力電混合系統(tǒng)的拉格朗日方程

成 實(shí) 張雅男 雷 勇

(南京信息工程大學(xué)物理與光電工程學(xué)院， 江蘇 南京 210044)

物理學(xué)的發(fā)展史似乎總是遵循著“將分散的規(guī)律統(tǒng)一到一個(gè)整體的理論系統(tǒng)中，使各個(gè)規(guī)律在系統(tǒng)中處于恰當(dāng)?shù)奈恢煤蛯哟蝃1]”這樣的思路。現(xiàn)今工程技術(shù)領(lǐng)域發(fā)展極其迅猛，它是為解決生產(chǎn)生活中的具體問(wèn)題而發(fā)展起來(lái)的；而物理學(xué)的目的是尋找現(xiàn)象和問(wèn)題背后的普遍規(guī)律，將它們納入一個(gè)統(tǒng)一的框架中去。本文描述了力學(xué)量和電學(xué)元件在性質(zhì)上的相似性，系統(tǒng)地建立起其對(duì)應(yīng)關(guān)系；進(jìn)而對(duì)包含電阻，電容和電感的力電混合系統(tǒng)，構(gòu)造出普遍方程，最終試圖解釋這種相似性的物理本質(zhì)，給出普遍方程的實(shí)用價(jià)值。

在力學(xué)中，物體傾向保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的固有屬性稱為慣性。慣性表現(xiàn)為物體對(duì)外界的反抗：物體以某個(gè)速度運(yùn)動(dòng)，就會(huì)保持這個(gè)速度而不易改變，它的大小用慣性質(zhì)量衡量；同樣，電學(xué)中有一種電學(xué)元件——電感器，其特性為：當(dāng)電流通過(guò)電感時(shí)，就傾向于保持不變，這與慣性非常相似[2]。

圖1 單自由度阻尼諧振子

為了更好地說(shuō)明力學(xué)系統(tǒng)的慣性與電學(xué)系統(tǒng)的慣性之間的關(guān)系，我們用圖1展示的單自由度阻尼諧振子強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)[3]進(jìn)行分析。質(zhì)量為M的物體上端用一個(gè)彈性系數(shù)為k的彈簧連接到天花板上，下端通過(guò)細(xì)棒連有一活塞(二者質(zhì)量均可忽略)?；钊谘b有粘性液體的容器中，容器置于地面。設(shè)外界施加給物塊一個(gè)作用力F(t)，物塊受到與彈簧的形變成正比的彈力Fk=kx；與活塞的速度成正比的阻尼力FD=DV(活塞與容器壁間發(fā)生粘性摩擦，阻尼力與速度成正比)以及外力F(t)。在這3個(gè)力的共同作用下，物塊做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。取彈簧原長(zhǎng)處為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

(1)

式中，x為物體的位移及彈簧的形變;D和V分別為活塞粘性摩擦的阻尼系數(shù)和速度。

用于分析比較的電學(xué)系統(tǒng)如圖2、圖3所示，分別為串聯(lián)和并聯(lián)LRC電路。L、R、C分別表示電路中的線圈的電感、電阻和電容器的電容。外加電壓為U(t)，根據(jù)基爾霍夫電路定律,依次列出兩個(gè)電路的電路方程

圖2 LRC串聯(lián)電路

圖3 LRC并聯(lián)電路

I為串聯(lián)電路(圖2)中的電流，Q為通過(guò)回路的電荷；I(t)和φ分別為并聯(lián)電路(圖3)中的干路電流和電感線圈的磁通。通過(guò)對(duì)比可以看出，式(1)、(2)、(3)在數(shù)學(xué)形式上是相似的。

上述3個(gè)方程分別描述的是運(yùn)動(dòng)學(xué)系統(tǒng)和電路系統(tǒng)，但在數(shù)學(xué)形式上是完全等價(jià)的。它們都對(duì)應(yīng)于同一個(gè)二階線性常系數(shù)微分方程，而求解方程的數(shù)學(xué)過(guò)程并不依賴于方程所表示的物理系統(tǒng)。因此，同一類型數(shù)學(xué)方程描述的自然可以是不同的物理系統(tǒng)。

