統(tǒng)計(jì)物理教學(xué)中引入Jarzynski等式的必要性

覃 莉

(西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系，陜西 楊凌 712100)

熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理是高等院校物理學(xué)專業(yè)本科學(xué)生必修的基礎(chǔ)理論課之一，按照1980年編寫的教學(xué)大綱，出版了很多相應(yīng)的教材，如汪志誠編著《熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理》[1]、梁希俠、班士良編著《統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)》[2]、包景東編著《熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)簡明教程》[3]等。但正如Reichal所說：“近年來統(tǒng)計(jì)物理領(lǐng)域中出現(xiàn)了許多鼓舞人心的發(fā)展，……,使這門學(xué)科發(fā)生了革命性的變化?！边@些變化在教材或教學(xué)的討論課程中應(yīng)該有所體現(xiàn)，比如已經(jīng)被理論和實(shí)驗(yàn)證明了的具有普適性的一個(gè)等式——Jarzynski等式。

1 Jarzynski等式

20世紀(jì)90年代以來，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)界最重要的成果之一是Jarzynski在1997年得到的一個(gè)令人振奮和驚奇的遠(yuǎn)離平衡態(tài)等式，稱為Jarzynski等式[4]。根據(jù)該等式可以由非平衡物理過程中功的測量來計(jì)算兩個(gè)平衡態(tài)之間的Helmholtz自由能的差，這與傳統(tǒng)的熱力學(xué)觀念截然相反。考慮一個(gè)處于溫度為T的熱浴中的系統(tǒng)，其狀態(tài)由控制參量λ決定。初始時(shí)使系統(tǒng)處于平衡態(tài)A，參量為λA。改變λ，使其隨時(shí)間變化，則平衡被破壞。經(jīng)過有限時(shí)間τ，變化到λB。一般地，由于過程不一定是可逆過程，在操作的末端，系統(tǒng)仍處于非平衡態(tài)，但是如果此時(shí)讓參量保持λB演化一段時(shí)間，則系統(tǒng)最后弛豫到新的平衡態(tài)B。這個(gè)過程如圖1所示[5,6]。

圖1 Jarzynski等式所描述的非平衡過程

Jarzynski等式是關(guān)于圖1過程中的功和自由能的關(guān)系為

(1)

W的大小與兩個(gè)因素有關(guān)：一是系統(tǒng)經(jīng)歷的具體微觀態(tài)，二是環(huán)境對這些微觀態(tài)的影響。為了確定W的大小，要多次重復(fù)這個(gè)過程然后求平均，式(1)右邊的尖括號即表示對這些過程的系綜平均[7]。

2 Jarzynski等式的普適性

自從Jarzynski等式在1997年被發(fā)現(xiàn)之后，該等式的廣泛適用性就一直是一個(gè)很有意義的研究課題。物理學(xué)者希望可以找到該等式嚴(yán)格成立的物理?xiàng)l件，越廣泛越好。比如錢敏等以非時(shí)齊馬氏鏈和多維擴(kuò)散過程為模型，第一次給出了Jarzynski等式的比較完整的數(shù)學(xué)理論[8]；Hatano和Sasa把Jarzynski等式推廣到非平衡定態(tài)的情形[9]；王向斌等運(yùn)用量子態(tài)耗散方法(QSD)軌跡，第一次推導(dǎo)出非平衡體系在量子非馬爾可夫下的Jarzynski等式[10]；Deffner和Saxena討論了宇稱時(shí)間對稱量子力學(xué)中的Jarzynski等式問題等[11]。這些年來的研究表明，Jarzynski等式可以在確定性力學(xué)體系中得到，在一般的采用隨機(jī)描述的體系中也可以得到[4,12]；在Jarzynski等式中，系統(tǒng)可以是經(jīng)典的或者量子的[4，10,13]；所考慮的隨機(jī)過程可以是馬爾科夫或者非馬爾科夫的[14-16]；在初末狀態(tài)是非平衡定態(tài)甚至是任意的狀態(tài)時(shí)，Jarzynski等式也可以推廣[9,17]?？傊?，Jarzynski等式具有廣泛的適用性。

