基于等效原理求解介質(zhì)球極化場(chǎng)問(wèn)題

曹斌照 費(fèi)宏明 楊毅彪 陳景東

(太原理工大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,山西 太原 030024)

介質(zhì)球處于外場(chǎng)中的等效電偶極矩在電磁輻射、瑞利散射、金納米顆粒的介電效應(yīng)等方面有著重要的應(yīng)用[1-4]。在電磁輻射中，一對(duì)振蕩的等值異號(hào)電荷在遠(yuǎn)區(qū)的輻射場(chǎng)即可視為電偶極子的輻射；瑞利散射是指在低頻極限或k0a?1(k0為真空中的波數(shù)，a為介質(zhì)球半徑)條件下的電磁散射。在該條件下，散射體產(chǎn)生的輻射場(chǎng)也可等效為電偶極矩產(chǎn)生的場(chǎng)；對(duì)于幾何尺寸遠(yuǎn)小于光波長(zhǎng)的金屬納米顆粒，用介質(zhì)球等效偶極矩模型能夠近似預(yù)見(jiàn)顆粒的光共振吸收頻率，也可以解釋這類(lèi)材料的光致熒光以及拉曼光譜對(duì)激發(fā)光偏振的強(qiáng)烈各向異性等。球形電介質(zhì)的極化模型也可以構(gòu)成準(zhǔn)靜態(tài)條件下電磁目標(biāo)隱身的理論基礎(chǔ)[5]。從理論上講，靜態(tài)場(chǎng)中均勻介質(zhì)球的等效偶極矩模型實(shí)質(zhì)上是一個(gè)關(guān)于均勻電場(chǎng)中介質(zhì)球的極化問(wèn)題，該問(wèn)題在“電磁場(chǎng)與電磁波”“電動(dòng)力學(xué)”以及“數(shù)學(xué)物理方法”等課程的經(jīng)典教材中均作為典型例子進(jìn)行了分析。這類(lèi)問(wèn)題的求解最常用的方法是分離變量法，通過(guò)對(duì)拉普拉斯方程的定解問(wèn)題進(jìn)行求解，并借助于電介質(zhì)極化的相關(guān)概念計(jì)算與分析[6-8]。雖然分離變量法推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯性強(qiáng)，但對(duì)于理解介質(zhì)極化的物理機(jī)制不直觀。文獻(xiàn)[9]基于疊加原理和反證法的思想分析了當(dāng)導(dǎo)體球表面電荷密度滿(mǎn)足σ∝cosθ關(guān)系時(shí)球內(nèi)電場(chǎng)一定為均勻場(chǎng)的問(wèn)題，筆者認(rèn)為存在一定的瑕疵。本文提出基于等效原理的分析方法，既能夠直觀理解物理概念，又靈活運(yùn)用了特殊函數(shù)的性質(zhì)，不失為一種好的嘗試。

1 模型及理論推導(dǎo)

圖1為一介質(zhì)球處于均勻電場(chǎng)E0中場(chǎng)相互影響的示意圖。由于極化的存在，在介質(zhì)球面上會(huì)出現(xiàn)束縛電荷，于是產(chǎn)生相應(yīng)的附加電場(chǎng)E′，該場(chǎng)對(duì)原電場(chǎng)有削弱作用。從電偶極子觀點(diǎn)看，束縛電荷在介質(zhì)球外產(chǎn)生的附加場(chǎng)可等效為一偶極子產(chǎn)生的場(chǎng)?？倛?chǎng)為外加均勻電場(chǎng)E0和反方向的偶極子產(chǎn)生的附加電場(chǎng)E′的疊加。

圖1 介質(zhì)球處于均勻電場(chǎng)中場(chǎng)分布示意圖

為了便于理解，我們分兩步進(jìn)行考慮：首先分析處于均勻電場(chǎng)中導(dǎo)體球的感應(yīng)場(chǎng)；以此為基礎(chǔ)，再分析處于均勻電場(chǎng)中介質(zhì)球的極化場(chǎng)。

1.1 均勻電場(chǎng)中導(dǎo)體球的感應(yīng)場(chǎng)

圖2 分析導(dǎo)體球外、球內(nèi)電勢(shì)示意圖

(1)

利用連帶勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)展開(kāi)式[6]

(2)

以及連帶勒讓德多項(xiàng)式的正交性

(3)

其中，

可求得感應(yīng)電荷在球體外產(chǎn)生的電勢(shì)為

(4)

同理可得感應(yīng)電荷在球體內(nèi)的電勢(shì)為

(5)

由E=-φ，不難得出球內(nèi)、外感應(yīng)電場(chǎng)分別為

(6)

則導(dǎo)體球內(nèi)、外總電場(chǎng)強(qiáng)度分別為

(7)

1.2 處于均勻電場(chǎng)中介質(zhì)球的退化場(chǎng)

