基于實(shí)值三線性分解的互耦條件下雙基地MIMO雷達(dá)角度估計(jì)算法

楊 康, 文方青, 黃冬梅, 張 磊, 王 可

(1. 中國電子科技集團(tuán)公司第二十八研究所, 南京 江蘇 210007; 2. 空中交通管理系統(tǒng)與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 江蘇 210007; 3. 長江大學(xué)電子信息學(xué)院, 荊州 湖北 434023; 4. 海軍指揮學(xué)院信息系, 南京 江蘇 210016)

0 引 言

伴隨著多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)技術(shù)在移動(dòng)通信領(lǐng)域的不斷成功與發(fā)展,MIMO技術(shù)在雷達(dá)領(lǐng)域應(yīng)用的研究方興未艾。利用匹配濾波處理及虛擬通道的思想,MIMO雷達(dá)可獲得遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)系統(tǒng)的性能。MIMO雷達(dá)技術(shù)是學(xué)術(shù)界、工程界的研究熱點(diǎn)之一,該研究方向不僅有重大的理論和學(xué)術(shù)意義,而且應(yīng)用前景廣闊,特別是具有巨大軍事應(yīng)用價(jià)值和民用價(jià)值,美、英、日等科技強(qiáng)國均把它作為發(fā)展未來智能化探測(cè)系統(tǒng)的重點(diǎn)突破的技術(shù)[1-3]。為了對(duì)敵目標(biāo)進(jìn)行有效監(jiān)測(cè)與阻擊,需要雷達(dá)系統(tǒng)能夠快速、精確對(duì)敵目標(biāo)進(jìn)行定位。角度估計(jì)是MIMO雷達(dá)目標(biāo)定位的基本任務(wù)之一,因而引起國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。迄今為止,已涌現(xiàn)大量優(yōu)秀的角度估計(jì)算法。典型的MIMO雷達(dá)角度估計(jì)算法有譜峰搜索法[4]、求根方法[5]、基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的估計(jì)算法[6]、傳播算子法[7]、張量方法[8-13]、稀疏表示法[14]等。其中,張量類算法由于能夠挖掘MIMO雷達(dá)數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)相關(guān)特性,因而是近幾年的研究熱點(diǎn)。

然而,上述算法的優(yōu)異性能均是在理想的陣列條件下獲得的。實(shí)際上,由于雷達(dá)系統(tǒng)往往在非理想的環(huán)境下,因而上述算法在實(shí)際工程中難以獲得理想的性能。陣列MIMO雷達(dá)的非理想環(huán)境之一是陣元互耦影響,其主要表現(xiàn)為相鄰的幾個(gè)陣元間數(shù)據(jù)的相互影響。為克服MIMO雷達(dá)陣列的互耦效應(yīng),已有部分學(xué)者開展這方面的研究。文獻(xiàn)[15]提出一種基于Capon算法和迭代思想的DOD與DOA及互耦估計(jì)算法,文獻(xiàn)[16]提出了一種基于降維多重譜峰搜索的算法。上述兩種算法均將角度估計(jì)轉(zhuǎn)換為二次優(yōu)化的問題,雖然可有效降低運(yùn)算量,但是譜峰搜索過程仍然具有較大的復(fù)雜量。此外,由于二次優(yōu)化求解目標(biāo)角度過程中,陣列受互耦的影響可能會(huì)產(chǎn)生模糊效應(yīng),因而角度估計(jì)的精度可能會(huì)嚴(yán)峻下降。利用互耦矩陣的對(duì)稱Toeplitz結(jié)構(gòu),文獻(xiàn)[17]提出了一種基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)(estimation method of signal parameters via rotational invariance techniques,ESPRIT)的雙基地MIMO雷達(dá)角度估計(jì)算法,通過選擇性矩陣可以消去陣列的互耦效應(yīng)。為利用陣列數(shù)據(jù)的多維結(jié)構(gòu),文獻(xiàn)[18]提出了一種基于實(shí)值高階子空間分解(higher-order singular value decomposition,HOSVD)算法。文獻(xiàn)[19]則提出一種基于三線性分解的DOD與DOA估計(jì)算法,其可改善張量分解的精度和計(jì)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)[20]采用最小二乘+譜峰搜索的策略進(jìn)行角度估計(jì),提高了[19]中角度估計(jì)的精度,并改善了[19]中的互耦校正的復(fù)雜度。文獻(xiàn)[21]則提出一種基于張量壓縮和稀疏表示的雙基地MIMO雷達(dá)角度估計(jì)算法,該算法僅適合大規(guī)模陣列的參數(shù)估計(jì),同時(shí)會(huì)導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)精度的下降。在小規(guī)模陣列時(shí),算法可能會(huì)完全失效。

