《MATTER & INTERACTIONS》教學(xué)實(shí)施的重要支撐
——計算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用

何焰蘭 彭 剛 劉一星 鄭浩斌

(國防科技大學(xué)理學(xué)院，湖南長沙 410073)

《MATTER & INTERACTIONS》(Vol.1: Modern Mechanics；Vol.2: Electric & Magnetic Interactions)是由CHABAY和CHERWOOD撰寫的一本突破傳統(tǒng)物理學(xué)導(dǎo)論的教材，與本文作者于2016發(fā)表的關(guān)于另兩篇[2,3]同樣突破傳統(tǒng)物理導(dǎo)論教材《Six Ideas that Shaped Physics》[4]一樣由美國國家科學(xué)基金會的資助，已在美國大中型高校的工程和科學(xué)課程中使用，其中有普渡大學(xué)、佐治亞理工學(xué)院、加州州立長灘大學(xué)、得克薩斯州奧斯汀大學(xué)、卡內(nèi)基梅隆大學(xué)、明尼蘇達(dá)州立大學(xué)Moorhead、維拉諾瓦、高點(diǎn)大學(xué)和西佛羅里達(dá)大學(xué)，還有密歇根大學(xué)在內(nèi)的一些大學(xué)在普通物理或物理專業(yè)的課程中使用它。該教材也被用于許多較小的學(xué)院，包括Carleton、St.Olaf、Wellesley、Haverford、Albion、Sewanee等，或社區(qū)學(xué)院和高中[1,14]。在美國境外的不列顛哥倫比亞大學(xué)、加拿大的卡爾加里大學(xué)和瑞爾森大學(xué)、南非開普敦大學(xué)、澳大利亞國立大學(xué)、麥考瑞大學(xué)、澳大利亞哥德堡大學(xué)、瑞典哥德堡大學(xué)和赫爾辛基大學(xué)也有相應(yīng)的專業(yè)使用。該教材的應(yīng)用結(jié)果的評估請參看資料[5]。

《MATTER & INTERACTIONS》教材以新的物理導(dǎo)論教學(xué)理念于眾多物理導(dǎo)論教材中脫穎而出。其重要特點(diǎn)就是從極少的基本原理(特點(diǎn)1，如動量和能量定律)出發(fā)，而不是從推理(次級)公式開始分析，通過構(gòu)建和分析彈簧-質(zhì)點(diǎn)(特點(diǎn)2，真實(shí)物質(zhì)，如鋁和鉛)簡諧振動力學(xué)模型，由一維模型擴(kuò)展到三維乃至多維模型(通篇用向量表示各種物理量，以便用計算機(jī)軟件進(jìn)行處理)，深入到原子層面，關(guān)注物質(zhì)的原子性質(zhì)。為此，作者特命名物理導(dǎo)論課程為“物質(zhì)與相互作用”；本書以能量概念為橋梁(特點(diǎn)3)，為熱學(xué)與力學(xué)相結(jié)合提供了機(jī)會(特點(diǎn)4，認(rèn)為熱學(xué)不應(yīng)該作為物理導(dǎo)論的一個獨(dú)立章節(jié))，加強(qiáng)微觀和宏觀描述與分析之間的聯(lián)系并自然延伸到近代物理內(nèi)容(特點(diǎn)5，以能量量子化的方式)；將靜電和電路用場的理論統(tǒng)一(特點(diǎn)6)；而計算技術(shù)是該教材理念能在教學(xué)中完美實(shí)施的重要支撐(特點(diǎn)7)，并與理論和實(shí)驗(yàn)一起并列成為物理導(dǎo)論課程(乃至物理學(xué))的第三大支柱。其突破傳統(tǒng)的理念和模式希望能給國內(nèi)高校物理教學(xué)改革一定的啟迪。

1 計算機(jī)技術(shù)應(yīng)該也必然成為物理導(dǎo)論課程三大支柱之一[6]