表1給出的慣性質(zhì)量、阻尼系數(shù)和彈性柔度是平動(dòng)的力學(xué)系統(tǒng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中也可以找到相似的對(duì)應(yīng)關(guān)系(如表2所示)。可以證明，按表2的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也可寫出轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)相應(yīng)物理量的表達(dá)式。由此我們得到結(jié)論：對(duì)于一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)，可以用一個(gè)串聯(lián)或并聯(lián)電路模擬其規(guī)律；而一個(gè)電學(xué)系統(tǒng)，可以構(gòu)造一個(gè)平動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，差異只是在方程中相同位置處所用的物理符號(hào)。

表1 平動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)與電學(xué)系統(tǒng)物理量對(duì)應(yīng)關(guān)系

表2 平動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)與轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)物理量對(duì)應(yīng)關(guān)系

我們?cè)噲D從分析力學(xué)的角度，把靜態(tài)平衡條件考慮到牛頓第二定律中去，形式上稍作改變，便可得到達(dá)朗貝爾表達(dá)式

FM+F慣+FD+Fλ=0

(4)

采用分析力學(xué)方法去處理圖4所示LRC串并聯(lián)電路[5]，根據(jù)表1的對(duì)應(yīng)關(guān)系，取C1存儲(chǔ)的電荷Q1和L2的磁通φ2作為廣義坐標(biāo)，則

動(dòng)能:

(5)

勢(shì)能：

(6)

圖4 LRC串并聯(lián)電路

它的拉格朗日函數(shù)為

(7)

定義耗散函數(shù)

(8)

(9)

(10)

化簡(jiǎn)移項(xiàng)得

式(11)、(12)正是電路中的基爾霍夫定律。對(duì)比式(4)，可以將基爾霍夫電路定律看成為力學(xué)中達(dá)朗貝爾原理的變形。誠(chéng)然，上述力學(xué)電路系統(tǒng)的相互模擬只以簡(jiǎn)單的系統(tǒng)為例，但可以證明，復(fù)雜系統(tǒng)也可以由這種簡(jiǎn)單系統(tǒng)復(fù)合而成。

力學(xué)元件的機(jī)械運(yùn)動(dòng)服從動(dòng)力學(xué)基本規(guī)律，電磁元件的電磁運(yùn)動(dòng)則遵循電磁學(xué)規(guī)律。電磁運(yùn)動(dòng)可產(chǎn)生作用力，而機(jī)械運(yùn)動(dòng)可影響電荷和磁場(chǎng)的分布。兩個(gè)系統(tǒng)的相似性并不僅僅因?yàn)槭?1)、(2)、(3)在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上的相似，背后的物理原因在于兩類運(yùn)動(dòng)都服從能量轉(zhuǎn)換的普遍規(guī)律，從能量的觀點(diǎn)出發(fā)，可以聯(lián)合描述機(jī)械運(yùn)動(dòng)的拉格朗日方程與描述電磁運(yùn)動(dòng)的麥克斯韋方程，建立力―電系統(tǒng)的統(tǒng)一方程[6]。

(13)

其中，

式中，ik為電路中電流；ψe定義為電磁耗散函數(shù)。

(19)

因?yàn)槟芰渴睾?，輸入混合系統(tǒng)的電功率必定等于電磁場(chǎng)能量的變化率，電阻耗散功率以及電磁力所做的機(jī)械功率，據(jù)此得到

(20)

(21)

(22)

總耗散函數(shù)ψ則為機(jī)械耗散函數(shù)和電磁耗散函數(shù)的和，定義混合系統(tǒng)的廣義拉格朗日函數(shù)

(23)

則式(22)可以寫成

(24)