考慮到均勻陣列的旋轉(zhuǎn)不變特性和互耦矩陣的Toeplitz對(duì)稱特性,本文提出一種基于改進(jìn)三線性分解的雙基地MIMO雷達(dá)角度估計(jì)算法。首先利用選擇性矩陣消去陣列互耦效應(yīng),然后構(gòu)建陣列數(shù)據(jù)的三線性分解模型?？紤]到均勻線性陣列(uniform linear array,ULA)的中心對(duì)稱特性,利用前后平滑技術(shù)對(duì)張量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,再構(gòu)造陣列的增廣輸出的三線性分解模型。利用三線性分解獲得相關(guān)導(dǎo)引矢量的估計(jì),最后再利用陣列的旋轉(zhuǎn)不變特性恢復(fù)目標(biāo)的DOD與DOA。由于三線性分解使用迭代的方式獲得相關(guān)導(dǎo)引矢量,因而能獲得比HOSVD更高的估計(jì)精度。且陣列增廣輸出為實(shí)數(shù),故本算法僅涉及實(shí)數(shù)運(yùn)算,相比已有復(fù)數(shù)算法,本文算法的計(jì)算復(fù)雜度更低。

1 張量基礎(chǔ)與信號(hào)模型

1.1 張量基礎(chǔ)

為方便讀者閱讀及理解,首先引入文獻(xiàn)[22]中關(guān)于張量操作的3個(gè)定義。

定義3(張量模乘性質(zhì)):N階張量X∈CI1×…IN的模乘性質(zhì)主要有如下兩條:

X×n·A×m·B=X×m·B×n·A,m≠n

X×n·A×m·B=X×n·(B·A)

(1)

[X×1·(A1)×2…(AN)]n=

An·[X]n·[AN?…An+1?An-1…?A1]T

(2)

式中,(·)T表示轉(zhuǎn)置。

1.2 信號(hào)模型

考慮一個(gè)雙基地MIMO雷達(dá)的陣列模型,如圖1所示。

圖1 雙基地MIMO雷達(dá)工作示意圖Fig.1 Illustration of bistatic MIMO radar

圖1中MIMO雷達(dá)的天線系統(tǒng)由M個(gè)發(fā)射陣元和N個(gè)接收陣元構(gòu)成,二者均是ULA。假設(shè)收發(fā)陣元間距均為d,為不引起陣列相位畸變需d≤λ/2,λ為發(fā)射信號(hào)波長,在本文中假設(shè)d=λ/2。發(fā)射陣元發(fā)射相互正交的波形。假設(shè)發(fā)射天線發(fā)射的基帶信號(hào)為相互正交的編碼波形,其中第m(m=1,…,M)路基帶信號(hào)為sm∈CQ×1,且滿足

式中,Q為編碼碼長;(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置。假設(shè)在雷達(dá)遠(yuǎn)場處于同一個(gè)距離元內(nèi)具有K個(gè)目標(biāo),第k(1≤k≤K)個(gè)目標(biāo)的方位為(φk,θk),其中為目標(biāo)的DOD,θk為目標(biāo)的DOA。假設(shè)收、發(fā)陣列相鄰的P+1個(gè)陣元間存在互耦效應(yīng),互耦系數(shù)分別為cr=[1,cr1,…,crP]T和ct=[1,ct1,…,ctP]T,其中0<|crP|<…