50多年前由于數(shù)學(xué)工具有一定的局限性，將科學(xué)(工程)學(xué)科劃分為理論和實(shí)驗(yàn)是合理的。計算機(jī)的出現(xiàn)，確實(shí)成為理論和實(shí)驗(yàn)的重要工具，隨著計算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，它已經(jīng)模糊了理論和實(shí)驗(yàn)之間的區(qū)別，從根本上改變了兩者的本質(zhì)，無可非議地成為第三大支柱。例如，理論家進(jìn)行計算，高能物理學(xué)家蒙特卡洛構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)識別大量數(shù)據(jù)的特殊事件等。因此，正如物理導(dǎo)論課程一開始就介紹理論和實(shí)驗(yàn)一樣，計算機(jī)科學(xué)被引入的重要性等同理論和實(shí)驗(yàn)。事實(shí)上，如果沒有這種變革，課程可能越來越過時，并與學(xué)生生活的世界日益脫節(jié)。目前美國生物學(xué)導(dǎo)論課程正在朝與計算機(jī)技術(shù)的融合方向發(fā)展[7]；國家科學(xué)基金會通過新的CPATH計劃[8]試圖通過建立計算機(jī)科學(xué)家和自然科學(xué)家之間的聯(lián)盟來激發(fā)本科科學(xué)課程中急需的計算科學(xué)擴(kuò)展。

2 計算機(jī)技術(shù)的可視和實(shí)時為物理概念理解提供重要支持

在《MATTER & INTERACTIONS》的教學(xué)過程中，重要的教學(xué)策略就是從少數(shù)基本原理入手，構(gòu)建和分析彈簧—質(zhì)點(diǎn)(如鋁和鉛)簡諧振動力學(xué)模型。這種情況下，計算機(jī)建模顯然利大于本。對于沒有編程經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生來說，面向?qū)ο蟮木幊陶Z言Python是最合適不過的[5]。由于它支持向量計算和三維可視化，因此《MATTER & INTERACTIONS》的教學(xué)過程中對所有物理量的引入和表示都采用向量，而不是較繁瑣的三角分析。

傳統(tǒng)物理導(dǎo)論課程大量工作一直致力于用初等微積分求解運(yùn)動方程(恒定加速度，恒速圓周運(yùn)動和簡諧振動)，這些特殊情況卻不足以讓學(xué)生看到基本原理的普適性，求解過程導(dǎo)致所做的特定選擇考慮因素太多以至于無法在此描述[9-12]。CHABAY和CHERWOOD認(rèn)為：將計算機(jī)融合到物理導(dǎo)論課程中，可以為物理概念理解提供重要支持。比如，利用一些基本原理建?？墒钩橄蟮奈锢砹恳约捌潆S時間變化的實(shí)時狀態(tài)以三維動畫形式顯示。

圖1為計算機(jī)(教學(xué)中均采用Python編程)建模生成的由一維擴(kuò)展到多維的球—彈簧5×5×5快速陣列[1]，其隨時間變化的動態(tài)效果使學(xué)生能深切體會一維彈簧諧振子的重要意義。

圖1 由計算機(jī)生成的球-彈簧模型框架的動畫

圖2為雙星圍繞著質(zhì)心移動的軌道[1]。圖3為一組特定條件(包括初始條件)下經(jīng)過數(shù)值積分復(fù)雜的三粒子相互作用的軌道[1]。圖2和圖3也揭示了雙粒子系統(tǒng)(如雙星)和多粒子系統(tǒng)(三體以上)軌跡的巨大差異：對于繞一質(zhì)量很大的靜止粒子旋轉(zhuǎn)或互為軌道的雙粒子(總動量為零)，可能的軌跡只能是圓、橢圓、拋物線、雙曲線或直線。而僅僅增加了一個粒子后的運(yùn)動軌跡，其軌跡復(fù)雜得多，可以使學(xué)生想象星系的運(yùn)動將是多么復(fù)雜！

圖4顯示了三粒子系統(tǒng)的軌跡對初始位置存在的微小差異的敏感程度[1]?？紤]一個質(zhì)量較小的粒子繞著兩個質(zhì)量較大的粒子旋轉(zhuǎn)(假設(shè)兩個大質(zhì)量粒子不動。這也可以代表小質(zhì)量的負(fù)電荷繞著兩個位置固定的正電荷旋轉(zhuǎn)的情況。)，在略有差異的不同位置處從靜止開始運(yùn)動，最終結(jié)束于與兩個大質(zhì)量的不同粒子相撞，軌跡是完全不同的！(圖中一左一右)

