鏈條桌邊下落問題的探究

陳 思 李巖松

(1清華大學(xué)機(jī)械學(xué)院汽車工程系，北京 100084； 2清華大學(xué)物理系，北京 100084)

“鏈條(軟繩)下落”的習(xí)題經(jīng)常出現(xiàn)在一些高中和大學(xué)的物理題目中，用來考察學(xué)生對(duì)于動(dòng)量守恒和功能原理的理解和應(yīng)用。有很多專家和學(xué)生對(duì)這類習(xí)題進(jìn)行了深入的討論和分析[1-4]。文獻(xiàn)[5]就鏈條中科學(xué)問題介紹了國(guó)內(nèi)外進(jìn)展，而文獻(xiàn)[6]則從教學(xué)角度對(duì)這一話題進(jìn)行了梳理。為了能夠在有限的時(shí)間之內(nèi)，得到這類問題的答案(這樣教師“教”和學(xué)生“學(xué)”都顯得有“信心”)，自然要對(duì)問題進(jìn)行簡(jiǎn)化和理想化。鏈條被簡(jiǎn)化成“細(xì)”“軟繩”和“質(zhì)量均勻分布”，對(duì)限制繩的接觸面簡(jiǎn)化成“光滑”。這些簡(jiǎn)化在解題中是被默認(rèn)了。另外一個(gè)非常關(guān)鍵的默認(rèn)簡(jiǎn)化是繩子始終與光滑接觸面接觸。這個(gè)簡(jiǎn)化則有待深入分析。

圖1 鏈條下滑示意圖

本文以圖1所示的鏈條沿圓弧形桌邊下落模型論證了鏈條會(huì)飛離桌邊的依據(jù)，確定了飛離點(diǎn)位置，最后對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)中的有關(guān)飛離問題進(jìn)行了討論。

1 飛離分析

1.1 速度

圖1中，柔軟細(xì)鏈條的質(zhì)量均勻分布；長(zhǎng)度為l;線密度為λ;桌邊的圓弧半徑為R。接觸面光滑。假設(shè)鏈條一端從桌邊圓弧的起始位置被觸發(fā)下滑,初始速度為零。

不失一般性，先假定初始階段鏈條與圓弧段貼合，一直運(yùn)動(dòng)到圖1所示的2θ角位置。整個(gè)鏈條沿桌面繃緊運(yùn)動(dòng)，故各點(diǎn)速率v相同，因此鏈條動(dòng)能Ek為

圖1中的鏈條圓弧段的重心位于C處，由理論力學(xué)得知

因此，圓弧段質(zhì)心下降高度為

根據(jù)機(jī)械能守恒，有

即

(1)

1.2 支持力

鏈條內(nèi)部有張力T，此張力沿鏈條的切線方向，但是會(huì)隨鏈條內(nèi)斷面位置的變化而變化。用s表示鏈條斷面的位置，則鏈條內(nèi)部張力的矢量形式為T=T(s)τ，其中τ為切向單位矢量。在數(shù)學(xué)上T=T(s)τ就如同弧坐標(biāo)中的速度=v(s)τ。類似于從弧坐標(biāo)的速度到加速度，我們分析dT/ds，有

即

(2)

其中，n為鏈條的法向單位矢量；ρ為鏈條的曲率半徑。

顯然柔軟鏈條與柔弱細(xì)繩沒有本質(zhì)差異。為了便于畫圖顯示，把鏈條畫成橫斷面沿鏈條完全不變的柔軟細(xì)繩?？疾旒?xì)繩在桌角圓弧段上的一個(gè)微元段ds，見圖2。由式(2)有

(3)

圖2 柔軟細(xì)繩下滑示意

沿法向?qū)ξ⒃\(yùn)用牛頓第二定律，有

(4)

即

(5)

式(4)對(duì)桌子水平面也是成立的，只不過ρ=∞。此時(shí)還有β=0，因此dN=λgds，它不會(huì)小于零。這表明鏈條始終與桌子水平面有壓力，因而水平段不可能跳起來。

鏈條不能抗壓，所以張力T總是大于零的；它在鏈條兩端等于零，因?yàn)槭亲杂傻倪吔纭Ｈ绻湕l足夠長(zhǎng)，在水平段有足夠的長(zhǎng)度，那么從β=0到β=θ，圓弧段的張力必然單調(diào)減小，即式(5)第二項(xiàng)是單調(diào)減，第一項(xiàng)對(duì)β也是單調(diào)減的，而第三項(xiàng)不隨β變化。綜上，dN最小應(yīng)發(fā)生于β=2θ，此處又有T=0，故在鏈條的下落末端有

1.3 飛離

末端飛離的臨界條件為dN=0

即

(6)

引入γ=π/4-θ，式(6)可寫為

(7)

