)服從正態(tài)分布;

(2) 各結(jié)構(gòu)參數(shù)x=[x1,x2,…,xn]之間相互獨(dú)立。

根據(jù)多項式混沌擴(kuò)展模型假設(shè),同時,考慮柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品實(shí)際工程復(fù)雜度,進(jìn)行不高于P階的多項式混沌擴(kuò)展進(jìn)行截斷,構(gòu)建PCE代理模型如下:

(4)

在上述模型假設(shè)的基礎(chǔ)上,本文構(gòu)建和檢驗(yàn)柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性PCE代理模型主要步驟如下:

(1) 不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)線性變換

描述柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品結(jié)構(gòu)參數(shù)對多質(zhì)量特性波動不確定性影響,可根據(jù)式(5)將結(jié)構(gòu)參數(shù)x=[x1,x2,…,xn]轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的不確定性設(shè)計變量。

(5)

式中,μxi表示結(jié)構(gòu)參數(shù)xi均值;σ(xi)表示結(jié)構(gòu)參數(shù)xi的標(biāo)準(zhǔn)差。

(2) PCE正交多項式基底選擇

根據(jù)設(shè)計變量不同分布類型,其正交多項式基底也不同。本文依據(jù)PCE代理模型假設(shè)與結(jié)構(gòu)參數(shù)服從正態(tài)分布,選擇Hermite多項式作為PCE代理模型基底。在實(shí)際工程問題中,柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品往往存在多維不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)影響。因此,多維Hermite多項式:

(6)

將多維Hermite多項式(6)代入PCE代理模型式(4),則柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性PCE代理模型展開如下:

(7)

(3) PCE系數(shù)求解

通常,求解PCE系數(shù)主要有兩類方法[25-27],即嵌入式方法和非嵌入式方法。嵌入式方法在PCE系數(shù)的計算過程中,需要對原始模型進(jìn)行改進(jìn)和調(diào)整,但這一過程增加了系數(shù)求解的復(fù)雜度;非嵌入式方法則不需要這一過程。據(jù)此,本文采用非嵌入式方法來求解PCE系數(shù)。

(4) PCE代理模型精度檢驗(yàn)

(8)

3 基于多質(zhì)量特性的Grey-PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計

3.1 建立柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型

柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品在早期設(shè)計階段,由于忽略不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)情形下的多質(zhì)量特性之間相互沖突和矛盾,且多質(zhì)量特性優(yōu)化過程只考慮多質(zhì)量特性的均值而未包括方差,而導(dǎo)致復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性波動和沖突。據(jù)此,本文基于PCE代理模型和6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計建模思路[28-29],構(gòu)建柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型:

(9)

式中,μfi為各質(zhì)量特性的均值模型;σfi為各質(zhì)量特性方差模型;s1i與s2i分別表示各質(zhì)量特性均值和方差歸一化系數(shù);ω1i與ω2i分別表示各質(zhì)量特性均值和方差權(quán)重系數(shù)。其中,柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型中各質(zhì)量特性均值與方差模型估計如下:

(10)

(11)

3.2 柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性沖突的灰色關(guān)聯(lián)分析

柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品往往本身具備多個質(zhì)量特性功能。在早期設(shè)計階段,各質(zhì)量特性在功能實(shí)現(xiàn)方面往往存在相互沖突、矛盾現(xiàn)象,一個質(zhì)量特性的提升可能導(dǎo)致另一個質(zhì)量特性下降。因此,在早期設(shè)計階段考慮多質(zhì)量特性之間的權(quán)衡是多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計方案評價的難點(diǎn)問題。接近度灰色關(guān)聯(lián)分析法是據(jù)序列曲線幾何形狀的相似程度來判斷比較序列與參考序列的關(guān)系緊密程度,已在各領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。因此,本文通過采用接近度灰色關(guān)聯(lián)分析法計算各質(zhì)量特性值與期望質(zhì)量特性值之間的關(guān)聯(lián)系數(shù),將多質(zhì)量特性轉(zhuǎn)化為以關(guān)聯(lián)度的綜合質(zhì)量特性評價指標(biāo)。據(jù)此,進(jìn)行優(yōu)勢排序分析,選擇關(guān)聯(lián)度最大值所對應(yīng)的設(shè)計方案作為最佳穩(wěn)健設(shè)計方案。