設(shè)介電常數(shù)為ε1的理想介質(zhì)球處于介電常數(shù)為ε2的理想基質(zhì)中，若外加均勻電場(chǎng)E0，則極化的結(jié)果為介質(zhì)球表面內(nèi)、外側(cè)附近分布著一定數(shù)量的束縛電荷，且兩側(cè)的極性相反，因均勻極化，故球內(nèi)無(wú)凈束縛電荷。設(shè)總極化電荷面密度為σp，則n·(E2-E1)=σp/ε0。本文對(duì)這一問(wèn)題用等效原理方法求解。場(chǎng)等效原理即為：在一個(gè)給定的空間區(qū)域內(nèi)由確定的源產(chǎn)生的電磁場(chǎng)可以看作是由另外的等效源所產(chǎn)生。不論等效源是否實(shí)際存在，只要它們?cè)诮o定的同一區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的場(chǎng)相同即可[4]。在該種等效原理下，只要所求的勢(shì)函數(shù)滿(mǎn)足原問(wèn)題的邊界條件，根據(jù)唯一性定理其解是正確的[7,8]。鏡像法作為等效原理的一個(gè)特例，但等效原理中等效源的選擇方式遠(yuǎn)比鏡像的選取靈活多樣。依據(jù)等效原理，在計(jì)算球內(nèi)電場(chǎng)時(shí)不妨令球外電場(chǎng)E2=0，即所求問(wèn)題可等效為一個(gè)填充介電常數(shù)為ε1的空心導(dǎo)體球殼，球內(nèi)的電勢(shì)為等效電荷產(chǎn)生的電勢(shì)與外加均勻電場(chǎng)對(duì)應(yīng)的電勢(shì)之和；在計(jì)算球外電場(chǎng)時(shí)令球內(nèi)電場(chǎng)E1=0，即可以等效為一個(gè)導(dǎo)體球外填充介電常數(shù)為ε2的問(wèn)題，從而可以直接利用式(5)、(6)的結(jié)論，其等效示意圖如圖3所示。

圖3 分析內(nèi)、外區(qū)域電場(chǎng)等效原理示意圖

設(shè)球內(nèi)、外電勢(shì)分別為φ1、φ2，等效面電荷密度分別為σp1、σp2。根據(jù)式(5)、(6)，有

利用邊界條件：D1n=D2n，φ1=φ2，可得

(10)

則介質(zhì)球內(nèi)、外電勢(shì)分別為

(11)

上式與文獻(xiàn)[7,8]結(jié)果相同。

1.3 推廣到均勻電場(chǎng)中介質(zhì)球殼的極化場(chǎng)問(wèn)題

設(shè)內(nèi)、外半徑分別為R1、R2的介電常數(shù)為ε2的介質(zhì)球殼內(nèi)填充介電常數(shù)為ε1的理想介質(zhì)，介質(zhì)球和球殼均處于介電常數(shù)為ε3理想基質(zhì)中。設(shè)外加均勻電場(chǎng)E0，兩介質(zhì)層極化電荷面密度分別為σp1、σp2，球內(nèi)、球殼和球殼外的電勢(shì)分別為φ1、φ2和φ3。根據(jù)上述等效原理，可得

利用邊界條件：D1n=D2n=D3n，φ1=φ2=φ3，可得

2 分析與討論

對(duì)于情形1.3，若取R1→R2,ε2=ε0,ε3=ε2，則退化為情形1.2。代入式(15)、(16)，得

結(jié)果與式(10)和文獻(xiàn)[3]一致。

可見(jiàn)，介質(zhì)球表面內(nèi)、外側(cè)附近分布著一定數(shù)量的束縛電荷，其兩側(cè)的極性相反，分界面兩側(cè)的窄隙可以看成一無(wú)載荷隔離薄層，其厚度與原子核中心與電子云中心的距離同數(shù)量級(jí)。在本文中基于導(dǎo)體球殼的靜電感應(yīng)電荷分布規(guī)律，對(duì)介質(zhì)球極化問(wèn)題進(jìn)行了等效，另辟蹊徑，從而使問(wèn)題的理解更加直觀。

3 結(jié)語(yǔ)

本文基于電場(chǎng)的疊加原理、等效原理分析了介質(zhì)球在均勻電場(chǎng)中的極化場(chǎng)問(wèn)題。首先用場(chǎng)的疊加原理，通過(guò)嚴(yán)格推導(dǎo)得到均勻電場(chǎng)中導(dǎo)體球的感應(yīng)場(chǎng)可以等效為電偶極矩的場(chǎng)。以此為基礎(chǔ)，利用電場(chǎng)等效原理分析了介質(zhì)球、介質(zhì)球殼在均勻電場(chǎng)中的極化場(chǎng)。最后，探討了時(shí)諧電磁場(chǎng)對(duì)介質(zhì)球的極化在一定條件下可以用電偶極矩場(chǎng)近似，并闡明介質(zhì)球的極化場(chǎng)在電磁散射、納米球顆粒共振以及電磁隱身中的重要作用。本文的探索對(duì)于更好地理解極化的物理本源以及實(shí)際應(yīng)用具有理論指導(dǎo)價(jià)值。

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