由轉(zhuǎn)化與化歸談一個(gè)試題的多種解法

江蘇省啟東市匯龍中學(xué)(226200) 倪紅林

轉(zhuǎn)化與化歸思想是指在處理問題時(shí),把待解決或難解決的問題通過某種方式轉(zhuǎn)化為一類已解決或比較容易解決的問題的一種思維方式.中學(xué)數(shù)學(xué)處處都體現(xiàn)出化歸的思想,如化繁為簡、化難為易、化未知為已知、化高次為低次、化生疏為熟悉等,它是解決問題的一種最基本的思想.常見的轉(zhuǎn)化有:正與反的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、相等與不等的轉(zhuǎn)化、整體與局部的轉(zhuǎn)化、空間與平面的轉(zhuǎn)化、常量與變量的轉(zhuǎn)化、圖象語言、文字語言與符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化等.下面僅以一個(gè)試題說明,供師生參考.

例1 已知,點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足

這是一個(gè)二元線性約束條件下的目標(biāo)函數(shù)的范圍問題,直接求解較為困難,所以需利用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法,將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問題.通過對(duì)新問題的求解,從而達(dá)到解決原問題的目的.

線性規(guī)劃問題是高考的熱點(diǎn)之一,主要考查線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解、最值、含參數(shù)以及線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用,考查時(shí)可以求最優(yōu)解、最值等.通常做法是通過畫圖,用數(shù)形結(jié)合的方法解題.題目多為選擇題或填空題,多數(shù)屬容易題或中檔題,但近兩年江蘇卷涉及的都屬難題.

利用圖解法(數(shù)形結(jié)合)解線性規(guī)劃問題的一般步驟:(1)寫出可行解的不等式組,畫出可行域;

(2)建立目標(biāo)函數(shù),作出目標(biāo)函數(shù)的等值線;

(3)在可行域內(nèi)平移目標(biāo)函數(shù)等值線,確定最優(yōu)解.

常見線性規(guī)劃問題的求法:

(1)求線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的最值時(shí),可轉(zhuǎn)化為一族平行直線與可行域有交點(diǎn)時(shí),直線在y軸上截距的最值問題.

(3)求目標(biāo)函數(shù)z=(x+c)2+(y+d)2的最值時(shí),可轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)一點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(-c,-d)的距離的平方的最值.

通過以上轉(zhuǎn)化,一般都可使問題得到順利解決.

目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于x,y的一次齊次分式,因而可引導(dǎo)學(xué)生回答:在三角函數(shù)中有哪一類三角函數(shù)的求值問題與此相類似?不難發(fā)現(xiàn),在三角函數(shù)里有這樣一些問題:

已知tanα=2,計(jì)算

類比這方法,想想目標(biāo)函數(shù)能轉(zhuǎn)化為什么問題?很顯然,如果將目標(biāo)函數(shù)的分子分母同除以x,就得到與原點(diǎn)連線的斜率k有關(guān)的函數(shù),這樣原問題就轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)關(guān)于的值域問題.

解法一 作出線性區(qū)域,如圖1,

圖1

評(píng)注 (1)這個(gè)解法將線性規(guī)劃的問題轉(zhuǎn)化成了函數(shù)的值域問題.在解答的過程中需要注意的是,由于OP所在的直線的斜率可能不存在,所以要將x=0的情況進(jìn)行單獨(dú)討論,這一點(diǎn)是由解析幾何中求直線方程的啟發(fā)而來.而之后又分x＞0和x＜0兩種不同的情況,原因在于x的取值不同,k也會(huì)有不同的取值范圍,這對(duì)于z的取值范圍是有影響的.

(2)在這里,分類討論的依據(jù)在于函數(shù)中自變量的變化會(huì)影響應(yīng)變量的變化,這就體現(xiàn)了函數(shù)是一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系.通常情況下,若將一個(gè)問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題來求解,就得考察自變量與應(yīng)變量之間的內(nèi)在對(duì)應(yīng)關(guān)系.例如本方法中,要考察z與k以及k與x之間的關(guān)系,只有深入理解了這種關(guān)系,分類才能全面.

分析2 通過“化難為易”,將原問題轉(zhuǎn)化為平面向量的投影問題.

解法二 作出線性區(qū)域,如圖2.

圖2

評(píng)注 (1)向量方法的優(yōu)勢(shì)在于可以用代數(shù)方法去解決幾何問題,這在用建立坐標(biāo)系的方法來求解二面角的大小中有所體現(xiàn).試想如果用傳統(tǒng)的幾何方法來求二面角的大小,則可能會(huì)很復(fù)雜,很不易求得.但在建立了坐標(biāo)系后,由于線段的長以及線面之間的關(guān)系可以用直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)來表示,這就使得線面的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化成了數(shù)量關(guān)系,從而使問題得以化簡.

(2)回想了向量的作用后,再來看看這里的問題,可以從向量的模以及向量的數(shù)量積與直角坐標(biāo)的關(guān)系,用逆向思維的方法將目標(biāo)函數(shù)z與向量聯(lián)系起來.通過本方法的演示,可以很清楚地意識(shí)到:將有幾何特征的問題代數(shù)化,其實(shí)就是笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的初衷,也是笛卡爾的偉大之處,而線性規(guī)劃的問題是有其幾何特征的,所以應(yīng)該考察目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,為將其代數(shù)化打好基礎(chǔ).