3 Jarzynski等式的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

單分子實(shí)驗(yàn)技術(shù)的快速發(fā)展，使得在實(shí)驗(yàn)中追蹤單個(gè)的分子成為可能。Hummer和 Szabo注意到Jarzynski等式的生物物理關(guān)聯(lián)，指出如何從非平衡條件下的單分子實(shí)驗(yàn)中得到自由能[18]。隨后，Liphardt和Bustanmante等人通過著名的生物單分子實(shí)驗(yàn)證明了Jarzynski等式，其實(shí)驗(yàn)新穎之處在于成功地使用光鑷控制單個(gè)生物小分子，進(jìn)行關(guān)于細(xì)胞單分子的力、位移和能量的測量。他們發(fā)現(xiàn)，利用平均功、漲落耗散定理、Jarzynski等式這3種方法估算自由能，Jarzynski等式給出的結(jié)果與十分緩慢的拉伸過程中算出的可逆功最為接近，且誤差在熱運(yùn)動(dòng)能量范圍內(nèi)[19,20]。2006年，Blickle等人用非簡諧勢場中的膠體微粒驗(yàn)證了Jarzynski等式[21]；2007年，Sylvain等人用簡諧振子證明了Jarzynski等式[22]。2015年清華大學(xué)交叉信息研究院量子信息中心金奇奐帶領(lǐng)的離子阱實(shí)驗(yàn)小組，在試驗(yàn)中驗(yàn)證了量子Jarzynski等式[23]。

4 結(jié)語

用Jarzynski等式可以計(jì)算兩平衡態(tài)間Helmholz自由能的變化，由有限時(shí)間的非平衡過程的功給出。而在傳統(tǒng)的熱力學(xué)里，為了計(jì)算兩個(gè)平衡態(tài)之間的自由能差，我們必須在這兩平衡態(tài)之間構(gòu)造一個(gè)無窮慢的準(zhǔn)靜態(tài)過程，通過測量這個(gè)過程中系統(tǒng)所做的功來計(jì)算。

Jarzynski等式還可以寫成另一種形式：

〈e-Wdiss/kBT〉=1

其中Wdiss=W-ΔF為進(jìn)入到外界環(huán)境之中的耗散功。該式暗含了〈Wdiss〉≥0。對于宏觀系統(tǒng)，這即為熱力學(xué)第二定律的自由能和功的表述。由該等式還可以得到一個(gè)重要的推論：雖然〈Wdiss〉≥0，但是只有在有部分軌道Wdiss<0的情況下等號才能成立。這些軌道違反了熱力學(xué)第二定律，以保證微觀運(yùn)動(dòng)方程是時(shí)間可逆的。也就是說，對于宏觀系統(tǒng)，Jarzynski等式和熱力學(xué)第二定律是一致的；對于微觀系統(tǒng)，物理量的統(tǒng)計(jì)平均仍然滿足熱力學(xué)第二定律，但是Jarzynski等式包含了更為豐富的信息。應(yīng)用Jarzynski等式，可以從系統(tǒng)對非平衡過程的響應(yīng)得到平衡態(tài)的信息，還可以把與熱力學(xué)第二定律有關(guān)的不等式寫成等式。Jarzynski等式揭示了熱力學(xué)第二定律在微觀尺度是如何起作用的，從而能夠加深對熱力學(xué)第二定律的理解[7]。Jarzynski等式的證明，基本上使用初等數(shù)學(xué)的方法就可以了。這從另一個(gè)側(cè)面，表明Jarzynski等式是物理世界中一個(gè)非常本質(zhì)的規(guī)律。正因?yàn)槿绱?，我們認(rèn)為，Jarzynski等式應(yīng)該引入到統(tǒng)計(jì)物理的教材或教學(xué)的討論課程中。

[1] 汪志誠. 熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.

[2] 梁希俠, 班士良. 統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2008.

[3] 包景東. 熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理簡明教程[M]. 北京: 高等教育出版社, 2011.

[4] JARZYNSKI C. Nonequilibrium equality for free energy differences [J]. Phys. Rev. Lett., 1997, 78(14): 2690-2693.