根據(jù)接近度灰色關(guān)聯(lián)定理,定義穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計得出的n個多質(zhì)量特性解集{yi}作為比較序列{yi}={yi(1),yi(2),…,yi(n)},將各n個單質(zhì)量特性確定性優(yōu)化解{yj}作為參考序列{yj=yj(1),yj(2),…,yj(n)},其中i=j=1,2,…,n,n為試驗(yàn)設(shè)計組合數(shù)。接近關(guān)聯(lián)度主要用于測度序列折線在空間中的接近程度,將比較序列{yi}和參考序列{yj}對應(yīng)的折線記為yi和yj。令

(12)

由比較序列yi和參考序列yj長度相同可得

(13)

根據(jù)比較序列{yi}與參考序列{yj}關(guān)聯(lián)度為

(14)

通過接近關(guān)聯(lián)度求出每組非劣解與單質(zhì)量特性最優(yōu)解之間的接近關(guān)聯(lián)度,根據(jù)關(guān)聯(lián)度值大小選出關(guān)聯(lián)度最大非劣解對應(yīng)的設(shè)計方案作為最終穩(wěn)健設(shè)計方案。

3.3 構(gòu)造柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品Gray-PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計流程

本文基于PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型與接近灰色關(guān)聯(lián)度法相結(jié)合來解決不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性波動、沖突的難題,其流程如圖4所示,主要分為7個步驟:

步驟1依據(jù)柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性工程設(shè)計要求及工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),確定設(shè)計變量分布類型及取值范圍;

步驟2安排柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品各設(shè)計變量的試驗(yàn)設(shè)計組合,據(jù)此,根據(jù)有限元仿真獲得各試驗(yàn)設(shè)計組合的多質(zhì)量特性及最大等效應(yīng)力響應(yīng)值;

步驟3依據(jù)PCE代理模型的構(gòu)建思路,構(gòu)建柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性及最大等效應(yīng)力的PCE代理模型;

步驟4通過相對誤差公式(8)對構(gòu)建的多質(zhì)量特性及最大等效應(yīng)力的PCE代理模型精度進(jìn)行檢驗(yàn)。模型精度檢驗(yàn)如果未達(dá)到精度要求,則須重新安排試驗(yàn)設(shè)計;

步驟5在上述步驟的基礎(chǔ)上,采用6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計建模思路,構(gòu)建柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型,并估計多質(zhì)量特性及最大等效應(yīng)力模型的均值與方差;

步驟6采用NSGA-Ⅱ算法對柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型進(jìn)行求解,獲取多質(zhì)量特性非劣解集;

步驟7選擇多質(zhì)量特性非劣解集作為目標(biāo)矢量序列,各單質(zhì)量特性最優(yōu)解作為基準(zhǔn)矢量序列,采用接近度灰色關(guān)聯(lián)分析法進(jìn)行排序,以關(guān)聯(lián)度值最大的多質(zhì)量特性非劣解所對應(yīng)的設(shè)計方案作為穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計最佳方案。

圖4 柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計流程Fig.4 Flowchart of sophisticated equipment products of compliant mechanism robust design optimization

4 案例研究

4.1 柔順微操作平臺多質(zhì)量特性波動分析

柔順微操作平臺[30]作為典型的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品,其三維實(shí)體模型如圖5所示。該平臺主要有兩個重要作用,一是通過柔性形變來實(shí)現(xiàn)輸入微位移的放大;二是通過固有頻率實(shí)現(xiàn)快速響應(yīng)。因此,放大倍數(shù)和固有頻率是本文所需穩(wěn)健的兩個質(zhì)量特性。柔順微操作平臺依據(jù)差動式杠桿放大原理,通過壓電陶瓷驅(qū)動器對放大機(jī)構(gòu)的微位移產(chǎn)生放大作用來實(shí)現(xiàn)其大行程,設(shè)計原理如圖6所示。根據(jù)文獻(xiàn)[30]可知,柔順微操作平臺質(zhì)量特性放大倍數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)間的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式:

(15)

