圓來(lái)如此—魅力阿波羅尼圓

甘肅省秦安縣第二中學(xué)(741600) 羅文軍

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)λ(λ/=1)的點(diǎn)的軌跡是圓,這個(gè)圓就是阿波羅尼圓.阿波羅尼是古希臘數(shù)學(xué)家,阿波羅尼與阿基米德、歐幾里德齊名,被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠.阿波羅尼對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究,他的代表作有《圓錐曲線》一書(shū),其研究成果之一為阿波羅尼圓.在近十年的高考中,以阿波羅尼圓為背景的高考數(shù)學(xué)試題多達(dá)13道,可以說(shuō)阿波羅尼圓與高考有不解之緣.

以下先來(lái)探究阿波羅尼圓的一般方程:

題目 (阿波羅尼圓)已知點(diǎn)M(x,y)與兩個(gè)定點(diǎn)A,B距離比是一個(gè)正數(shù)λ(λ＞0且λ/=1),求點(diǎn)M 的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是什么圖形.

解析 設(shè)AB的長(zhǎng)為2a,以線段AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,則A(-a,0),B(a,0),由,整理得,(1-λ2)x2+(1- λ2)y2+2a(1+ λ2)x+a2(1- λ2)=0,當(dāng)λ＞0且λ/=1時(shí),配方整理得,

典型例題

例1(2014年湖北文科第17題)已知圓O:x2+y2=1和點(diǎn)A(-2,0),若定點(diǎn)B(b,0)(b/=-2)和常數(shù)λ滿足:對(duì)圓O上任意一點(diǎn)M,都有|MB|=λ|MA|,則

(1)b=; (2)λ=.

解析 設(shè)點(diǎn)M(x,y),由|MB|=λ|MA|得,

整理得

(λ2-1)x2+(λ2-1)y2+(4λ2+2b)x-b2+4λ2=0,因?yàn)閷?duì)圓O上任意一點(diǎn)M,都有|MB|=λ|MA|,所以

點(diǎn)評(píng) 本題以阿波羅尼圓為背景,考查了求曲線軌跡方程的思想方法.

圖1

解析 因?yàn)锳B=2(定長(zhǎng)),以AB所在直線為x軸,線段AB垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),B(1,0),設(shè)C(x,y),由AC=BC,可得

化簡(jiǎn)得(x-3)2+y2=8,即C在以(3,0)為圓心,2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).于是,

評(píng)注 本題是一道解三角形試題,一般的思路是利用余項(xiàng)定理,再利用面積公式,最后轉(zhuǎn)化成求最值問(wèn)題.本解法建系后,化歸為阿波羅尼圓問(wèn)題,令人耳目一新.

例3(2000年四川理科第6題)已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0)如果動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PA|=2|PB|,則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于( )

A. π B.4π C.8π D.9π

評(píng)注 本題主要考查阿波羅尼圓的求軌跡問(wèn)題,也考查了圓的面積公式.

例4(2013年江蘇高考第17題)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y=2x-4.設(shè)圓的半徑為1,圓心在l上.

(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程;

(2)若圓C上存在點(diǎn)M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

圖2

解析 (1)由題設(shè),圓心C是直線y=2x-4和y=x-1的交點(diǎn),解得點(diǎn)C(3,2),于是切線的斜率必存在.

設(shè)過(guò)點(diǎn)A(0,3)的圓C的切線方程為y=kx+3.由題意,得故所求切線方程為y=3或3x+4y-12=0.

(2)因?yàn)閳A心在直線y=2x-4上,所以圓C的方程為(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.設(shè)點(diǎn)M(x,y),因?yàn)榛?jiǎn)得x2+(y+1)2=4.所以點(diǎn)M在以D(0,-1)為圓心,2為半徑的圓上.由題意,點(diǎn)M(x,y)在圓C上,所以圓C與圓D有公共點(diǎn),則|2-1|≤CD≤2+1,即整理得,-8≤5a2-12a≤0,由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為

評(píng)注 本題第(2)問(wèn)以阿波羅尼圓為背景,考查圓與圓的位置關(guān)系,也考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化能力.

