例談多面體三視圖的還原策略

廣東省東莞中學(xué)(523005) 于濤

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)里,我們有兩種用平面圖形表示立體圖形的方法—直觀圖和三視圖.其中,三視圖可明確表達(dá)立體圖形的長(zhǎng)度、高度和寬度.但是,要想反映幾何體的空間結(jié)構(gòu)與關(guān)系,我們則需要根據(jù)三視圖推演出立體圖形的直觀圖,同時(shí),三視圖的還原問(wèn)題亦是培養(yǎng)學(xué)生空間想象力和邏輯思維能力的有效手段,所以,它也是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一.高三復(fù)習(xí)中,學(xué)生對(duì)多面體相關(guān)的三視圖還原問(wèn)題較為懼怕.僅僅依靠空間想象力,很難快速并準(zhǔn)確地解決三視圖還原問(wèn)題.因此,本文試圖提供一種多面體三視圖還原的有效方法和策略.

1.高考真題,情境再現(xiàn)

題目 (2014年高考全國(guó)新課標(biāo)I卷理科第12題)如圖1,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中,最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為( )

圖1

圖2

這個(gè)題目的幾何體是三棱錐,但是從擺放位置來(lái)看,只有一個(gè)頂點(diǎn)落在“底面”支撐圖形.從構(gòu)題角度來(lái)講,是將原有多面體進(jìn)行了巧妙地翻轉(zhuǎn),正是這一翻轉(zhuǎn)增大了三視圖還原的難度.

學(xué)生在完成該三視圖還原時(shí),不僅耗時(shí)長(zhǎng),而且準(zhǔn)確率低.面對(duì)不是三棱錐的多面體翻轉(zhuǎn)之后形成的三視圖還原問(wèn)題,更是難上加難,這不得不讓我們要好好的思考該如何推動(dòng)學(xué)生思維的發(fā)展,突破三視圖還原的難點(diǎn).

2.策略提煉,多維實(shí)踐

2.1 三視圖還原策略的整體結(jié)構(gòu)

三視圖是立體圖形在不同方向上的投影,投影過(guò)程中遵循的對(duì)應(yīng)關(guān)系均是點(diǎn)、線、面間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,立體圖形中的每一個(gè)面并不一定真實(shí)可見(jiàn).考慮到幾何體的形成要素是點(diǎn)、線、面,類比于立體幾何公理2(過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面)及其推論確定平面的方式,要想迅速解決三視圖的問(wèn)題,我們把確定幾何體的過(guò)程分為三大環(huán)節(jié):

(1)通過(guò)定性分析,明確幾何體落入的載體;

(2)通過(guò)定量分析,明確形成幾何體的幾何要素(點(diǎn)、線、面);

(3)成圖檢驗(yàn).

根據(jù)三視圖對(duì)幾何體進(jìn)行定性和定量分析的實(shí)施過(guò)程如下:通過(guò)三視圖對(duì)幾何體進(jìn)行定性分析,判斷幾何體是不是錐體;若是錐體,則對(duì)錐體進(jìn)行點(diǎn)(頂點(diǎn))、面(底面)的定量分析;若不是錐體,則再次對(duì)幾何體進(jìn)行定性分析,明確幾何體落入的最小載體或載體(載體一般以長(zhǎng)方體、棱柱較為多見(jiàn)),針對(duì)最小載體,則通過(guò)在載體表面畫線(棱)的方式進(jìn)行定量分析;針對(duì)一般載體,則通過(guò)刪除不需要的點(diǎn)或增加需要的點(diǎn)的方式進(jìn)行定量分析.該實(shí)施過(guò)程體現(xiàn)了三視圖還原的邏輯結(jié)構(gòu),如下圖3所示:

圖3

上述三視圖還原策略的邏輯結(jié)構(gòu)中,共有3種解題方法,不同方法的定量分析遵循了3種幾何要素確定幾何體的原則:(1)錐體可以由頂點(diǎn)(點(diǎn))和底面(面)確定;(2)多面體可以由外表面的棱(線)確定;(3)多面體可以由各頂點(diǎn)(點(diǎn))確定.