式中,t,r分別表示直圓型柔性鉸鏈厚度和半徑;L表示桿件Ⅱ的長度;LH表示直角柔性鉸鏈H的長度;yO表示輸入位移;yI表示輸出位移。

圖5 柔順微操作平臺結(jié)構(gòu)示意圖Fig.5 Structure of micro-manipulation stage of compliant mechanism

圖6 柔順微操作平臺工作原理Fig.6 Working principle of micro-manipulation stage of compliant mechanism

根據(jù)柔順微操作平臺在實(shí)際復(fù)雜工況下,受到環(huán)境溫度、外界載荷、加工誤差、機(jī)械振動、材料分布不均勻等外界噪聲因子的影響,致使其結(jié)構(gòu)參數(shù)呈現(xiàn)不確定性狀態(tài),產(chǎn)生多質(zhì)量特性放大倍數(shù)與固有頻率波動。同時,柔順微操作平臺操作空間和動態(tài)響是相互矛盾和制約的,增加操作空間會提高放大倍數(shù),往往會降低平臺的響應(yīng)速度;反之亦然。為了解決不確定性情形下的放大倍數(shù)及固有頻率兩個質(zhì)量特性波動及沖突的工程難題,本文采用Grey-PCE多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計新方法來解決這一難題。

4.2 構(gòu)建柔順微操作平臺隨機(jī)響應(yīng)曲面試驗(yàn)設(shè)計組合及有限元數(shù)值模擬計算

依據(jù)柔順微操作平臺多質(zhì)量特性的工程設(shè)計要求與工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),確定平臺結(jié)構(gòu)參數(shù)的分布類型與取值范圍如表1所示。

表1 不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)特性

根據(jù)構(gòu)建PCE代理模型的樣本點(diǎn)來源于比其高一階的正交多項式之根。為了既滿足模型預(yù)測精度又降低模型復(fù)雜度的要求,本文選取PCE代理模型階次為二階,可知構(gòu)建柔順微操作平臺放大倍數(shù)、固有頻率及最大等效應(yīng)力PCE代理模型的樣本點(diǎn)來源于3階Hermite正交多項式之根。因此,可獲得樣本點(diǎn)數(shù)量為34的樣本空間。然而,這一樣本空間的樣本量遠(yuǎn)多于PCE模型展開系數(shù)項15項。

從降低有限元數(shù)值模擬仿真成本與保證模型精度所需樣本量角度考慮,選取樣本設(shè)計空間內(nèi)PCE代理模型展開系數(shù)項兩倍的樣本點(diǎn)就能滿足模型精度要求。因此,本文依據(jù)隨機(jī)響應(yīng)面法配點(diǎn)安排30個試驗(yàn)設(shè)計組合方案,通過有限元數(shù)值模擬仿真平臺Ansys workbench 12.1模擬計算各試驗(yàn)設(shè)計組合的多質(zhì)量特性放大倍數(shù)與固有頻率響應(yīng)值,同時,模擬各試驗(yàn)設(shè)計組合的最大等效應(yīng)力值?？傻萌犴樜⒉僮髌脚_各試驗(yàn)設(shè)計組合響應(yīng)值如表2所示。

表2 試驗(yàn)設(shè)計組合方案

4.3 構(gòu)建柔順微操作平臺多質(zhì)量特性PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型

0.000 608ξLξr+0.000 04ξLξt+0.003 45ξLHξr+0.001 34ξLHξt+0.001 22ξrξt

(16)

0.003 69ξLξt-0.092 9ξLHξr-0.006 41ξLHξt-0.014 3ξrξt

(17)

0.040 4ξLξt+0.020 6ξLHξr-0.005 3ξLHξ+0.003 59ξrξt

(18)

根據(jù)相對誤差式(8)對上述各質(zhì)量特性與最大等效應(yīng)力PCE代理模型式(16)、式(17)和式(18)進(jìn)行模型精度檢驗(yàn)。通過20組測試樣本點(diǎn)對模型進(jìn)行檢驗(yàn)可得各PCE代理模型相對誤差如圖7所示。由測試樣本相對誤差結(jié)果都在10%以內(nèi),據(jù)此,可認(rèn)為柔順微操作平臺各PCE代理模型滿足精度要求即本文所構(gòu)建的PCE代理模型可替代真實(shí)理論模型。