阿波羅尼圓在近十年高考中,出了十幾道題,常考常新,阿波羅尼圓的魅力,體現(xiàn)得淋漓盡致,試題的設(shè)計(jì)以數(shù)學(xué)歷史上的名題為基礎(chǔ),顯示出數(shù)學(xué)文化在選拔性考試中獨(dú)特的“點(diǎn)石成金”的作用.在教材中也有阿波羅尼圓的習(xí)題.

習(xí)題 (新課標(biāo)人教A版習(xí)題4.1B組第3題)已知點(diǎn)M(x,y)與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0),A(3,0),距離之比為,求點(diǎn)M的軌跡方程.

由此我們可以看出,雖然高考很神圣,高考試題很神秘,但掀開(kāi)這層面紗不難發(fā)現(xiàn),它不那么神奇,事實(shí)上上述高考題源于教材中的例題和習(xí)題,在平時(shí)的教學(xué)或?qū)W習(xí)中,我們應(yīng)該注重挖掘,了解一些題目及結(jié)論產(chǎn)生的背景和應(yīng)用,體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

練習(xí)1(2008年四川卷理科第12題)設(shè)拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)K,點(diǎn)A在C上且|AK|=2|AF|,則△AFK的面積為()

A.4 B.8 C.16 D.32

圖3

解析 y2=8x的焦點(diǎn)F(2,0),準(zhǔn)線x=-2,K(-2,0).設(shè)化簡(jiǎn)得:y2=-x2+12x-4,與y2=8x聯(lián)立求解,解得:x=2,y=±4.

故選B.

練習(xí)2已知點(diǎn)O(0,0),M(1,0),且圓C:(x-5)2+(y-4)2=r2(r＞0)上至少存在一點(diǎn)P,使得|PO|=|PM|,則r的最小值是.

評(píng)注 本題以阿波羅尼圓為背景,考查圓與圓的位置關(guān)系.

練習(xí)3(2015年湖北理科第14題)如圖4,圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方),且|AB|=2.

(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)過(guò)點(diǎn)A任作一條直線與圓O:x2+y2=1相交于M,N兩點(diǎn),下列三個(gè)結(jié)論:

其中正確結(jié)論的序號(hào)是(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)).

圖4

解析 設(shè)M坐標(biāo)為(x,y),圓C:(x-1)2+(y-2=2.則A

故(1),(2),(3)皆成立.

評(píng)注 由上述解法不難發(fā)現(xiàn),圓O上任一點(diǎn)P都滿也就是說(shuō)到兩定點(diǎn)距離之比為定值λ(λ＞0且λ/=1)的軌跡為一圓,即本題以阿波羅尼圓為背景,考查曲線的軌跡問(wèn)題.

練習(xí)4 如圖5,圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方),且|AB|=2.若動(dòng)點(diǎn)P滿足點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動(dòng),求|PQ|的最大值.

圖5

評(píng)注 本題以“阿波羅尼斯圓”為背景,直接考查曲線的軌跡問(wèn)題.

練習(xí)5 已知圓O:x2+y2=1與y軸正半軸交點(diǎn)為A,是否存在一定點(diǎn)B,使得圓O上任一點(diǎn)P,都有成立?若存在,求出B的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解得x0=0,y0=1+2,故存在定點(diǎn)B(0,1+2)滿足條件.

評(píng)注 本題以阿波羅尼圓為背景,考查定點(diǎn)定值問(wèn)題.一般地,對(duì)于一個(gè)確定的阿波羅尼圓,已知其中一定點(diǎn),可唯一確定另一定點(diǎn).

練習(xí)6 如圖6,圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方),且|AB|=2.圓O:x2+y2=1與y軸正半軸交于點(diǎn)D,P為圓O:x2+y2=1上任意一點(diǎn),求證:PD始終平分∠APB.

圖6

由D(0,1),平分線定理知PD始終平分∠APB.

評(píng)注 本題以阿波羅尼圓為背景,考查特殊的位置關(guān)系.一般地,以A、B為基點(diǎn)的阿波羅尼圓中,設(shè)圓與線段AB交于D,連結(jié)PD,則PD始終平分∠APB.