2.2 三視圖還原策略的三種實(shí)施方法

2014年高考全國(guó)新課標(biāo)I卷理科數(shù)學(xué)第12題的三視圖還原問(wèn)題具有典型性,解題策略中的三種方法均可解決該問(wèn)題,具體過(guò)程如下.

方法1由幾何要素點(diǎn)(頂點(diǎn))、面(底面)確定錐體

定性分析:①判斷幾何體是不是錐體(方法1的判斷結(jié)果為“是錐體”);

定量分析:②明確頂點(diǎn)位置及相應(yīng)底面位置;

成圖檢驗(yàn):③連接頂點(diǎn)與底面各頂點(diǎn)成圖,④檢驗(yàn).

圖4-1

圖4-2

圖4-3

具體實(shí)施步驟:

(1)如圖1,根據(jù)俯視圖和側(cè)視圖明確該幾何體是錐體,明確頂點(diǎn)D的位置,如圖4-1所示;

(2)根據(jù)正視圖及側(cè)視圖明確與頂點(diǎn)D相對(duì)應(yīng)的底面ABC的位置,如圖4-2所示;

(3)分別連接 DA、DB、DC,明確幾何體為錐體D-ABC,如圖4-3所示;

(4)檢驗(yàn)幾何體D-ABC的三視圖與題目相符.

該方法主要應(yīng)用于錐體的還原,非錐體應(yīng)用該方法較為困難,有一定的局限性.方法1的實(shí)施還可以由正視圖和俯視圖確定頂點(diǎn),側(cè)視圖確定底面形成幾何體.

方法2由幾何要素線(棱)確定多面體

定性分析:①判斷幾何體是不是錐體(方法2的判斷結(jié)果為“不明確是錐體”);②根據(jù)三視圖中較簡(jiǎn)單的視圖確定幾何體落入的最小載體;

定量分析:③根據(jù)正視圖前實(shí)后虛,俯視圖上實(shí)下虛,側(cè)視圖左實(shí)右虛的原則在載體的前、后、上、下、左、右依次劃線(線條將會(huì)自動(dòng)連成封閉圖形,將載體切割成幾部分);

成圖檢驗(yàn):④明確幾何體并檢驗(yàn).

圖5-1

圖5-2

圖5-3

具體實(shí)施步驟:

(1)如圖1,不明確是錐體;

(2)俯視圖和側(cè)視圖都較為簡(jiǎn)單,均可將幾何體放入相應(yīng)三棱柱,根據(jù)視角,選擇拉伸俯視圖,明確幾何體落入的最小載體是三棱柱ABC-A1B1C1,如圖5-1所示;

(3)根據(jù)正視圖中的兩條斜線,配合側(cè)視圖,在載體前面畫線A1D、后面畫線A1B,如圖5-2所示;

(4)根據(jù)側(cè)視圖,配合正視圖,載體左面線條與A1D重合,在右面畫線B1D、BD,如圖5-3所示;

(5)載體恰好被連成的封閉圖形分成了三個(gè)部分,根據(jù)三視圖明確幾何體為中間部分的錐體D-ABC(包含檢驗(yàn)).

方法2的實(shí)施體現(xiàn)了由線(棱)形成幾何體的過(guò)程,實(shí)施過(guò)程中三個(gè)視圖依次畫線,通過(guò)用俯視圖明確最小載體,用正視圖和側(cè)視圖在載體上畫線,進(jìn)而切割載體,實(shí)現(xiàn)了幾何體的還原.方法2還可以用側(cè)視圖確定最小載體(若用該三棱柱做最小載體,不妨用正方體襯托該三棱柱),用正視圖和俯視圖畫線切割載體.

方法3由幾何要素點(diǎn)(頂點(diǎn))確定多面體

定性分析:①判斷幾何體是不是錐體(方法3的判斷結(jié)果為“不明確是錐體”);②根據(jù)三視圖中較簡(jiǎn)單的視圖確定幾何體落入的載體(可以是最小載體,也可不是);

定量分析:③依次根據(jù)正、俯、側(cè)視圖刪除載體中不需要的點(diǎn)或增加一些需要的點(diǎn);

成圖檢驗(yàn):④連線成圖并檢驗(yàn).