圖7 PCE代理模型相對誤差Fig.7 PCE surrogate model relative error

根據(jù)柔順微操作平臺實(shí)際工程設(shè)計要求,本文以多質(zhì)量特性放大倍數(shù)、固有頻率設(shè)為目標(biāo)函數(shù),最大等效應(yīng)力為約束函數(shù)。同時,依據(jù)柔順微操作平臺產(chǎn)生的最大等效應(yīng)力不應(yīng)超過柔順微操作平臺材料的屈服極限34 MPa作為約束條件。在給定結(jié)構(gòu)參數(shù)取值范圍及分布類型,構(gòu)建柔順微操作平臺多質(zhì)量特性PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型:

(19)

為了驗(yàn)證本文多質(zhì)量特性PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型的有效性,同時,本文構(gòu)建確定性優(yōu)化設(shè)計模型:

(20)

4.4 基于灰色關(guān)聯(lián)度的多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化方案選擇

根據(jù)上文建立的柔順微操作平臺多質(zhì)量特性PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型式(19)與傳統(tǒng)確定性優(yōu)化設(shè)計模型式(20),本文基于Isight多學(xué)科優(yōu)化平臺對兩類模型,采用內(nèi)嵌NSGA-Ⅱ算法進(jìn)行求解。多質(zhì)量特性放大倍數(shù)與固有頻率穩(wěn)健迭代尋優(yōu)過程如圖8和圖9所示。

圖8 放大倍數(shù)穩(wěn)健迭代尋優(yōu)過程Fig.8 Robust iterative optimization process of the amplification

圖9 固有頻率穩(wěn)健迭代尋優(yōu)過程Fig.9 Robust iterative optimization process of the natural frequency

由于在實(shí)際工程中柔順微操作平臺穩(wěn)健優(yōu)化求解出的多質(zhì)量特性解集難于權(quán)衡決策,設(shè)計方案選擇過程往往可能產(chǎn)生多質(zhì)量特性相互沖突、矛盾的現(xiàn)象,導(dǎo)致難以獲得柔順微操作平臺多質(zhì)量特性綜合性能最佳的穩(wěn)健設(shè)計方案。因此,本文采用接近度灰色關(guān)聯(lián)分析法進(jìn)行分析。首先,分別以放大倍數(shù)和固有頻率為目標(biāo)響應(yīng)求解出無質(zhì)量特性沖突情形下的各單目標(biāo)響應(yīng)穩(wěn)健優(yōu)化解集。據(jù)此,獲取無質(zhì)量特性沖突情形下的各單目標(biāo)響應(yīng)的穩(wěn)健最優(yōu)解分別為：放大倍數(shù)f1=6.988 5,固有頻率f2=95.718 1。

然后,以無質(zhì)量特性沖突情形下的各單目標(biāo)響應(yīng)的穩(wěn)健最優(yōu)解作為基準(zhǔn)矢量序列,將多質(zhì)量特性沖突情形下的目標(biāo)響應(yīng)解集作為目標(biāo)矢量序列,根據(jù)接近度灰色關(guān)聯(lián)分析法計算目標(biāo)矢量序列與基準(zhǔn)矢量序列之間的關(guān)聯(lián)度。并以灰色關(guān)聯(lián)度最大的目標(biāo)矢量序列作為穩(wěn)健最優(yōu)解即多質(zhì)量特性解集與各單質(zhì)量特性最優(yōu)解集的接近程度,據(jù)此,灰色關(guān)聯(lián)度最大對應(yīng)設(shè)計方案即為多質(zhì)量特性沖突下的穩(wěn)健最佳設(shè)計方案。根據(jù)接近度灰色關(guān)聯(lián)分析法計算可得柔順微操作平臺放大倍數(shù)與固有頻率多質(zhì)量特性灰色關(guān)聯(lián)度分析結(jié)果如表3所示。

4.5 多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化結(jié)果對比分析

根據(jù)上述接近度灰色關(guān)聯(lián)分析結(jié)果,選擇關(guān)聯(lián)度最大的多質(zhì)量特性穩(wěn)健最佳解分別為：放大倍數(shù)f1=6.845 1,固有頻率f2=94.436 9所對應(yīng)的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計方案如表4所示。

