基于ESO的無人直升機軌跡魯棒跟蹤控制

陳南宇, 黃 俊, 周堯明, 趙文龍

(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院, 北京 100083)

0 引 言

無人直升機具有懸停、側(cè)飛、倒飛、低速巡航等獨特的飛行特性,在偵察、救援、航拍、植保等軍/民用領(lǐng)域引起了人們的廣泛關(guān)注。然而,無人直升機是一種強耦合、靜不穩(wěn)定、欠驅(qū)動的高階的非線性系統(tǒng),并且時刻暴露在多擾動的環(huán)境中,設(shè)計一種簡單而實用的無人直升機飛行控制系統(tǒng)是一項頗具挑戰(zhàn)性的任務(wù)。

近年來,國內(nèi)外的專家學(xué)者為無人直升機設(shè)計了許多線性和非線性的控制方法,例如PID控制[1]、增益調(diào)度控制[2]、H∞回路成形控制[3]、線性二次型方法[4]、反饋線性化方法[5]、自適應(yīng)滑?？刂芠6]、預(yù)測控制[7]、動態(tài)逆[8]、反步法[9]等。但是,線性控制方法僅能在平衡點附近發(fā)揮效果,故不適用于本質(zhì)上包含強非線性特性、系統(tǒng)參數(shù)時變的無人直升機控制系統(tǒng)。而另一方面,非線性控制在實際飛行中效果也差強人意,達(dá)不到實用化要求,主要原因是無人直升機系統(tǒng)常常存在很多不確定性,例如測量噪聲、外部擾動、建模誤差、控制器死區(qū)和飽和以及控制器與所要控制的系統(tǒng)之間存在的不可直接測量的輸入未建模動態(tài)等,它們都是影響系統(tǒng)飛行性能的不利因素。無人直升機的控制問題就是系統(tǒng)不確定性的處理問題或抗擾問題[10]。

自適應(yīng)控制是處理不確定非線性系統(tǒng)的一種有效方法,它與反步法相結(jié)合被廣泛應(yīng)用于無人直升機飛行控制器的設(shè)計當(dāng)中。文獻(xiàn)[11]利用分層控制策略研究了模型直升機的軌跡跟蹤控制方法,在外回路中設(shè)計了基于積分二次型李雅普諾夫函數(shù)的位置控制器,內(nèi)回路設(shè)計了一種無奇異姿態(tài)控制律實現(xiàn)了姿態(tài)跟蹤,并通過自適應(yīng)律對未建模動態(tài)進(jìn)行估計和補償。文獻(xiàn)[12]利用自適應(yīng)反步法研究了具有慣性參數(shù)不確定性的微型直升機的軌跡跟蹤問題,該算法在簡化的級聯(lián)形式的直升機模型基礎(chǔ)上采用反步法設(shè)計控制器,通過自適應(yīng)更新律對慣性參數(shù)不確定性進(jìn)行在線補償。文獻(xiàn)[13]給出了基于L1自適應(yīng)控制與非線性前饋控制方法補償相結(jié)合的四旋翼飛行器軌跡跟蹤控制器,對飛行過程中時變氣動作用和有界外部干擾進(jìn)行處理,實現(xiàn)了對于任何給定有界參考軌跡輸出信號的漸近跟蹤。文獻(xiàn)[14]也利用自適應(yīng)反步法和非線性自適應(yīng)律獲得了無人直升機軌跡的魯棒跟蹤控制,通過將干擾估計值整合到反步控制器中, 使得閉環(huán)跟蹤系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性得到保證,并證明了所設(shè)計的控制器對干擾具有主動阻隔效果。

