運(yùn)動(dòng)的復(fù)平面坐標(biāo)描述及其應(yīng)用幾例

顧學(xué)文 郭文剛 裴海林

(陸軍軍事交通學(xué)院基礎(chǔ)部，天津 300161)

很多力學(xué)量(如運(yùn)動(dòng)學(xué)中位置、速度、加速度，動(dòng)力學(xué)中的力、力矩等)都是矢量，處理力學(xué)問題時(shí)，通常需要選擇合適的坐標(biāo)系把這些矢量表示成相應(yīng)的分量形式。常見的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、自然坐標(biāo)系、平面極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系等，目前通行的各種《大學(xué)物理》教材對(duì)此都有直接或間接的論述[1-8]。本文擬討論一種不見于各種通行教材的坐標(biāo)系——復(fù)平面[9]坐標(biāo)系。這種坐標(biāo)系雖不為很多教材作者所注意，在某些情況下卻有其獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)，特別適合于處理顯含速度的法向力(洛倫茲力、轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中的科里奧利力等)作用下的圓周運(yùn)動(dòng)、旋輪線運(yùn)動(dòng)，以及剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)與滾動(dòng)等的動(dòng)力學(xué)問題。在很多情形下，采用該坐標(biāo)系可使問題的數(shù)學(xué)難度大大降低，使問題的處理更為簡(jiǎn)潔。下面先對(duì)這種坐標(biāo)系進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹，然后以幾個(gè)例子來說明其應(yīng)用。

1 復(fù)平面坐標(biāo)系

復(fù)平面[9]的結(jié)構(gòu)略同于平面直角坐標(biāo)系，由兩條相互垂直的坐標(biāo)軸組成，但它不引入單位矢量i和j，而是將縱軸y軸定義為虛數(shù)軸(圖1)，其坐標(biāo)平面中的每個(gè)點(diǎn)(x，y)對(duì)應(yīng)于一個(gè)復(fù)數(shù)x+iy，其中i是虛數(shù)單位?？梢姡渥饔孟喈?dāng)于一種坐標(biāo)系，不妨稱為復(fù)平面坐標(biāo)系，在這種坐標(biāo)系中xOy平面內(nèi)的任意矢量A都可以用一個(gè)復(fù)數(shù)表示，這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別是A在x、y軸上的投影，即

(1)

圖1 復(fù)平面坐標(biāo)系及其矢量的表示

這種表示在處理矢量的點(diǎn)積等問題時(shí)并無優(yōu)勢(shì)，但對(duì)于矢量合成等問題可以同普通的直角坐標(biāo)系一樣方便，如

(2)

特別是，在這種坐標(biāo)系中矢量的旋轉(zhuǎn)關(guān)系可以表達(dá)得十分簡(jiǎn)潔，考慮到歐拉公式

eiθ=cosθ+isinθ

(3)

其中e是自然對(duì)數(shù)的底，一個(gè)大小為A，與x軸夾角θ的矢量A可以表示為

(4)

如把矢量A逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)φ角變成矢量B，則表示為

(5)

(6)

2 運(yùn)動(dòng)量的復(fù)平面坐標(biāo)表示

由前所述，質(zhì)點(diǎn)的位置矢量r可以表示為

(7)

與之類似，速度、加速度可分別表示為

其中t是時(shí)間。即描述運(yùn)動(dòng)的各物理量間的關(guān)系可以如普通的直角坐標(biāo)系中一樣直觀地予以表述。

特別地，由于上節(jié)中所述的特點(diǎn)，復(fù)平面坐標(biāo)系尤其適合于對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)(以及圓周運(yùn)動(dòng)和其他運(yùn)動(dòng)構(gòu)成的合運(yùn)動(dòng))進(jìn)行簡(jiǎn)潔的描述。如以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)可表示為

(10)

其中，R是運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑；ω是角速度大小。更一般化一些，任何

(11)

都表示以原點(diǎn)為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，其角速度、角加速度大小分別為

該圓周運(yùn)動(dòng)的速度、加速度則可分別表示為

(16)

從上述論述，可以看出復(fù)平面坐標(biāo)系的優(yōu)點(diǎn)。

3 應(yīng)用舉例

由于這些優(yōu)點(diǎn)，采用復(fù)平面坐標(biāo)系在某些情況下能為動(dòng)力學(xué)問題的求解帶來便利，特別是當(dāng)需要處理的問題中涉及顯含速度的法向力(洛倫茲力、非慣性系中的科里奧利力等)作用下的圓周運(yùn)動(dòng)、旋輪線運(yùn)動(dòng)，以及剛體轉(zhuǎn)動(dòng)與滾動(dòng)等運(yùn)動(dòng)形式時(shí)，復(fù)平面坐標(biāo)系往往頗為適合。下面略述幾例以備參考。

3．1 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)

如圖2所示，在磁感強(qiáng)度B垂直于帶電粒子初速的均勻磁場(chǎng)中，若不考慮帶電粒子加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的輻射阻力，則眾所周知帶電粒子將作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)。學(xué)生們對(duì)此結(jié)論耳熟能詳：由于受力一直沿法向，粒子速度大小不變，在法向上由牛頓第二定律可解得其軌跡的曲率半徑不變，軌跡當(dāng)然是圓。然而這種解釋方法通用性較差，即使在此基礎(chǔ)上粒子最多受一個(gè)恒力作用(見下例)，也無法再如此處理；另外其中使用的是自然坐標(biāo)系，這種坐標(biāo)系通常是先知道軌跡再沿軌跡建立，現(xiàn)在反過來用以求解軌跡，往往使學(xué)生感覺邏輯上很不順暢。所以大多學(xué)生只是“知道”其軌跡是圓而已，并未想過如何求解得到軌跡。采用通常的平面坐標(biāo)系學(xué)生更為熟悉，但在該坐標(biāo)系中由牛頓第二定律和洛倫茲力公式可得此粒子的動(dòng)力學(xué)方程為