考慮MIMO雷達(dá)的一個(gè)相干處理時(shí)間(coherent processing interval,CPI)包含L個(gè)脈沖,則第l(l=1,2,…,L)個(gè)脈沖時(shí)間的接收陣列的輸出信號(hào)為

Xl=CrArdiag(bl)(CtAt)TS+Wl

(3)

(4)

(5)

2 基于實(shí)值三線性分解的聯(lián)合角度估計(jì)算法

2.1 陣列去耦合

式中,0表示元素全為0的矩陣；I表示單位矩陣;下標(biāo)均表示矩陣的維數(shù)。容易得知[21]:

(6)

(7)

2.2 實(shí)值張量模型

(8)

(9)

(10)

(11)

故通過酉變換后的向量為一個(gè)實(shí)數(shù)向量[18-21]。結(jié)合式(10)、式(11)和定義3有

(12)

上述變換后的方向矩陣中含有目標(biāo)相關(guān)信息,如果能獲得這些矩陣的估計(jì),則可進(jìn)一步獲得目標(biāo)參數(shù)的相關(guān)估計(jì)。在傳統(tǒng)基于子空間方法的角度估計(jì)算法中,往往首先將上述張量轉(zhuǎn)換為矩陣的形式,然后對(duì)矩陣進(jìn)行分解獲得目標(biāo)的信息。這些方法往往無法利用張量數(shù)據(jù)的多維結(jié)構(gòu)信息,通過張量分解的方式往往能獲得更加精確的參數(shù)估計(jì)性能?，F(xiàn)有的張量分解方法主要有兩大類:直接法(如HOSVD)和迭代法(三線性分解法)。直接法將張量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為多個(gè)子空間分解運(yùn)算,其計(jì)算復(fù)雜度往往較大,而迭代法往往通過幾次低維的迭代獲得高精度的參數(shù)估計(jì)。三線性分解又稱為平行因子分解(parallel factor decomposition,PARAFAC),是一類重要的張量分解方法,本文采用(trilinear alternate least squares,TALS)進(jìn)行張量分解,具體過程如下節(jié)所述。

2.3 TALS

(13)

式中,E1=[Er]1；E2=[Er]2；E3=[Er]3。式(13)即為三線性分解模型的矩陣表達(dá)形式[11],由于Zr中每個(gè)索引位置的元素是由3個(gè)矩陣的元素的乘積構(gòu)成,因此可認(rèn)為Zr具有3個(gè)方向。相應(yīng)地,Z1、Z2和Z3分別可被視為將張量數(shù)據(jù)Zr沿著發(fā)射方向、接收方向和脈沖方向展開而獲得的矩陣。傳統(tǒng)的子空間分解法往往僅利用了張量的數(shù)據(jù)的某一個(gè)方向展開的信息。

TALS算法是一種高效的三線性分解模算法,其采用最小二乘(least squares,LS)代價(jià)函數(shù)依次交替的擬合3個(gè)矩陣,當(dāng)擬合誤差達(dá)到預(yù)期范圍內(nèi)時(shí)算法終止。其處理本文所述三線性模型的具體步驟如下：①假設(shè)Z1、Z2和Z3中的兩個(gè)矩陣已知,采用LS的方法擬合其中的任何一個(gè)矩陣；②采用LS的方法擬合剩下的兩個(gè)矩陣；③重復(fù)①和②直到迭代次數(shù)達(dá)到預(yù)設(shè)值或擬合誤差達(dá)到預(yù)設(shè)閾值?，F(xiàn)以某次具體的迭代過程說明TALS的迭代過程,根據(jù)式(13)可知,對(duì)Atr擬合的代價(jià)函數(shù)為

(14)

式中,‖·‖F(xiàn)表示矩陣的Frobenius范數(shù)。根據(jù)式(14)易知,Atr的LS估計(jì)值為

(15)

(16)

(17)