以上方法通過在線辨識或直接對攝動參數(shù)進(jìn)行調(diào)整,實現(xiàn)對變化的自適應(yīng),并利用反步法實現(xiàn)整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但是,隨著研究的深入,人們發(fā)現(xiàn)單純的自適應(yīng)控制對于系統(tǒng)外部干擾和未建模動態(tài)非常敏感,可能導(dǎo)致參數(shù)漂移等現(xiàn)象的發(fā)生[15]。因此,若能采用一種方法或策略,能夠降低或消除這些外部干擾和未建模動態(tài)的影響,那么參數(shù)漂移也將得到有效抑制。而擴張狀態(tài)觀測器(extended state observer, ESO)正是解決這一問題的一種可行方法。ESO是文獻(xiàn)[16]提出的自抗擾控制技術(shù)的核心,其基本思想是:將各種耦合作用、未建模動態(tài)以及外部擾動看成綜合擾動進(jìn)行實時估計,然后利用估計輸出設(shè)計補償控制律來提高已有控制器的控制性能,從而達(dá)到消除擾動的目的。擴張狀態(tài)觀測器為自適應(yīng)控制參數(shù)漂移問題提供了天然的解決途徑。因此,將兩者結(jié)合起來用于模型失配、參數(shù)攝動以及環(huán)境干擾等多種擾動類型并存情形下的無人直升機飛行控制器的設(shè)計,將有助于進(jìn)一步保持和發(fā)揮自適應(yīng)反步法的優(yōu)點,提高系統(tǒng)的魯棒性能。

本文針對無人直升機不確定性問題,綜合考慮慣性參數(shù)攝動、未建模動態(tài)以及外界未知干擾等各種不確定性的綜合影響,提出了一種將擴張狀態(tài)觀測器和自適應(yīng)反步控制相結(jié)合的無人直升機魯棒控制方法,以增強飛行控制系統(tǒng)的抗干擾性和對時變參數(shù)的自適應(yīng)性。其中,利用ESO實現(xiàn)系統(tǒng)未建模動態(tài)以及外界未知有界干擾的實時估計和在線補償,利用自適應(yīng)律實現(xiàn)對時變慣性參數(shù)的動態(tài)調(diào)整。最后,通過對上升螺旋線的軌跡跟蹤,驗證了所設(shè)計控制器的有效性。

1 系統(tǒng)模型

1.1 機身動力學(xué)模型

將無人直升機機身視為剛體,其機身動力學(xué)模型[17]為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中,Cθ,Sθ及Tθ分別表示cosθ,sinθ和tanθ的簡寫,其他類推。為了保證H不會出現(xiàn)奇異性,假定θ≠±π/2。R∈SO(3)為機體坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣,其表達(dá)式為

(6)

J∈R3×3表示無人直升機的慣性矩陣,由于無人直升機關(guān)于機體坐標(biāo)系x-z平面對稱,因此慣性矩陣J可表示為

(7)

式中,Ixx,Iyy,Izz和Ixz為轉(zhuǎn)動慣量。

1.2 力和力矩計算

若Fmr和Ftr分別表示機體系下主旋翼和尾槳作用在機身上的空氣動力向量,則

(8)

Ftr=[0Ytr0]T=[0 -Ttr0]T

(9)

因此,作用在無人直升機機身上的合外力為

(10)

若記(lmr,ymr,hmr)和(ltr,ytr,htr)分別為機體坐標(biāo)系下主旋翼槳轂中心及尾槳軸相對直升機質(zhì)心的位置,則無人直升機機身上的總外力矩為

(11)

主旋翼和尾槳產(chǎn)生的拉力Tmr和Ttr,可近似采用如下計算公式(i=mr,tr)[18]：

Ti=CTi·ρ(ΩiRi)2Ai/2

(12)

(13)

主旋翼和尾槳旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的扭矩Qmr和Qtr可表示為

Qi=CQi·ρ(ΩiRi)2AiRi/2

(14)

(15)

1.3 旋翼一階揮舞動態(tài)

主旋翼揮舞角影響無人直升機機身受力和力矩,縱向揮舞β1c與橫向揮舞角β1s分別由縱向周期變距θ1c和橫向周期變距θ1s控制?；谖墨I(xiàn)[19],本文忽略揮舞動態(tài)二階量,整理、合并后得到主旋翼揮舞運動一階動態(tài)為

(16)

式中

B1=[β1c,β1s]T,θ1=[θ1c,θ1s]T,ω12=[p,q]T

R(β)表示主旋翼槳轂坐標(biāo)系到氣流坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣,其表達(dá)式為

(17)

式中,β為側(cè)滑角。其他符號含義詳見文獻(xiàn)[19]。

2 模型等效變換

無人直升機力和力矩主要由主旋翼和尾槳旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的,利用文獻(xiàn)[20]的簡化方法,可將式(2)變形為

(18)

式中,d1表示忽略機身、平尾、垂尾氣動力而帶來的模型簡化誤差以及未建模動態(tài)的總和。

(19)

(20)