表3 多質(zhì)量特性灰色關(guān)聯(lián)度分析

表4 Grey-PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計方法結(jié)果

從設(shè)計方案角度分析表4可知,基于Grey-PCE多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計所獲得的各結(jié)構(gòu)參數(shù)的穩(wěn)健性質(zhì)量水平都達(dá)到了6σ水平以上,其對應(yīng)各結(jié)構(gòu)參數(shù)可靠度都近似達(dá)到了100%;相比確定性優(yōu)化設(shè)計所得到的結(jié)果如表5所示,各結(jié)構(gòu)參數(shù)的穩(wěn)健性質(zhì)量水平均未達(dá)到2σ水平,相應(yīng)的可靠度都處于70%～90%,難于滿足國防、醫(yī)療等高尖端領(lǐng)域高可靠性、高穩(wěn)健性的嚴(yán)苛設(shè)計要求。

表5 傳統(tǒng)確定性優(yōu)化設(shè)計結(jié)果

從多質(zhì)量特性兩類方法均值優(yōu)化效果角度分析,采用本文提出方法所得到的柔順微操作平臺放大倍數(shù)為6.845 1倍,相比確定性優(yōu)化設(shè)計方法所得到的6.967 7倍,兩類方法所得到的放大倍數(shù)在均值方面相差不大。然而,確定性優(yōu)化設(shè)計方法所得到的放大倍數(shù)穩(wěn)健性質(zhì)量水平為1.9σ。相比本文方法穩(wěn)健優(yōu)化得到的穩(wěn)健性水平8σ,遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于Grey-PCE多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計方法所得結(jié)果的穩(wěn)健性;同時,確定性優(yōu)化設(shè)計方法所得到的柔順微操作平臺固有頻率為94.234 7 Hz,而本文方法所得固有頻率為94.436 9 Hz,在均值方面兩者也相差不大。但通過本文方法所得到的固有頻率穩(wěn)健性質(zhì)量水平為8σ,也遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于確定性優(yōu)化結(jié)果的3σ水平。且柔順微操作平臺多質(zhì)量特性Grey-PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計后的值得到了最大等效應(yīng)力減小,降低了平臺發(fā)生失效的概率。從表4和表5最大等效應(yīng)力穩(wěn)健性質(zhì)量水平對比也可體現(xiàn)出。綜上分析表明,提高柔順微操作平臺多質(zhì)量特性穩(wěn)健可靠性水平,不僅均值要達(dá)到多質(zhì)量特性的目標(biāo)期望,而且還要降低多質(zhì)量特性波動。

從多質(zhì)量特性放大倍數(shù)和固有頻率的標(biāo)準(zhǔn)差角度分析,基于本文提出的Grey-PCE多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計方法所得到的各質(zhì)量特性標(biāo)準(zhǔn)差相比確定性優(yōu)化設(shè)計所得到各質(zhì)量特性標(biāo)準(zhǔn)差要小很多。本文方法所得放大倍數(shù)和固有頻率標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.017,0.126;而相應(yīng)的確定性優(yōu)化設(shè)計方法所得到的放大倍數(shù)和固有頻率標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.181,1.34。兩類方法優(yōu)化結(jié)果對比如圖10和圖11所示。從圖10、圖11對比分析可知Grey-PCE多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計方法所得到的各質(zhì)量特性概率密度曲線更為“瘦小”,說明其標(biāo)準(zhǔn)差值越小,其性能波動就越小,符合高尖端領(lǐng)域嚴(yán)苛的工程設(shè)計要求。

圖10 柔順微操作平臺放大倍數(shù)概率分布對比Fig.10 Comparison of amplification probability distribution of micro-manipulation stage

圖11 柔順微操作平臺固有頻率概率分布對比Fig.11 Comparison of natural frequency probability distribution of micro-manipulation stage

根據(jù)表4和表5綜合分析,表明在早期設(shè)計階段,考慮設(shè)計參數(shù)不確定性及多質(zhì)量特性相互沖突、矛盾對柔順微操作平臺性能的影響,是實(shí)現(xiàn)其在復(fù)雜工況下穩(wěn)健運(yùn)行前提和基礎(chǔ)。由兩類方法優(yōu)化結(jié)果對比分析可知,本文所提出的Grey-PCE多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型,在設(shè)計階段考慮各結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性分布類型基礎(chǔ)上并增加了多質(zhì)量特性沖突的設(shè)計方案權(quán)衡分析,相比傳統(tǒng)確定性優(yōu)化設(shè)計方案更穩(wěn)健。