對于靜電和電路用電場統(tǒng)一的理念，教材中以一對充電量很大的平行電容板[13](可用類似于Van de Graaff發(fā)生器中的輸送帶維持電容器兩板間電流的穩(wěn)定)與一個截面積恒定的環(huán)形導(dǎo)線

相連，導(dǎo)線中會產(chǎn)生一定的電流。圖5(a)給出了環(huán)形導(dǎo)線內(nèi)部各處電場強(qiáng)度的均勻分布(實(shí)線實(shí)心向量)，它是由電容極板上電荷產(chǎn)生的電場(實(shí)線空心向量)和導(dǎo)線表面電荷所分別產(chǎn)生電場(虛線空心向量)的疊加而成，圖5(b)標(biāo)出了導(dǎo)線表面電荷極性及密度分布情況，圖5(c)標(biāo)出了導(dǎo)線表面電荷密度梯度分布情況(其中顏色深淺對應(yīng)強(qiáng)度)。圖6(a)、(b)分別給出了導(dǎo)線底部表面電荷極性及密度分布圖示。

3 計算機(jī)技術(shù)是實(shí)現(xiàn)以極少數(shù)基本原理為教學(xué)目標(biāo)的有力支撐

圖2 雙星圍繞著質(zhì)心移動的軌道(連接兩顆恒星的一條線穿過質(zhì)量中心，質(zhì)心更近質(zhì)量大的恒星)

圖3 特定條件的三粒子系統(tǒng)萬有引力相互作用的軌跡

圖4 三粒子系統(tǒng)軌跡對初始位置微小差異的敏感示意

圖5 環(huán)形導(dǎo)線中電場，表面電荷以及梯度分布示意圖

圖6 環(huán)形導(dǎo)線底部電場，表面電荷以及梯度分布示意圖(省略了拐角處的分布)

作者對課程教學(xué)的要求就是學(xué)生要參與構(gòu)建模型的過程，包括簡化和理想化混亂和復(fù)雜的真實(shí)世界系統(tǒng)，作出適當(dāng)?shù)慕?、簡化假設(shè)以及估計量化。實(shí)際上這種思想在眾多教師中早有共識，但是具體教學(xué)過程由于傳統(tǒng)物理學(xué)導(dǎo)論的體系限制導(dǎo)致可操作性受阻，即使偶爾為之也很難全程貫徹。而作者對體系進(jìn)行的新改革使得這種方法切實(shí)可行，計算機(jī)技術(shù)對此將扮演重要的角色。

例如對一個三粒子系統(tǒng)應(yīng)用基本原理(如萬有引力和動量原理)，必須給出適當(dāng)?shù)慕坪秃喕僭O(shè)，如圖4所示結(jié)果的假設(shè)(見前節(jié))。

計算機(jī)技術(shù)進(jìn)行的計算分析結(jié)果是否正確，課程對此也有相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)，證實(shí)了近似表面電荷分析的有效性，對于教學(xué)的效果可謂是錦上添花。

如圖7所示[14]，4個串聯(lián)的80MΩ電阻(可將其簡化為非常細(xì)的電線)放置于泡沫塑料中并遠(yuǎn)離其他元件(包括電表，以避免不必要的極化影響)，與兩個的5000V電源(串聯(lián))串聯(lián)形成回路，兩電源連線中端接地。圖中同時也給出了導(dǎo)體表面的電荷分布示意?？梢源致缘乜闯?，左邊第一個電阻(AB)內(nèi)的電場主要是由于A、B處由高到低一半的表面負(fù)電荷密度產(chǎn)生(但具有較大的密度梯度)，在緊接著的電阻(BC)中的電場也具有相同的大小，此時C處的表面電荷密度幾乎為零。右邊兩個電阻內(nèi)的情況解釋類似。在連接電線的內(nèi)部，電場非常小，而且電荷密度大致均勻(實(shí)際電荷分布的細(xì)節(jié)，除了電荷的符號，可能更復(fù)雜)。