式中

旋翼揮舞是旋翼系統(tǒng)的獨有特征,是無人直機動力學(xué)特性的重要組成部分,在控制器設(shè)計時應(yīng)該加以考慮,但已有文獻(xiàn)常常加以忽略。文獻(xiàn)[14]考慮了旋翼揮舞動態(tài),但只是將其簡化成一種穩(wěn)態(tài)過程,本質(zhì)上并未反映無人直升機的動態(tài)特征。因此,本文將采用一階揮舞動態(tài),將其與無人直升機的姿態(tài)動力學(xué)方程進(jìn)行整合,推導(dǎo)出耦合了旋翼揮舞動態(tài)的擴張姿態(tài)動力學(xué)方程。

首先,對式(11)進(jìn)行等價變形,可得

τb=QAU+QB+d2

(21)

式中,d2表示忽略平尾、垂尾等力矩而帶來的建模誤差總和;QA、QB和U分別為

(22)

將式(22)代入式(21),并利用式(12)、式(13)尾槳拉力計算公式,可將式(21)變換為

(23)

式中,θtr表示尾槳總距;f3為機體坐標(biāo)系ZB軸變換過程中剩余項及建模誤差等的總和;系數(shù)R3表達(dá)式為

(24)

對式(22)兩邊求時間導(dǎo)數(shù),并將式(16)旋翼揮舞動態(tài)代入,整理可得

(25)

式中,θ1=[θ1c,θ1s]T為主旋翼縱向/橫向周期變距向量;f12表示機體坐標(biāo)系XB、YB軸等效變換過程剩余項及建模誤差等的總和;R12表達(dá)式為

R12=QA12Kθ

(26)

至此,推導(dǎo)得到了耦合旋翼揮舞動態(tài)的無人直升機系統(tǒng)模型,它由位置子系統(tǒng)和擴張的姿態(tài)子系統(tǒng)組成,分別為

(27)

(28)

3 ESO設(shè)計

3.1 位置動力學(xué)方程ESO設(shè)計

根據(jù)式(19),對無人直升機位置動力學(xué)方程設(shè)計擴張狀態(tài)觀測器,用以在線估計d1,則

(29)

式中

通過以上觀測,可得z1→V,z2→d1。

3.2 姿態(tài)動力學(xué)方程ESO設(shè)計

根據(jù)式(28)的無人直升機姿態(tài)動力學(xué)方程設(shè)計擴張狀態(tài)觀測器,在線估計角速度、實際力矩以及總擾動,有

(30)

4 控制器設(shè)計

4.1 控制目標(biāo)

本文的控制目標(biāo)是:對任意給定的二階可微的參考軌跡Pd,設(shè)計軌跡跟蹤控制器,使得無人直升機系統(tǒng)式(27)和式(28)位置P在有外界干擾以及內(nèi)部慣性參數(shù)攝動的情況下跟蹤到期望軌跡上,且保證其他狀態(tài)參數(shù)有界。無人直升機控制量分別為主旋翼總距θ0、尾槳總距θtr以及主旋翼縱向/橫向周期變距θ1c和θ1s,其控制結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 無人直升機軌跡魯棒控制結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Block diagram of trajectory robust control for unmanned helicopter

4.2 位置控制器

定義位置誤差和速度誤差項

eP=P-Pd,eV=V-Vd

(31)

設(shè)計控制律

(32)

(33)

質(zhì)量m自適應(yīng)調(diào)整律

(34)

(35)

定理1通過式(32)～式(34),可使得位置子系統(tǒng)式(27)漸近收斂到零。

證明選擇Lyapunov候選函數(shù)

(36)

對式(36)兩邊求導(dǎo),且將式(27)代入

將控制律式(32)～式(34)代入可得

證畢

由于R∈SO(3),則‖Rde3‖=1。故根據(jù)式(33)可求得主旋翼升力和升力期望作用方向分別為

Tmr=‖μd‖

(37)

(38)

(39)

(40)

Rd2=Rd3×Rd1

(41)

φd=arctan(Rd23/Rd33)

(42)

4.3 姿態(tài)控制器

定義姿態(tài)誤差和角速度誤差分別為

eΘ=Θ-Θd,eω=ω-ωd

(43)

設(shè)計控制律

(44)

(45)

及轉(zhuǎn)動慣量ρ自適應(yīng)調(diào)整律

(46)