5 結(jié) 論

不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性沖突與波動是復(fù)雜裝備領(lǐng)域的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問題。為了確保在早期設(shè)計階段,柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品設(shè)計質(zhì)量的提升,本文針對結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性情形下的柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性波動、多質(zhì)量特性相互沖突工程難題,提出了Grey-PCE多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計新方法。該方法通過柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品PCE穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型獲得多質(zhì)量特性穩(wěn)健優(yōu)化解集;結(jié)合接近度灰色關(guān)聯(lián)分析法對穩(wěn)健優(yōu)化解集進(jìn)行接近度灰色關(guān)聯(lián)度分析,根據(jù)關(guān)聯(lián)度最大值評價,決策選出最佳穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計方案。該方法不僅提高了柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性沖突難題,還增強(qiáng)了多質(zhì)量特性對外界的抗干擾性。為解決了不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)情形下柔順復(fù)雜裝備精密產(chǎn)品多質(zhì)量特性沖突及波動難題提供了一種參考依據(jù)。

[1] LI Y P, LIU S F, XU L, et al. Decision target adjustment quality function deployment network with an uncertain multi-level programming model for a complex product[J]. Journal of Grey System, 2015, 27(3):132-150.

[2] 李亞平,劉思峰,方志耕, 等. 多質(zhì)量特性產(chǎn)品參數(shù)設(shè)計灰靶模型[J]. 中國機(jī)械工程, 2016, 27(8): 1078-1083.

LI Y P,LIU S F, FANG Z G, et al. Grey target model for parameter design of multi quality characteristic products[J]. China Mechanical Engineering, 2016, 27(8): 1078-1083.

[3] 孫光永,李光耀,閆曉磊,等.多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計方法在車身設(shè)計制造中的應(yīng)用研究[J].固體力學(xué)學(xué)報,2011,32(2):186-196.

SUN G Y, LI G Y, YAN X L, et al. Application research of multi-objective robust optimization for design and manufacture in vehicle body[J].Acta Mechanica Solida Sinica,2011,32(2):186-196.

[4] 謝展, 于德介, 李蓉, 等. 汽車發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)的多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計[J]. 汽車工程, 2013, 35(10): 893-897.

XIE Z, YU D J, LI R， et al. Multi-objective robust optimization design of vehicle engine mount systems[J]. Automotive Engineering, 2013, 35(10): 893-897.

[5] CHEN D, FANG Z G, LIU X Q. Research on multiple-objective weighted grey target reliability optimization model of complex product[J]. Journal of Grey System, 2015, 27(3):11-22.

[6] LI H, GU J, WANG M, et al. Multi-objective optimization of coronary stent using Kriging surrogate model[J]. Biomedical Engineering Online, 2016, 15(2):148.

[7] FANG J, GAO Y, SUN G, et al. Multi objective robust design optimization of fatigue life for a truck cab[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2015, 135(135): 1-8.

[8] LI F, SUN G, HUANG X, et al. Multiobjective robust optimization for crashworthiness design of foam filled thin-walled structures with random and interval uncertainties[J]. Engine-ering Structures, 2015, 88(1): 111-124.

[9] AKHTAR T, SHOEMAKER C A. Multi-objective optimization of computationally expensive multi-modal functions with RBF surrogates and multi-rule selection[J]. Journal of Global Optimization, 2016, 64(1): 1-16.

[10] MACKMAN T J, ALLEN C B, GHOREYSHI M, et al. Compa-rison of adaptive sampling methods for generation of surrogate aerodynamic models[J]. AIAA Journal, 2014, 51(4): 797-808.

[11] ALIBRANDI U, ALANI A M, RICCIARDI G. A new sampling strategy for SVM-based response surface for structural reliability analysis[J]. Probabilistic Engineering Mechanics, 2015, 41:1-12.

[12] GASPAR B, TEIXEIRA A P, SOARES C G. Assessment of the efficiency of Kriging surrogate models for structural reliability analysis[J].Probabilistic Engineering Mechanics,2014,37(4):24-34.