至此，便構(gòu)造出了一個(gè)統(tǒng)一描述力學(xué)-電磁學(xué)框架的方程。

日常生活中，動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象隨處可見，因此，人們會(huì)本能地將物理現(xiàn)象的本質(zhì)歸結(jié)為背后的動(dòng)力學(xué)原因, 而在經(jīng)典物理學(xué)的范疇里，也確能給能量轉(zhuǎn)化與守恒一個(gè)較為全面的動(dòng)力學(xué)解釋。本文式(24)所給出的力學(xué)-電磁學(xué)方程，僅僅從能量方面討論，并沒(méi)有觸及經(jīng)典理論描述下的動(dòng)力學(xué)本質(zhì)。我們?cè)噲D將這種相似性推廣到整個(gè)電動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域，“更深層次”地挖掘內(nèi)在的聯(lián)系。

力學(xué)研究的基本對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)，電磁學(xué)研究的基本對(duì)象則是運(yùn)動(dòng)的電荷；力學(xué)的基本定律無(wú)須贅述，而電磁學(xué)中處于同樣地位的麥克斯韋方程組卻頗為抽象。雖然輔以適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件后，麥克斯韋方程組的4個(gè)矢量式可以包含經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的全部?jī)?nèi)容，但卻與我們熟悉的以力學(xué)形式表述的動(dòng)力學(xué)定律大相徑庭，根據(jù)前文推導(dǎo)可以得到統(tǒng)一描述力學(xué)-電磁學(xué)框架的方程，那是否存在一種經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的完備動(dòng)力學(xué)描述呢?

答案是肯定的。任一電荷在磁場(chǎng)及電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，受力可表示為F=q(E+×B)；更重要的，來(lái)自所有其他電荷產(chǎn)生的場(chǎng)力都可以由式中的矢量E和B疊加而成，即電磁場(chǎng)滿足疊加原理。既然一切電磁現(xiàn)象從微觀上都是眾多電荷的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，如果清楚一個(gè)運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生的E和B的普遍規(guī)律，就可以根據(jù)疊加原理求出電動(dòng)力學(xué)所研究的任意物理量了。費(fèi)曼物理學(xué)講義給出了由單個(gè)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的規(guī)律[7]：

(25)

上式電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算式后兩項(xiàng)是因?yàn)橐紤]延時(shí)效應(yīng)而對(duì)庫(kù)侖定律的修正。上式說(shuō)明以單個(gè)電荷來(lái)描述電場(chǎng)和磁場(chǎng)是非常復(fù)雜的。而宏觀的電場(chǎng)和磁場(chǎng)又是由不計(jì)其數(shù)的運(yùn)動(dòng)電荷疊加而成，可以設(shè)想，用分析力學(xué)來(lái)描述基于各電荷間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)力，從而建立整個(gè)電動(dòng)力學(xué)，這樣的思路對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，并不容易理解。

本文試圖從力學(xué)系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)和電磁學(xué)系統(tǒng)中電荷分別滿足的動(dòng)力學(xué)定律中探討本文所述兩者的相似性似乎有點(diǎn)困難，但我們嘗試給出一種解釋: 對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，重要的是系統(tǒng)如何響應(yīng)外界給出的激勵(lì)。由于電阻兩端電壓與通過(guò)的電流成正比，因此它是一種線性關(guān)系；同樣由于胡克定律的存在，振動(dòng)的彈簧也是如此。用系統(tǒng)分析的觀點(diǎn)來(lái)看，一個(gè)系統(tǒng)為線性的必要條件是疊加原理有效：多個(gè)激勵(lì)給出的總效果可以通過(guò)單個(gè)激勵(lì)效果的和得到。力的作用當(dāng)然滿足疊加原理，正如前文提到的，電磁場(chǎng)的作用也滿足疊加原理。我們猜測(cè)這正是這種系統(tǒng)對(duì)外界激勵(lì)的“線性響應(yīng)”造成了這種相似性，也正是如此，才得以構(gòu)造出統(tǒng)一描述力學(xué)-電磁學(xué)系統(tǒng)的拉格朗日方程。

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