定理2通過式(44)～式(46),可使得姿態(tài)子系統(tǒng)式(28)漸近收斂到零。

證明選擇Lyapunov候選函數(shù)

(47)

對式(47)兩邊求導(dǎo),并代入式(28),有

將式(44)～式(46)代入可得

證畢

4.4 力矩控制器

(48)

選擇Lyapunov候選函數(shù)

(49)

對式(49)兩邊求導(dǎo),并將式(25)代入,有

(50)

式中,Δf12,eso表示利用ESO對不確定項f12的觀測值;eω12表示角速度誤差向量eω的前兩行。選取控制量

(51)

(52)

從而可得尾槳總距為

(53)

式中,Δf3,eso表示利用ESO對不確定項f3的觀測值。

最后,利用式(12)、式(13)以及式(37)的主旋翼拉力Tmr即可求出主旋翼總距。至此,得到了無人直升機系統(tǒng)全部的控制量。

5 仿真與分析

為了模擬燃油消耗的作用,讓無人直升機總重在整個仿真過程中均勻減少3 kg,即m(k)=m0-(3/n)·k,其中m0為飛機起飛重量,n為仿真總步數(shù),k為當(dāng)前仿真步數(shù)。同時,在t=10 s時將慣性矩陣J中各元素突變?yōu)镮xx=0.386 3,Iyy=0.480 6,Izz=0.474 1,直到仿真結(jié)束。在仿真過程中模擬了未建模動態(tài)及外界陣風(fēng)的擾動作用,利用文獻(xiàn)[20]類似的Gauss-Markov過程產(chǎn)生均值為零、幅值為3的高斯白噪聲,如圖2表示。

圖2 模擬的作用在系統(tǒng)中的擾動Fig.2 Simulated disturbance acting on the system

無人直升機軌跡跟蹤仿真結(jié)果如圖3～圖8所示,其中“ESO-ABC”為本文提出的基于ESO的自適應(yīng)反步控制方法,“ABC”表示常規(guī)自適應(yīng)反步控制方法。圖3和圖4分別為無人直升機三維和二維軌跡跟蹤曲線,圖5為位置跟蹤誤差。從圖3～圖5可以看到,本文所提出的方法比常規(guī)自適應(yīng)反步法具有更好的軌跡跟蹤效果,響應(yīng)時間更快、魯棒性更好,擾動抑制效率更高。

圖3 三維軌跡跟蹤結(jié)果Fig.3 Three dimensional trajectory tracking results

圖4 位置軌跡曲線Fig.4 Position trajectory curves

圖5 位置跟蹤誤差Fig.5 Position tracking errors

圖6 姿態(tài)跟蹤結(jié)果Fig.6 Attitude tracking results

圖7 控制輸入信號Fig.7 Control input signal

圖8 擾動的ESO觀測值Fig.8 Disturbances of the ESO

圖6為姿態(tài)跟蹤曲線。從圖中可以看到,由本文所提方法得到的實際姿態(tài)與期望姿態(tài)曲線基本重合,而常規(guī)反步法在俯仰角和滾轉(zhuǎn)角的跟蹤上都存在較大振蕩。圖7為控制輸入信號,表明在加入ESO后無人直升機輸入控制信號仍在合理的范圍內(nèi),未出現(xiàn)較大幅值和反復(fù)的控制量調(diào)節(jié),在實際飛行中是可實現(xiàn)的。圖8為對位置動力學(xué)方程中干擾信號d1=[du,dv,dw]T的ESO估計效果。顯然,對于隨機擾動的估計ESO能達(dá)到滿意的效果。

6 結(jié) 論

針對無人直升機實際飛行控制中存在的未建模動態(tài)、模型簡化誤差以及由于燃油消耗導(dǎo)致的質(zhì)量和慣性矩陣參數(shù)攝動等不確定性問題,提出了一種具有較強魯棒性的非線性控制方法,即基于ESO的自適應(yīng)反步魯棒控制方法,通過數(shù)值仿真驗證了該方法的有效性。仿真結(jié)果表明,在多種類型的不確定性并存的情況下,本文所提出的綜合方法無論在跟蹤精度、響應(yīng)速度,還是擾動抑制效率等方面都比常規(guī)自適應(yīng)反步法具有一定的優(yōu)勢,它能顯著增強無人直升機在飛行過程中的抗干擾性以及對參數(shù)攝動的自適應(yīng)性。

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