分析3 通過“化繁為簡、數(shù)形結(jié)合”,將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題,使問題解決得十分流暢

解法三 作出線性區(qū)域如圖1.設(shè)P(x,y)是∠POX的終邊上的點(diǎn),由三角函數(shù)定義得

評(píng)注 (1)要想將這里的問題用三角函數(shù)來求解,除了對(duì)目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行仔細(xì)觀察外,更重要的是對(duì)于三角函數(shù)定義的深刻理解,而這樣的理解需要知道究竟是怎么推導(dǎo)出來的?這個(gè)推導(dǎo)過程雖然很簡單,但卻可以讓學(xué)生將目標(biāo)函數(shù)逆向同三角函數(shù)建立聯(lián)系.很多時(shí)候,一些巧妙方法的獲得其實(shí)就是深刻理解一些定義并靈活運(yùn)用,真正的數(shù)學(xué)能手往往是用最基本的定義去解決一些看似復(fù)雜的問題.深刻理解的標(biāo)準(zhǔn)是要看能否逆向運(yùn)用,這也是活學(xué)活用的一種體現(xiàn).

(2)關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想,其本質(zhì)在于將抽象的問題轉(zhuǎn)化成可視化的圖像.由于圖像直觀,有利于解答者分析問題,說明問題,并將所得的分析用數(shù)學(xué)語言描述出來.比如在這里,如果不利用數(shù)形結(jié)合的思想,則很難發(fā)現(xiàn)以及z=2sin∠POX 在上是減函數(shù).

分析4 通過“化未知為已知,數(shù)形結(jié)合”,將原問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,即轉(zhuǎn)化為直角三角形中的三角函數(shù)值問題.

在分析2中,將目標(biāo)函數(shù)看作平面向量的數(shù)量積,還能將它看作什么呢?(提示可看作平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P(x,y)到直線3x+y=0的距離的2倍,所以目標(biāo)函數(shù)z可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到直線的距離和點(diǎn)P與原點(diǎn)連線的距離的比值,由此轉(zhuǎn)化為直角三角形中三角函數(shù)值的問題.

解法四 作出線性區(qū)域如圖3.

評(píng)注 這里又不得不回過頭去想想解析幾何中關(guān)于點(diǎn)到直線的距離是怎么求解的,這又是一次逆向運(yùn)用最基本的數(shù)學(xué)定義(指的是思維方面).從方法二到方法四,我們可以看到其實(shí)這里的目標(biāo)函數(shù)的幾何意義的解讀不止一種.而這解讀的多元化,無疑需要我們對(duì)于各個(gè)學(xué)科的基本概念有深刻的理解和洞察,這恰恰體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力所在:不同數(shù)學(xué)問題之間具有內(nèi)在的深刻聯(lián)系.同時(shí),也再次體會(huì)到解析幾何方法的有效性.要知道,在幾何與代數(shù)各自獨(dú)立發(fā)展的時(shí)代,有些代數(shù)問題的求解是異常困難的(可以參考克萊因?qū)懙摹豆沤駭?shù)學(xué)思想》),本題就是一個(gè)很好的例證.如果不是將代數(shù)與幾何結(jié)合了,那么本題的解決是不太容易的,即使解法一主要用的是代數(shù)方法,其解題過程也是比較繁瑣的,不如幾何方法來得方便.

轉(zhuǎn)化是將數(shù)學(xué)命題由一種形式向另一種形式的變換過程,化歸是把要解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較易解決的問題.轉(zhuǎn)化與化歸的目的是將問題轉(zhuǎn)化為自己相對(duì)熟悉的問題,通過對(duì)新問題的求解,達(dá)到解決原問題的目的.轉(zhuǎn)化與化歸的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的思想方法,分類討論思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn).

本文通過一個(gè)數(shù)學(xué)問題的分析與求解,意在顯示轉(zhuǎn)化與化歸思想在解決數(shù)學(xué)問題中的具體作用.除此之外,還想說明一個(gè)更深層次的問題,那就是數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體,不同的數(shù)學(xué)分支之間有著很緊密的內(nèi)在聯(lián)系.這個(gè)觀點(diǎn)英國數(shù)學(xué)家阿蒂亞在他的著作《數(shù)學(xué)統(tǒng)一性》中有很精彩的論述.作為數(shù)學(xué)教育工作者,應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生用整體的觀念去看待各個(gè)數(shù)學(xué)分支,并且?guī)椭麄兩钊肜斫獠煌瑪?shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系.只有這樣,學(xué)生在遇到新問題時(shí),才能迅速找到要解決的問題與他們相對(duì)熟悉的問題之間的同構(gòu)關(guān)系.不管他們將來從事什么樣的工作,這樣的能力都是至關(guān)重要的.

其實(shí)無論是化生為熟也好,化繁為簡也罷,都是在做這么一件事情,那就是將表面上復(fù)雜繁瑣的問題映射成簡單易處理的問題,這樣的思想在整個(gè)理工科世界中都是普世價(jià)值,因?yàn)檎胬砜偸呛唵味羁痰?而復(fù)雜僅僅是表象而已.以上是本人在教學(xué)過程中對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的一點(diǎn)淺見,不妥之處在所難免,望同行們能批評(píng)指正.

練習(xí)解析 聯(lián)想平面上點(diǎn)P(x0,y0)到直線L:Ax+By+C=0的距離為

將S轉(zhuǎn)化為d.