具體函數(shù)條件下的函數(shù)不等式問題

云南省玉溪第一中學(xué)(653100) 武增明

函數(shù)不等式是指帶有函數(shù)符號“f”的不等式.具體函數(shù)條件下的函數(shù)不等式問題,往往具有靈活性、技巧性、綜合性、隱蔽性等特點,加之解決這類問題時,要求學(xué)生基礎(chǔ)知識扎實,綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力比較高.因此,大多數(shù)學(xué)生在解決這類問題時,感到束手無策,無所適從.為此,筆者以近幾年高考試卷和競賽試卷以及復(fù)習(xí)資料中出現(xiàn)的、一類典型的具體函數(shù)條件下的函數(shù)不等式問題為例,認真分析和總結(jié)了幾種解決這一類問題的常用方法,以期對大家有所幫助.

1.f(△)±f(?)＞ 0型

解函數(shù)不等式,要想方設(shè)法把隱性化為顯性的不等式求解.這需要做好兩件事:一是利用函數(shù)的奇偶性把原不等式轉(zhuǎn)化為f(△)＞f(?)的模型;二是要判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.然后,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)不等式中的函數(shù)符號“f”去掉,得到具體的不等式(組)來求解.

例1 (2017年高考江蘇卷第11題)已知函數(shù)f(x)=,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若f(a-1)+f(2a2)≤0,則實數(shù)a的取值范圍是.

解析 因為函數(shù)f(x)的定義域為R,所以函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱;又由f(x)=,得f(-x)=-x3+2x+-ex=-f(x),故f(x)是R上的奇函數(shù).因為

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立,所以函數(shù)f(x)在其定義域R內(nèi)單調(diào)遞增.從而不等式

f(a-1)+f(2a2)≤0?f(a-1)≤-f(2a2)

?f(a-1)≤f(-2a2)?a-1≤-2a2?-1≤a故實數(shù)a的取值范圍是[-1

評注 看到此題,第一個思維反映是去判斷函數(shù)f(x)的奇偶性和單調(diào)性.這是解決此類型問題的常規(guī)思路.

解析 易判斷f(x)是區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)遞增的奇函數(shù).由f(-x)=-f(x),即-f(x)=f(-x),可把原不等式化為f(x-1)＜f(-x).所以,由函數(shù)f(x)的單調(diào)性知解得0＜

評注 在把 “f”脫掉的時候,我們已經(jīng)默認了x-1,-x∈(-1,1),也就是我們已經(jīng)注意到函數(shù)f(x)的定義域為(-1,1),要保證表達式的每一部分都要有意義,因此,由函數(shù)的單調(diào)性把“f”脫掉時,不能漏掉x-1,-x∈(-1,1)這一個隱含條件,否則就錯了.

2.f(△)＞ a型

依題意,先使原函數(shù)不等式f(△)＞ a中的常數(shù)a穿上函數(shù)符號“f”,然后把原不等式f(△)＞ a轉(zhuǎn)化為f(△)＞f(?)模型,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性脫掉“f”.

評注 穿上“f”的目的是脫掉所有“f”,這是解答此類問題的一大策略.用其他常規(guī)方法非常難求解,甚至解答不出來.

3.f(△)＞ af(?)型

根據(jù)已知函數(shù)f(x)的解析式的結(jié)構(gòu)特征,設(shè)法把符號“f”外的常數(shù)a與符號“f”內(nèi)的“?”同穿一個符號“f”,使原不等式f(△)＞af(?)轉(zhuǎn)化為f(△)＞f(?)的模型,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性脫掉“f”,問題得解.

例4(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽B卷第1試第7題)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時,f(x)=x2.若對任意的x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是.

即

評注 (1)類型3的難度要比類型1和類型2大一些,但是,其解答思路相通,都是把原不等式轉(zhuǎn)化為f(△)＞f(?)模型,然后根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性脫掉“f”.

(2)此題是陳唐明老師的文[1]中的例3.

4.f(△)±f(?)＞ a型

根據(jù)已知函數(shù)f(x)的解析式,討論自變量x的取值范圍,把函數(shù)不等式f(△)±f(?)＞a轉(zhuǎn)化為具體不等式求解.

評注 解決此類型問題的關(guān)鍵是根據(jù)自變量的取值范圍選取相應(yīng)的函數(shù),明確自變量對應(yīng)的解析式,然后代入求解.

由上面的幾例可知,對于求解具體函數(shù)條件下的函數(shù)不等式問題,往往需綜合應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、定義域及值域等知識.以上列舉了4種具體函數(shù)條件下的函數(shù)不等式問題的探究策略,若能掌握這4種策略,可以說,解決這類問題就沒有問題了.

[1]陳唐明.妙用性質(zhì)靈活解題[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2011(2)(上).