對(duì)R/l很小的情形，γ必然很小，此時(shí)就有sinγ≈γ;cos2γ≈1，從式(7)可近似解得γ≈πR/l，即下落端到：

2θ=2(π/4-γ)≈π/2-2πR/l

(8)

鏈條末端就會(huì)飛離。

圖 3

對(duì)R/l不是很小的情形，式(5)要用數(shù)值法求解。利用Matlab的fminsearch求出的結(jié)果如圖3所示。

圖3和式(8)表明，只有當(dāng)R/l→0時(shí)，才可能2θ=π/2(=90°)，即鏈條末端在脫離桌面時(shí)垂直下落。只要R/l非零，則鏈條末端并不會(huì)一直沿圓弧段滑動(dòng)到垂直才下落，而是在未到垂直之前就會(huì)飛離。

R/l=0的情形物理上不可實(shí)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)考察R/l→0，那么式(5)中第三項(xiàng)將趨近于負(fù)無(wú)窮(ρ=R),更無(wú)法保證dN≥0，也就是更不可能保證繩與桌角貼合。

綜上所述，圖1所示的問題中：鏈條脫離桌面后不可能保持垂直；下落的端點(diǎn)在達(dá)到垂直之前就應(yīng)該飛離。

圖 4(a) 模型; (b) 最后一環(huán)分析

2 討論

(1) 文獻(xiàn)[1]中例2的鏈條已經(jīng)懸垂于桌面下，從靜止再釋放。這也不能保證鏈條與桌角的貼合。論證如下。

式(5)也適用于鏈條末端已垂于桌面之下。對(duì)桌角半徑R/l→0的情形，第三項(xiàng)必然是趨于負(fù)無(wú)窮，無(wú)法保證貼合條件dN≥0。

對(duì)R/l有限的情形，采用反證法，即先假定鏈條與桌角一直貼合。我們來分析鏈條最后一環(huán)，它在離開桌面之前的受力分析如圖4(b)所示，其中鏈條張力按照式(3)分解了。由于處于鏈條末端，所以進(jìn)一步有T=0，這樣沿水平方向就有

-dN=λdsg×an=λdsg×v2/R>0

即dN<0。這表明假設(shè)錯(cuò)誤。真實(shí)情形應(yīng)該是在脫離之前，某段鏈條會(huì)飛離桌面。

(2)文獻(xiàn)[2]分析了圖5所示的軟繩沿桌面小孔下落的問題。該文作者分別采用了動(dòng)量定理和動(dòng)能定理兩種方法，發(fā)現(xiàn)二者結(jié)果不一致。實(shí)際上軟繩自小孔邊緣下落，與圖1的模型類似，軟繩會(huì)飛離小孔的倒角圓弧。如果小孔很小，那么飛離的軟繩必然與小孔的內(nèi)壁碰撞，因而落下段不能保持直線。如果小孔小到在孔內(nèi)段，繩子近似保持直線，那么繩子到小孔的下方也不能保持直線。因此，文獻(xiàn)[2]計(jì)算落下段的動(dòng)能和動(dòng)量的方式值得深入分析。

圖5

(3) 文[6]討論了鏈條在滑輪上下落的問題，研究了鏈條從滑輪上飛離的條件，但是由于微元段沒有考慮重力，所以飛離條件應(yīng)按式(5)重新分析。

如果張力在圖1弧形段的大小可以近似相等(在1.2節(jié)的分析中沒有承認(rèn)它近似相等)，那么隨弧上位置變化的是β。當(dāng)β=90°時(shí)，式(5)右邊最小，它對(duì)應(yīng)最容易飛離的位置(而不是文獻(xiàn)[6]中的β=0)。在此位置，飛離條件為

T=λv2/R

如果T沿弧形段的大小變化很明顯，則確定飛離位置和飛離條件還是很麻煩的。

3 結(jié)語(yǔ)

從上文分析我們可以看出，對(duì)于“鏈條桌邊下落模型”的分析是較為復(fù)雜的，很難在沒有計(jì)算機(jī)輔助的情況下進(jìn)行求解、分析。為了出題方便而簡(jiǎn)化的條件不僅不會(huì)幫助學(xué)生掌握知識(shí)，還會(huì)錯(cuò)誤地引導(dǎo)學(xué)生。因此高中和大學(xué)的考試中，應(yīng)當(dāng)

避免利用該模型對(duì)“動(dòng)量守恒”“功能原理”知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考察。本文對(duì)于“飛離”這一過程的討論還不全面，應(yīng)當(dāng)繼續(xù)求解飛離的水平方向速度，可以嘗試通過對(duì)“鏈條受力”的積分計(jì)算，求鏈條水平方向受到桌子的作用力，進(jìn)而利用“水平方向動(dòng)量定理”求出飛離的速度。

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