其中q、m分別是粒子的電量和質(zhì)量。求解式(17)、(18)這種未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)互相“交叉”的微分方程組，是超出多數(shù)本科學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的。

圖2 均勻磁場(chǎng)中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)

采用復(fù)平面坐標(biāo)系，卻能較簡(jiǎn)潔地得出結(jié)果。在該坐標(biāo)系中，粒子的動(dòng)力學(xué)方程表示為

(19)

此方程可分離變量，故易解得

(20)

對(duì)時(shí)間t積分則得運(yùn)動(dòng)方程

(21)

亦即

(22)

3．2 帶電粒子在均勻正交電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

如在上例中沿y軸方向有均勻靜電場(chǎng)E，則粒子的動(dòng)力學(xué)方程變?yōu)?/p>

(23)

在前例的基礎(chǔ)上，用常數(shù)變易法可以并不困難地解得

(24)

運(yùn)動(dòng)方程為

(25)

本例如不采用復(fù)平面坐標(biāo)，將很難解析地解決，因其在普通平面直角坐標(biāo)系中的動(dòng)力學(xué)方程比式(17)、(18)更復(fù)雜。

3．3 旋轉(zhuǎn)水平面上的小球無滑滾動(dòng)

圖3 勻轉(zhuǎn)速水平轉(zhuǎn)臺(tái)上的小球滾動(dòng)

此例素材來自2015年國際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(IYPT2015)的一個(gè)題目(圖3)。水平轉(zhuǎn)臺(tái)繞豎直軸以勻角速度Ω轉(zhuǎn)動(dòng)，勻質(zhì)小球在該平面上運(yùn)動(dòng)。若小球與轉(zhuǎn)臺(tái)間無相對(duì)滑動(dòng)，則其運(yùn)動(dòng)軌跡如何？考慮到小球自轉(zhuǎn)角速度與接觸點(diǎn)速度之間、小球所受靜摩擦力與力矩之間都是互相垂直的，所以此問題也適合用復(fù)平面坐標(biāo)系來描述。以小球質(zhì)心初速度方向?yàn)閤軸、水平面與轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)在水平面內(nèi)建立復(fù)平面坐標(biāo)系，以地面為參考系，則球與臺(tái)面接觸點(diǎn)間無相對(duì)滑動(dòng)的條件為：

(26)

(27)

由轉(zhuǎn)動(dòng)定律和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，可列出下列動(dòng)力學(xué)方程：

(30)

(31)

解得

(32)

上式已考慮到x軸是依球質(zhì)心初速方向選取的(這意味著初速以實(shí)數(shù)表示)。對(duì)時(shí)間積分得

(33)

4 結(jié)語

復(fù)平面坐標(biāo)系是一種雖在力學(xué)中不甚常見，卻在某些情形下具有獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)的坐標(biāo)系。它將平面上的兩個(gè)坐標(biāo)作為一個(gè)(復(fù))數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一處理，可以很簡(jiǎn)便地得到圓周運(yùn)動(dòng)的切向與法向加速度的表達(dá)式，還能使某些在其他坐標(biāo)系下不易解決的問題，特別是顯含速度的法向力作用下的運(yùn)動(dòng)問題，得到簡(jiǎn)潔的處理。可以考慮將運(yùn)動(dòng)的復(fù)平面坐標(biāo)描述引入大學(xué)物理課程和教材，例如教材中可在“運(yùn)動(dòng)的自然坐標(biāo)表示、法向與切向加速度”內(nèi)容之后，以小字附注或附錄的形式對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)介紹。

[1] 東南大學(xué)等七所工科院校編，馬文蔚改編．物理學(xué)(上冊(cè))[M]．北京：高等教育出版社，2006.01：12-14.

[2] 康穎．大學(xué)物理(上冊(cè))[M]．北京：科學(xué)出版社，2015.12：7-20.

[3] 程守洙，江之永．普通物理學(xué)上冊(cè)[M]．北京：高等教育出版社，2006.12：5，14.

[4] 趙凱華，羅蔚茵．力學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，2004.07：28-29.

[5] 黃祝明，吳鋒．大學(xué)物理學(xué)[M]．北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2002.09：28，9-14.

[6] FEYNMAN R P，LEIGHTON R B，SANDS M.費(fèi)恩曼物理學(xué)講義(第一卷)[M]．鄭永令，華宏鳴，吳子儀，等譯．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2005.06：117-120.

[7] 毛駿健，顧牡．大學(xué)物理學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，1999.11：14-15.

[8] 唐海燕，王麗梅，宋士賢．工科物理教程(上冊(cè))[M]．北京：國防工業(yè)出版社，2007.01：39-40.

[9] 王思聰．復(fù)平面上的圓的方程[J]．遵義師專學(xué)報(bào)，1995(1)：54-62． WANG Sicong． The equation of a circle in a complex plane[J]． Journal of Zunyi Teachers College，1995(1)： 54-62．(in Chinese)

[10] 胡建新．帶電粒子在正交恒定電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分析[J]．大學(xué)物理．2004(4)：8-10． HU Jianxin． The motion of a charged particle in electric and magnetic fields perpendicular to each other[J]． College Physics， 2004(4)： 8-10．(in Chinese)