目標(biāo)個(gè)數(shù)K往往是未知的,但是在本文中假設(shè)其為一個(gè)已知參數(shù),否則其可以利用現(xiàn)有算法進(jìn)行有效的估計(jì)[23]。由于TALS算法在更新過程中Arr、Atr及Br的誤差將得到改善或者保持不變,但是不可能增大,因而TALS總是會(huì)收斂的[24]。TALS的收斂速度與相關(guān)矩陣的初始化優(yōu)劣密切相關(guān),一般使用隨機(jī)初始化矩陣將獲得較慢的收斂速度,而使用ESPRIT算法可加快算法收斂。此外,使用一些壓縮算法可以進(jìn)一步加快算法收斂。本文在實(shí)際仿真中使用COMFAC算法[25],其主要是通過張量壓縮的方法降低迭代計(jì)算的復(fù)雜度,一般僅需若干次迭代算法便可快速收斂。

2.4 聯(lián)合DOD與DOA估計(jì)

唯一性是三線性分解的重要特征之一。定理1[26]給出了三線性分解的唯一性的條件:

kAtr+kArr+kBr≥2K+2

(18)

(19)

式中,Ω是一個(gè)列置換矩陣；N1,N2和N3分別對(duì)應(yīng)的估計(jì)誤差矩陣;Δ1,Δ2和Δ3為3個(gè)對(duì)角矩陣,其對(duì)角元素分別表示相應(yīng)的尺度因子,且其滿足Δ1Δ2Δ3=IK。

(20)

式中,Ψt=diag(gt)；Ψr=diag(gr)；gt=[gt1,gt2,…,gtK]T；gr=[gr1,gr2,…,grK]T；gtk=tan(πsinφk/2)；grk=tan(πsinθk/2),k=1,2,…,K。其他旋轉(zhuǎn)性矩陣分別為

(21)

(22)

綜上所述,現(xiàn)將本文算法的具體流程可以總結(jié)如下:

步驟1將接收數(shù)據(jù)按照式(5)排列成一個(gè)三維矩陣;

步驟2按照式(7)進(jìn)行去耦運(yùn)算,按照式(10)構(gòu)造前后平滑的數(shù)據(jù)張量Zc,進(jìn)一步按照式(11)獲得經(jīng)過酉變換的實(shí)數(shù)張量Zr;

步驟4按照式(21)獲得gtk、grk(k=1,2,…,K),并按照式(22)獲得DOD與DOA的估計(jì)值。

3 算法分析

3.1 復(fù)雜度分析

表1 各種算法復(fù)雜度的比較

3.2 可辨識(shí)度分析

3.5 算法優(yōu)勢(shì)分析

本文算法相比傳統(tǒng)算法的優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在如下幾個(gè)方面:

(1) 能有效應(yīng)對(duì)收發(fā)陣列存在互耦的場景,且無需額外的校準(zhǔn)源;

(2) 無需奇異值分解,無需譜峰搜索;

(3) 自動(dòng)匹配所估計(jì)的DOD與DOA;

(4) 三線性分解僅涉及實(shí)數(shù)運(yùn)算,計(jì)算復(fù)雜度低;

(5) 對(duì)相干源仍然適用。

4 仿真結(jié)果及分析

場景1收發(fā)陣元弱互耦干擾背景,P=1,互耦系數(shù)分別為ct=[1,0.117 4+j0.057 7],cr=[1,-0.012 1-j0.102 9];

場景2收發(fā)陣元強(qiáng)互耦干擾背景,P=2,互耦系數(shù)分別為ct=[1,0.8+j0.5,0.2+j0.1],cr=[1,0.6+j0.4,0.1-j0.3]。

圖2是在SNR=-15 dB、場景1、非相干源條件下本文算法進(jìn)行200次蒙特卡羅仿真的散點(diǎn)圖,圖3是在SNR=-10 dB、場景2、相干源(目標(biāo)一和目標(biāo)二的相干度為0.99)條件下本文算法200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)的散點(diǎn)圖?？梢钥闯?兩種仿真條件下3個(gè)目標(biāo)的可以清楚的被估計(jì)出來,并且被正確配對(duì),因而本算法對(duì)非相干源和相干源均適用。

圖2 場景1非相干源背景下本文算法估計(jì)的散點(diǎn)圖Fig.2 Scatter results of the proposed method in case I with non-coherent sources