[13] KERSAUDY P, SUDRET B, VARSIER N, et al. A new surrogate modeling technique combining Kriging and polynomial chaos expansions-application to uncertainty analysis in computational dosimetry[J]. Journal of Computational Physics, 2015, 286:103-117.

[14] FORRESTER D I A J, SOBESTER D A, KEANE A J. Engineering design via surrogate modelling: a practical guide[M]. London: Antony Rowe, 2008.

[15] FORRESTER A I J, KEANE A J. Recent advances in surrogate-based optimization[J]. Progress in Aerospace Sciences, 2009, 45(1/3): 50-79.

[16] WORTMAN T, COSTA A, NANNICINI G, et al. Advantages of surrogate models for architectural design optimization[J]. Ai Edam Artificial Intelligence for Engineering Design Analysis & Manufacturing, 2015, 29(4): 471-481.

[17] LI X, QIU H, CHEN Z, et al. A local Kriging approximation method using MPP for reliability-based design optimization[J]. Computers & Structures, 2016, 162(C): 102-115.

[18] 歐陽林寒. 模型不確定下的穩(wěn)健參數(shù)設(shè)計研究[D]. 南京: 南京理工大學(xué), 2016.

OUYANG L H. Robust parameter design with model uncertainty[D].Nanjing:Nanjing University of Science and Technology, 2016.

[19] 韋東來. 汽車覆蓋件成形工藝的穩(wěn)健優(yōu)化與容差分析[D]. 上海: 上海交通大學(xué), 2009.

WEI D L. Robust optimization and tolerance analysis of autobody panel stamping[D]. Shanghai: Shanghai Jiaotong University, 2009.

[20] HOWELL L L. Compliant mechanisms[M]. New York: Wiley, 2001.

[21] 萬良琪. 考慮設(shè)計參數(shù)不確定性的6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計方法及工程應(yīng)用[D]. 贛州: 江西理工大學(xué), 2016.

WAN L Q. The optimization and engineering application of 6σ robust based on uncertain design parameter[D]. Ganzhou: Jiangxi University of Science and Technology, 2016.

[22] SARMA P, XIE J. Efficient and robust uncertainty quantification in reservoir simulation with polynomial chaos expansions and non-intrusive spectral projection[C]∥Proc.of the SPE Reservoir Simulation Symposium, 2011.

[23] CHEN Y, JAKEMAN J, GITTELSON C, et al. Local polynomial chaos expansion for linear differential equations with high dimensional random inputs[J]. SIAM Journal on Scientific Computing, 2015, 37(1): 79-102.

[24] FRANCIOSA P, GERBINO S, CEGLAREK D. Fixture capability optimization for early-stage design of assembly system with compliant parts using nested polynomial chaos expansion[J]. Procedia CIRP, 2016, 41: 87-92.

[25] HAMPTON J, DOOSTAN A. Compressive sampling of polynomial chaos expansions: convergence analysis and sampling strategies[J]. Journal of Computational Physics, 2014, 280: 363-386.

[26] STROUD A H. Approximate calculation of multiple integrals[M]. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1971.

[27] WEBSTER M D, TATANG M A, MCRAE G J. Application of the probabilistic collocation method for an uncertainty analysis of a simple ocean model[J]. MIT Joint Program on the Science and Policy of Global Change, 1996, 4: 1-21.

[28] ACHARJEE S, ZABARAS N. Uncertainty propagation in finite deformations-a spectral stochastic Lagrangian approach[J]. Computer Methods in Applied Mechanics & Engineering, 2006, 195(19/22):2289-2312.

[29] XIONG F, XUE B, YAN Z, et al. Polynomial chaos expansion based robust design optimization[J]. International Conference on Quality, Reliability, Risk, Maintenance, & Safety Engineering, 2011, 412(8): 868-873.

[30] SINGH T, SINGLA P, KONDA U. Polynomial chaos based design of robust input shapers[J]. Journal of Dynamic Systems Measurement & Control, 2010, 132(5): 626-634.

[31] 徐貴陽. 基于響應(yīng)面法的微操作平臺設(shè)計與性能綜合[D]. 贛州: 江西理工大學(xué), 2015.

XU G Y. Design and performance synthesis of micro-manipulation stage based on response surface method[D]. Ganzhou: Jiangxi University of Science and Technology, 2015.