[5] 覃莉. 小系統(tǒng)漲落定理及各態(tài)歷經(jīng)行為的研究[D]. 北京: 北京師范大學(xué), 2009. QIN Li. Studies on fluctuation theorems and nonergodic behavior of small systems [D]. Beijing: Beijing Normal University, 2009. (in Chinese)

[6] BUSTAMANTE C, LIPHARDT J, RITORT F. The nonequilibrium thermodynamics of small systems [J]. Phys. Today, 2005, 58(7): 43-48.

[7] 懷小鵬. 漲落定理和不可逆性[D]. 杭州： 浙江大學(xué), 2012. HUAI Xiaopeng. Fluctuation theorems and irreversibility [D]. Hangzhou: Zhejiang University, 2012. (in Chinese)

[8] 葛顥. 隨機(jī)過程在非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理和系統(tǒng)生物學(xué)建模中的應(yīng)用[D]. 北京： 北京大學(xué), 2008. GE Hao. Applications of stochastic processes into nonequilibrium statistical physics and systems biology[D]. Beijing: Peking University, 2008. (in Chinese)

[9] HATANO T, SASA S. Steady-states thermodynamics of Langevin systems [J]. Phys. Rev. Lett., 2001, 86(16): 3463-3466.

[10] 陳天. 量子體系的能量操控以及微觀器件的研究[D]. 北京： 清華大學(xué), 2015. CHEN Tian. Manipulation of thermal flux in quantum systems and study of microscopic Devices[D]. Beijing: Tsinghua University, 2015. (in Chinese)

[11] DEFFNER S, SAXENA A. Jarzynski equality in PT-symmetric quantum mechanics [J]. Phys. Rev. Lett., 2015, 114(15): 150601.

[12] CHERNYAK V Y, CHERTKOV M, JARZYNSKI C. Path-integral analysis of fluctuation theorems for general Langevin processes[J]. J. Stat. Mech., 2006, P08001.

[13] ANDRIEUX D, GASPARD P. Quantum work relations and response theory [J]. Phys. Rev. Lett., 2008. 100(23): 230404.

[14] SPECK T, SEIFERT U. The Jarzynski relation, fluctuation theorems, and stochastic thermodynamics for non-Markovian processes [J]. J. Stat. Mech.-Theory E., 2007, L09002.

[15] OHKUMA T, OHTA T. Fluctuation theorems for non-linear generalized Langevin systems [J]. J. Stat. Mech.-Theory E., 2007, P10010.

[16] 江惠軍. 介觀統(tǒng)計(jì)力學(xué)規(guī)律與方法的研究[D]. 合肥： 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué), 2011. JIANG Huijun. Studies of mechanism and method on mesoscopic statistical mechanics[D]. Hefei: University of Science and Technology of China, 2011. (in Chinese)

[17] GONG Z P, QUAN H T. Jarzynski equality, Crooks fluctuation theorem, and the fluctuation theorems of heat for arbitrary initial states [J]. Phys. Rev. E, 2015, 92(1): 012131.

[18] HUMMER G, SZABO A. Free energy reconstruction from nonequilibrium single-molecule pulling experiments [J]. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 2001，98(7)： 3658-3661.

[19] LIPHARDT J, DUMONT S, SMITH S B, et al. Equilibrium information from nonequilibrium measurements in an experimental test of Jarzynski’s equality [J]. Science, 296(5574), 2002: 1832-1835.

[20] 涂展春. 小系統(tǒng)的非平衡統(tǒng)計(jì)力學(xué)與隨機(jī)熱力學(xué)[J]. 物理, 2014, 43(7): 453-459. TU Zhanchun. Nonequilibrium statistical mechanics and stochastic thermodynamics of small systems[J]. Physics, 2014, 43(7): 453-459.(in Chinese)

[21] BLICKLE V, SPECK T, HELDEN L, et al. Thermodynamics of a colloidal particle in a time-dependent nonharmonic potential [J]. Phys. Rev. Lett., 2006, 96(7): 070603.

[22] JOUBAUD S, GARNIER N B, DOUARCHE F, et al. Experimental study of work fluctuations in a harmonic oscillator [J]. C. R. Physigue, 2007, 8(5-6): 518-527.

[23] AN S M, ZHANG J N, UM M, et al. Experimental test of the quantum Jarzynski equality with a trapped-ion system [J]. Nature Phys., 2015, 11(2): 193-199.