水柜邊界處漂浮氣泡形狀

楊 潔 邱為鋼,2

(湖州師范學(xué)院 1理學(xué)院, 2物理視覺工作室，浙江 湖州 313000)

漂浮在空氣中的肥皂泡穩(wěn)定時(shí)是球形, 這個(gè)現(xiàn)象蘊(yùn)含著一個(gè)簡(jiǎn)單而又深刻的道理[1], 相同體積的肥皂泡, 球形的表面積最小。考慮氣泡的能量，在氣體壓強(qiáng)與體積不變的情況下, 其自由能量主要由其表面張力勢(shì)能組成。表面張力勢(shì)能等于表面積乘以表面張力系數(shù), 表面積極小就意味著表面張力勢(shì)能極小。如果肥皂泡落在地面而又不破裂, 你看到的形狀并不是球形, 而是半球形[2]。這是什么原因? 在超市買魚的水柜(一般是長(zhǎng)方體的玻璃缸)中, 水面上的氣泡是半球形的, 靠近水柜的邊界, 你會(huì)發(fā)現(xiàn)四分之一球形氣泡和八分之一球形氣泡(兩個(gè)垂直平面交接處)，如圖1所示。這又是什么原因?

圖1 水柜邊界處飄浮氣泡的形狀

對(duì)于一個(gè)封閉的氣泡，氣泡內(nèi)外的壓強(qiáng)差為表面張力系數(shù)和曲面高斯曲率半徑乘積的兩倍。氣泡內(nèi)外壓強(qiáng)差為常數(shù)，如果氣泡表面張力系數(shù)也為常數(shù)，那么氣泡表面就是常曲率曲面。符合物理實(shí)際的常曲率曲面是球面，或者球面的一部分。球冠的表面積和體積有解析表達(dá)式, 所以文獻(xiàn)[1,2]能很方便地給出這樣的結(jié)論：相同體積的球冠，半球的球表面積最小。水柜邊界處的氣泡，不再是球冠，而是球缺，可以想象類比為一個(gè)球形西瓜在相互垂直的3個(gè)方向上切3刀, 剩下西瓜的形狀。它有3個(gè)相互垂直的平面, 以及球面的一部分。3個(gè)平面相交在一個(gè)頂點(diǎn)上, 如圖2所示。球缺的體積和表面積，數(shù)學(xué)手冊(cè)上沒有，數(shù)學(xué)軟件給出的也是積分形式的表達(dá)式，從解析角度推理，一般不大可能。本文利用數(shù)值計(jì)算和小量分析兩種方法，在給定氣泡體積的情況下，對(duì)于不同的球缺頂點(diǎn)幾何參數(shù)，給出氣泡表面積等高線圖和極小值，來驗(yàn)證本文的猜想。

圖2 三截面球缺示意圖

用切西瓜(看作球形)來比喻的話，文獻(xiàn)[1，2]中的球冠是切一刀，本文中的球缺是切兩刀和三刀。切三刀時(shí)，一個(gè)平面橫切，兩個(gè)平面豎切且垂直，截到的球缺幾何體如圖2所示。3個(gè)平面兩兩相交,有3條交線(線段),3個(gè)線段相互垂直, 相交在同一點(diǎn)上, 這個(gè)點(diǎn)稱為球缺的頂點(diǎn)。

設(shè)圖2中的球心在原點(diǎn)，半徑為r。球缺頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0,z0)。球缺體積的積分區(qū)域就是以下區(qū)域：

x2+y2+z2x0,y>y0,z>z0

(1)

由式(1)，很容易得到球缺體積的數(shù)值表達(dá)式V(x0,y0,z0,r)。在本文中, 球缺表面積是指球缺球面部分的表面積。要分類考慮，當(dāng)z0>0 時(shí)，球缺表面投影到水平平面，平面區(qū)域是以下區(qū)域

(2)

當(dāng)z0<0 時(shí)，表面積要考慮到赤道的上半部分和下半部分。球缺表面投影到水平平面，平面區(qū)域是以下兩個(gè)區(qū)域的并集, 分別對(duì)應(yīng)球缺面積在赤道的上半部分和下半部分。