圖7 一個具體電路的電荷分布以及測試示意

圖7中左側(cè)豎線為一個懸掛于絕緣桿上很薄柔軟的金屬聚酯薄膜，將其裸露部分放置于A附近，可以觀察到它會被吸引，接觸A處電線后由于帶有電線表面的同種電荷，立刻跳開。這個薄膜上所帶電荷很容易被證明為負(fù)電荷(因?yàn)樗灰桓鶆偰Σ吝^的塑料筆排斥)。將薄膜移至E處觀察到類似的效果，經(jīng)檢驗(yàn)帶正電。在B和D處的效果不如A和E明顯，而在C處則基本沒有檢測到表面電荷。

4 有效減少教授復(fù)雜的數(shù)值分析技術(shù)環(huán)節(jié)

計算機(jī)技術(shù)的引入還可以有效減少教授復(fù)雜的數(shù)值分析技術(shù)環(huán)節(jié)。例如圖4所涉及的計算機(jī)建模的動力學(xué)問題中，應(yīng)用動量原理預(yù)測某一對象或某一系統(tǒng)的行為，給定相互作用對象的初始位置，可以計算它們施加于彼此的力。這些力在很短的時間內(nèi)使動量發(fā)生改變(如Δp=F凈力Δt)，而新的動量又可以更新對象的位置，學(xué)生可以寫一個簡單的程序多次重復(fù)迭代這個過程即可得到相應(yīng)的物理過程的數(shù)值解。目前的計算機(jī)運(yùn)算足夠快，因此沒有必要教授復(fù)雜的數(shù)值分析技術(shù)，簡單地使用很小的時間步長就可以提供足夠的計算精度。對于系統(tǒng)總能量的繪制還可以作為對計算精度的簡單檢查，同時考慮動量和能量也有助于學(xué)生區(qū)分這些概念。

計算技術(shù)的應(yīng)用還可以幫助學(xué)生弄清楚積分和離散數(shù)相加之間的聯(lián)系，這種聯(lián)系即使對于已經(jīng)學(xué)習(xí)過好幾個學(xué)期微積分的學(xué)生而言也是很難弄清楚的。

由于程序的開放，改變程序中的時間步長或空間增量很容易，允許學(xué)生可在很長的時間軸上觀察相互作用對象的行為。例如對于軌跡性質(zhì)不顯著的三體運(yùn)動，通過改變步長等參數(shù)可觀察由此引起的物體行為、場分布模式的影響。通常學(xué)生所編寫的程序都很短，在與導(dǎo)論課程相適應(yīng)的大多數(shù)問題中，完全不需要復(fù)雜的算法。對于運(yùn)算足夠快的計算機(jī)，可以采取減小步長來充分提高歐拉積分的精度。

5 結(jié)語

可以看出，計算機(jī)技術(shù)的引入不僅僅停留在

純粹的技術(shù)層面，它已經(jīng)使得物理教學(xué)發(fā)生了實(shí)質(zhì)性的變革，這種變化必然要使老師對課程目標(biāo)重新審視，對物理世界的認(rèn)識和分析進(jìn)行重新的思考。CHABAY和CHERWOOD以及他們志同道合的同事經(jīng)過十多年的努力，認(rèn)為：雖不能聲稱教學(xué)實(shí)現(xiàn)了前面概述的計算機(jī)技術(shù)教育的潛力。然而，他們已經(jīng)有足夠的實(shí)踐活動，以使其他教師能夠利用其所開發(fā)的基礎(chǔ)。這些項(xiàng)目由國家科學(xué)基金會支持，授權(quán)號DUE-0320608，DUE-0237132和DUE-0618504。

實(shí)際上這本教材是筆者于2016年7月至11月在加拿大瑞爾森大學(xué)進(jìn)行基礎(chǔ)物理課程的考察時發(fā)現(xiàn)的。該校將其用于計算機(jī)科學(xué)本科生開設(shè)的物理學(xué)導(dǎo)論課程。圖8為該系學(xué)生正在用計算機(jī)進(jìn)行建模實(shí)驗(yàn)的實(shí)景。