圖3 場景2相干源背景下本文算法估計(jì)的散點(diǎn)圖Fig.3 Scatter results of the proposed method in case II with coherent sources

圖4與圖5分別為所有算法在場景1、非相干源、不同信噪比條件下所提算法RMSE和PSD性能的對(duì)比。由圖4可知,在低信噪條件下,張量算法性能較為接近,但性能均優(yōu)于ESPRIT算法。隨著信噪比增加,所有算法的性能均有所提高,但本文算法在信噪比較低時(shí)性能優(yōu)于HOSVD算法,在高信噪比條件下性能接近HOSVD。同時(shí),所提算法性能會(huì)劣于PARAFAC,這是由本文算法在最后估計(jì)過程中存在孔徑損失造成的。由圖5可知,所有算法的PSD在高信噪比時(shí)都會(huì)達(dá)到100%。隨著信噪比的降低,PSD會(huì)下降,其開始下降所對(duì)應(yīng)的信噪比位置被稱為信噪比閾值[17]?？梢钥闯?但使用了張量計(jì)算的算法信噪比閾值要低于ESPRIT。此外,所提算法的PSD性能在信噪比低于閾值時(shí)優(yōu)于HOSVD但劣于PARAFAC。

圖4 場景1非相干源條件下RMSE性能比較Fig.4 RMSE comparison in case I with non-coherent sources

圖5 場景1非相干源條件下PSD性能比較Fig.5 PSD comparison in case I with non-coherent sources

圖6與圖7分別為所有算法在場景2、非相干源、不同信噪比條件下所提算法RMSE和PSD性能的對(duì)比。對(duì)比圖4、圖5中的相關(guān)曲線可知,強(qiáng)互耦環(huán)境下相關(guān)算法的性能均有所下降。但是本文算法的RMSE性能與PSD性能仍處于HOSVD與PARAFAC之間,但仍然遠(yuǎn)優(yōu)于ESPRIT算法。考慮到本文所提算法在計(jì)算復(fù)雜度方面具有很大的優(yōu)勢(shì),因而本文所提算法可獲得估計(jì)精度和估計(jì)復(fù)雜度方面的折衷。

圖6 場景2非相干源條件下RMSE性能比較Fig.6 RMSE comparison in case II with non-coherent sources

圖7 場景2非相干源條件下PSD性能比較Fig.7 PSD comparison in case II with non-coherent sources

圖8和圖9分別為所有算法在在場景2、相干源、不同信噪比條件下所提算法RMSE和PSD性能的對(duì)比,其中第1個(gè)目標(biāo)和第2個(gè)目標(biāo)的相干度為0.99?？梢钥闯?ESPRIT算法和PARAFAC算法均不能有效的分辨出相干源,而HOSVD算法和本文算法此時(shí)均能夠有效工作。此外,本文算法在低信噪比條件下性能優(yōu)于HOSVD算法,在高信噪比條件下性能與HOSVD方法非常接近。綜合考慮到本文算法的復(fù)雜度低于HOSVD方法,本文算法要優(yōu)于HOSVD方法。

圖8 場景2相干源條件下RMSE性能比較Fig.8 RMSE comparison in case II with coherent sources

圖9 場景2相干源條件下PSD性能比較Fig.9 PSD comparison in case II with coherent sources

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于實(shí)值三線性分解的互耦條件下雙基地MIMO雷達(dá)聯(lián)合DOD與DOA估計(jì)算法。構(gòu)建了接收數(shù)據(jù)的張量模型,利用均勻陣列的中心對(duì)稱特性和酉變換構(gòu)造實(shí)值張量數(shù)據(jù)的增廣輸出,并將參數(shù)估計(jì)轉(zhuǎn)換為實(shí)值三線性分解問題。最后通過陣列旋轉(zhuǎn)不變方法估計(jì)目標(biāo)方位。所提算法能有效應(yīng)對(duì)相干源,并具有較小的計(jì)算復(fù)雜度。最后,在詳細(xì)分析算法性能的基礎(chǔ)上對(duì)算法性能進(jìn)行了仿真分析和比較。

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