圖6-1

圖6-2

圖6-3

圖6-4

圖6-5

圖6-6

具體實(shí)施步驟:

(1)如圖1,不明確是錐體;

(2)確定正方體ABCD-A1B1C1D1為載體,如圖6-1所示;

(3)根據(jù)正視圖,刪除點(diǎn)A、D;配合俯視圖和側(cè)視圖增加點(diǎn)E,如圖6-2所示;

(4)根據(jù)俯視圖,刪除點(diǎn)A1,如圖6-3所示;

(5)根據(jù)側(cè)視圖,刪除點(diǎn)B、B1,如圖6-4所示;

(6)根據(jù)前5步,明確載體上剩余的點(diǎn)為E、C、C1、D1,如圖6-5所示;

(7)連線成圖并檢驗(yàn),明確幾何體為棱錐E-CC1D1,如圖6-6所示.

方法3的實(shí)施也可以與方法2的定性分析一致,明確幾何體落入的最小載體,在最小載體上進(jìn)行刪除點(diǎn)或增加點(diǎn).

三種方法的應(yīng)用范圍與方式不同.方法1僅對(duì)錐體的還原有優(yōu)勢(shì),適用范圍有局限性;方法2的應(yīng)用對(duì)載體要求較高,需要明確最小載體,對(duì)切割形成的幾何體尤為適用;方法3的應(yīng)用對(duì)載體要求不高,具備較高的普適性,當(dāng)視圖線條較多,不容易明確需要?jiǎng)h除的點(diǎn)和增加的點(diǎn)時(shí),可選擇方法2.三種解題方法的有機(jī)結(jié)合形成了三視圖還原一般解題策略的邏輯結(jié)構(gòu),反映了多面體三視圖還原過(guò)程中思維自動(dòng)化的路徑,便于找到不同三視圖還原題目的最優(yōu)解決方式.

3.舉一反三,觸類旁通

三視圖考查方式主要以選擇填空為主,設(shè)問(wèn)多為還原幾何體后求體積、表面積、最大面面積、最長(zhǎng)棱長(zhǎng)等.不論哪種設(shè)問(wèn)方式,還原幾何體是核心,因此所選三個(gè)例題設(shè)問(wèn)均為求體積.除了能應(yīng)用三視圖還原的策略,還能體現(xiàn)該策略中“載體”的優(yōu)越性,利用載體求體積正是求體積常見(jiàn)方法“割形補(bǔ)形”中的補(bǔ)形.

例1已知某幾何體的三視圖如圖7所示,則該幾何體的體積為( )

A.2 B.4 C.6 D.12

圖7

圖8

例2已知某幾何體的三視圖如圖8所示,則該幾何體的體積為( )

例3已知某幾何體的三視圖如圖9所示,則該幾何體的體積為( )

圖9

觀察三個(gè)例題的三視圖,通過(guò)定性分析可判斷例1中的幾何體為錐體,應(yīng)用策略中的方法1;例2、例3的幾何體不明確,考慮方法2或3;根據(jù)圖8三個(gè)視圖都有正方形且線條較多,應(yīng)用策略中的方法2;根據(jù)圖9三個(gè)視圖的形狀,通過(guò)不同視角較容易刪除不需要的點(diǎn),應(yīng)用策略中的方法3.

4.舉重若輕,返璞歸真

學(xué)生在通過(guò)學(xué)習(xí)立體幾何培養(yǎng)空間想象能力的過(guò)程中,最先接觸到的是正方體,然后便是棱柱.在應(yīng)對(duì)三視圖還原問(wèn)題時(shí),為了化解思維難點(diǎn),以學(xué)生最為熟悉的幾何體(正方體、棱柱)為載體,再進(jìn)行幾何要素的定量分析.這樣的方式符合學(xué)生思維發(fā)展的規(guī)律,大大減少了分析三視圖還原問(wèn)題的思維量,提高了解題效率.無(wú)論是知識(shí)教學(xué)還是解題教學(xué),我們需要關(guān)注學(xué)生思維發(fā)展的最近發(fā)展區(qū),從已有知識(shí),從最熟悉的知識(shí)出發(fā),定能更好地幫助學(xué)生突破難點(diǎn),推動(dòng)學(xué)生思維的發(fā)展,實(shí)乃舉重若輕,返璞歸真！