圖8 瑞爾森大學(xué)計算機(jī)科學(xué)專業(yè)學(xué)生正在用計算機(jī)進(jìn)行建模實(shí)驗(yàn)

本文附表1給出《MATTER & INTERACTIONS》教材中第一學(xué)期物理導(dǎo)論課程的計算機(jī)實(shí)踐要求以供參考。

本文對CHABAY和CHERWOOD撰寫的《MATTER & INTERACTIONS》(Vol.1)所融入的計算機(jī)技術(shù)作了一個簡單的介紹，其主要目的就是要將國外對高校基礎(chǔ)物理教學(xué)的改革介紹給國內(nèi)同行。文中主要資料來源于作者對該教材敘述的文摘。不到之處敬請諒解。

附表1 計算機(jī)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目要求

續(xù)表

和網(wǎng)站

[1] CHABAY R W, SHERWOOD B A. MATTER & INTERACTIONS(Vol. 1)[M]. New York: John Wiley & Sons，Inc. 2015.

[2] 何焰蘭，彭剛，劉一星，等. 《Six Ideas that Shaped Physics》以及其課程實(shí)踐——以華盛頓大學(xué)“物理學(xué)導(dǎo)論”的教學(xué)為例，[J].大學(xué)物理，2016，35(2)：41-47. HE Yanlan， PENG Gang， LIU Yixing, et al.《Six Ideas that shaped physics》 and its practice course——taking the practice of the“Introduction to the physics”course in Washington University as an example[J]. College Physics, 2016, 35(2): 41-47.(in Chinese)

[3] 何焰蘭, 黎雙, 楊筱,等.美國華盛頓大學(xué)的物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)——以華盛頓大學(xué)《物理學(xué)導(dǎo)論》的教學(xué)為例[J].大學(xué)物理，2016(1)：45-48. HE Yanlan, LI Shuang, YANG Xiao, et al. Physics experiment teaching in Washington University—Taking the teaching of “Introduction to Physics” as an example[J]. College Physics, 2016(1): 45-48. (in Chinese)

[4] MOORE T A. 六大思想構(gòu)建物理學(xué)(影印本，1,2,3)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2016.

[5] CHABAY R, SHERWOOD B. Matter & interactions[J]. Research-Based Reform of University Physics. 〈www.compadre.org/per/per_reviews/volume1.cfm〉.

[6] CHABAY R, Sherwood B. Computational physics in the introductory calculus-based course[J]. Am.J.Phys. 2008(76): 307-313.

[7] “BIO2010: Transforming undergraduate education for future research biologists,” (www.nap.edu/openbook.php?isbn=0309085357).

[8] “CISE pathways to revitalized undergraduate computing education (CPATH),” 〈www.nsf.gov/pubs/2006/nsf06608/nsf06608.htm〉.

[9] CHABAY R， SHERWOOD B. Matter & Interactions Ⅰ: Modern Mechanics and Matter & Interactions Ⅱ: Electric & Magnetic Interactions[M]. 2nd ed. New York: Wiley, 2007; also see 〈www4.ncsu.edu/～rwchabay/mi〉.

[10] CHABAY R, SHERWOOD B. Bringing atoms into first-year physics[J]. Am.J.Phys, 1999, 67(12): 1045-1050.

[11] CHABAY R, SHERWOOD B. Modern mechanics[J]. Am.J.Phys. 2004, 72(4): 439-445.

[12] CHABAY R, SHERWOOD B. Restructuring the introductory electricity and magnetism course[J]. Am.J.Phys, 2006, 74(4): 329-336.

[13] CHABAY R, SHERWOOD B. Surface charge distributions in circuits[J]. Spring Joint Meeting of the Texas Section of the Aapt, 2015.

[14] SHERWOOD B A, CHABAY R W. A unified treatment of electrostatics and circuits, 1-19，http://matterandinteractions.org/articles-talks/