以半徑為一個(gè)長(zhǎng)度單位, 3個(gè)截面相互垂直的1/8球形氣泡為例, 此時(shí)它的半徑r0=1, 體積是V0=π/6，表面積是A0=π/2=1.570796。使球形氣泡的半徑r變化, 要保持體積不變, 球缺的頂點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)(x0,y0,z0)也必須變化。數(shù)值計(jì)算反解V(x0,y0,z0,r)=V0，得到球半徑關(guān)于頂點(diǎn)參數(shù)的函數(shù)r(x0,y0,z0)，再反代回到球缺表面積數(shù)值表達(dá)式A(x0,y0,z0,r)，得到表面積與頂點(diǎn)參數(shù)的函數(shù)A(x0,y0,z0,r(x0,y0,z0))。球缺表面積的三維等勢(shì)面雖然可以畫出來，但直觀性不強(qiáng)。我們把三維等勢(shì)面投影到3個(gè)參數(shù)坐標(biāo)平面上，投影到(x0,y0)平面上的球缺表面積等“高”線如圖3所示。

圖3 球缺球表面積在極小值附近的等高線圖

圖3對(duì)應(yīng)的參數(shù)是z0=0，在每條封閉曲線上，球缺表面積一樣，故稱為等“高”線。越靠近原點(diǎn)(x0,y0)=(0,0)，球缺表面積越小。在原點(diǎn)處(x0,y0)=(0,0)，球缺表面積取到極小值A(chǔ)0=π/2。數(shù)值計(jì)算找到的球缺表面積極小值在(x0,y0,z0)=(0,0,0)取到，極小值就是A0=π/2。這與實(shí)際觀測(cè)到的現(xiàn)象相符：在3個(gè)垂直平面(兩個(gè)玻璃面，一個(gè)水面)相交處，氣泡球缺的頂點(diǎn)就落在球心位置，也即3平面相交點(diǎn)處，是整個(gè)球面的1/8。

接下來小量分析, 設(shè)球缺頂點(diǎn)坐標(biāo)都是小量,考慮到二階小量, 球缺的體積和表面積分別為

式(5)的來源是，體積變化來自兩部分，一部分是1/4大圓面積(πr2/4)在x軸方向上縮小x0的單位，以及對(duì)應(yīng)的y軸和z軸；一部分來自3個(gè)長(zhǎng)方體的體積，z軸方向上底面積是x0y0，高是半徑r，以及對(duì)應(yīng)的x軸和y軸。式(6)的來源是，球缺球表面積變化來自兩部分，一部分來自1/4圓周(πr/2)在x軸方向上縮小x0的單位，以及對(duì)應(yīng)的y軸和z軸；一部分來自3個(gè)長(zhǎng)方形，z軸方向上長(zhǎng)為x0寬為y0，以及對(duì)應(yīng)的x軸和y軸。

設(shè)r=r0+η,其中η是小量。代入到式(5)中，且令V(x0,y0,z0,r)=V0, 考慮到二階小量，

解得

(7)

再把式(7)代入式(6)，考慮到二階小量，計(jì)算得到球缺表面積

(8)

寫成矩陣形式的內(nèi)積表達(dá)形式

(9)

(10)

數(shù)值計(jì)算畫圖發(fā)現(xiàn)，式(10)給出的等高線圖與圖3完全重合。

1/4球面的證明方法與上文一樣，不再重復(fù)說明。實(shí)際生活中的水柜不一定是長(zhǎng)方體，還有可能是三棱柱，圓柱，球形，或者以上組合體。這些水柜邊界處的飄浮氣泡中心是否也落在邊界上？有興趣的讀者不妨實(shí)際考察這些水泡的形狀，數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證或反駁本文的結(jié)論。

[1] 王正烈.液面上大氣泡形狀的熱力學(xué)證明[J].大學(xué)化學(xué)，2010，25(2)：49-53. WANG Zhenlie. Thermodynamical prove of the shape of large bubble on the liquid surface[J]. College Chemistry， 2010， 25(2)： 49-53.(in Chinese)

[2] 馬秀艷，姜小蘭.漂浮氣泡形狀的研究 [J].大學(xué)物理，2011，30(11): 14-15. MA Xiuyan, JIANG Xiaolan. Research on the shape of a bleb floating on surface. College Physics, 2011，30(11): 14-15.(in Chinese)

[3] 李椿．熱學(xué)[M]．北京: 人民教育出版社，1982:324．